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《高二复习空间向量与立体几何的结合与应用》


空间向量与立体几何 一、几何关系(平行、垂直) ? ? ? ? ? ? ? 1、向量共线定理: a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b .

?

?

2、 向量共面定理: 空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x ,y ,

>??? ? ??? ? ???? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 使 ?? ? x??? y?C ;或对空间任一定点 ? ,有 ? ?? ?x ? y C ;或若四点 ? , ??? ??
? , ? , C 共面,则 ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? .

??? ?

????

??? ?

????

? ? a ?b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、 a ? b = a b cos? a , b ? . a ? b ? a ? b ? 0 ; cos? a , b ? ? ? ? ; a ? b ? a b . a b

? ? ? ? ? ? 4、(1)、若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ? ? ? ? ? ? (2)、若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? ? (3)、 a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a ?b ? ? (4) cos? a , b ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 a b x1 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

??? ? 2 2 2 (5)、 ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ? ? ? 5、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? : ? ? ? ?? ? ? ? ? ? / ? ? ? ? 0, (1) a// ? ?/a ? ? a n an 、 (2) a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . 、 ? ? 6、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b :
? ? ? ? ? ? ? ? (1) ?// ? ?/a b ? a ? ?b , 、 (2) ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 . /
二、夹角

? ? 7、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有: ? ? a ?b cos? ? cos ? ? ? ? . a b

? ? ? ? 8、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的

? ? l ?n 夹角为 ? ,则有 sin ? ? cos ? ? ? ? . l n ?? ?? ? ?? ?? ? 9、设 n1 ,n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 ,n2 的夹角(或
其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ?l ? ? 的平面角为 ? ,则 ?? ?? ? n1 ? n2 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2 三、距离。
? ? ? (1) 、两点间距离: a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12
? (2) 、点到直线距离:在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n , ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 则定点 ? 到直线 l 的距离为 d ? ?? cos???, n? ? ? n ? (3) ? 到平面距离:点 ? 是平面 ? 外一点,? 是平面 ? 内的一定点,n 为平面 ? 、点 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离为 d ? ?? cos???, n? ? ? . n

? (4) 、两异面直线距离:设直线 l1 ,l 2 是两条异面直线, n 是 l1 ,l 2 公垂线 AB 的方向
?? ?? ? ?

向量,又 C、D 分别是 l1 ,l 2 上的任意两点,则 l1 与 l 2 之间距离 d ? AB ?

CD . n
?

.

n


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