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浙江省桐乡市茅盾中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015 学年第二学期 茅盾中学期中考试高二数学(文)试卷
考生注意:总分 100 分,时间 120 分钟。 一、选择题:请将唯一正确答案填入答卷中,本题共 10 题,每题 3 分,共 30 分。 1、设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则 P∩(?UQ)= A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C

.{1,2,5} D.{1,2} (▲ D 1+2i ) ) ( ▲ )

2.已知 i 是虚数单位,则 A 1-2i 3 B 2-i

3?i = 1? i
C 2+i

设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的(▲

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 5 4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )= 2 1 A.- 2 1 B.- 4 C 1 . 4 D. 1 2 ( ▲ )

5 . 设 函 数 f ( x) ?

x x x ( x ? 0) , 观 察 : f 1 ( x) ? f ( x) ? , f 2 ( x) ? f ( f 1 ( x )) ? , , x?2 x?2 3x ? 4 x x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? ??根据 以上事实,由归纳推理可得当 7x ? 8 15 x ? 16
(▲ )

n ?N*且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?
A.

x ?2n ? 1?x ? 2n

B.

x ?2n ? 1?x ? 2 n

C.

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

D.

x (2 ? 1) x ? 2n
n

?1? 6.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 取值范围是 (▲ ?3? ?1 2? A.? , ? ?3 3? ?1 2? B.? , ? ?3 3? ?1 2? C.? , ? ?2 3? ?1 2? D.? , ? ?2 3?
( ▲ )

)

7.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?( x) ? 0,则必有 A. C.

f(0)+ f (2)? 2 f(1) ; f(0)+ f(2)? 2 f(1) ;

B. f(0)+ f(2)? 2 f(1) ; D. f(0)+ f(2)? 2 f(1).

1

8.定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3 -1,则有(▲

x

)

?1? ?3? ? 2 ? ?2? ?3? ?1? ?3? ?2? ?1? A.f? ?<f? ?< f ? ? B.f? ?<f? ?<f? ?C.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?2? ? 3 ? ?3? ?2? ?3? ?2? ?3? ?3?
3

?2? ?1? ?3? D.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?3? ?2?
)

9.若函数 f(x)=x -12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是(▲ A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 C.-2<k<2 B.-3<k<-1 或 1<k<3 D.不存在这样的实数

? 1 1 1 ?x ? , x ? A 10、设集合 A ? [0, ), B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? ,若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 2 2 2 ? ?2(1 ? x), x ? B
则 x0 的取值范围是 (A) ? 0, ? 4 ( ▲ )

? ?

1? ?

(B) ?

? 1 1? , ? 4 2? ?

(C) ( , )

1 1 4 2

(D) ?0, ? 8

? 3? ? ?

二、填空题:本大题共7小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.命题“若 a>0,则 a >0”的否命题是
2

.

?2 x , x ? 3 12.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (2)) = ? x ? 1, x ? 3
4

13.计算: log 3

27 ? lg 25 ? 2lg 2 ? eln 2 ? 3
2

14.函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________ .

?a x ( x ? 0), 15.已知函数 f ( x) ? ? 为减函数,则 a 的取值范围是 ?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)
16.请阅读下列材料: 已知一系列函数有如下性质:

1 在 (0,1] 上是减函数,在 [1,? ?) 上是增函数; x 2 函数 y ? x ? 在 (0, 2 ] 上是减函数,在 [ 2 ,??) 上是增函数; x 3 函数 y ? x ? 在 (0, 3 ] 上是减函数,在 [ 3 ,??) 上是增函数; x
函数 y ? x ? ?? 利用上述所 提供的信息解决问题: 若函数 y ? x ?

3m ( x ? 0) 的值域是 [6,? ?) ,则实数 m 的值是 x


2

17.函数 f ( x) 同时满足:①对任意 x 有 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ;②对任意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? 1 ? 0 , 则 称 函 数 f ?x ? 为 “ 理 想 函 数 ”. 给 出 四 个 函 数 : ① f ?x? ? ; ② f ?x ? ? x 2 ③ x1 ? x2 x
f ?x ? ?

?? x 2 2x ?1 ;④ ? ? f x ? ? 2 2x ?1 ? x

x?0 。能被称为“理想函数”的是 x?0



三、本大题(共5小题,共 49 分 8+10+10+10+11)解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. (8 分)已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

?1 ? i ?2 ?3 ? 4i ? 的值.
2z

19. (10 分) (10 分).已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R} ,

B ? {x | x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0, x ? R} (1)若 A ? B ? [1,3] ,求实数 m 的值; (2)若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围。

? 3 ? 2 20 已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1)(x+a),若 f′(-1)=0,求函数 y=f(x)在?- ,1?上的最大值 ? 2 ?
和最小值.

3

21.(10 分)已知指数函数 y ? g( x ) 满足:g(2)=4,定义域为 R 的函数

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m (1)确定 y ? g( x ) 的解析 式; (2)求 m,n 的值; f ( x) ?
(3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围

22.(本题满分 11 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b (a , b ? R ) , (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,求实数 a , b 的值; (2)若 f ( x ) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围.

4

2015 学年第二学期期中测试高二数学(文) 参考答案和评分标准 一、选择题: 1-10 DDBAC 二、填空题:
2

ACBBC

11. 若 a≤0,则 a ≤0”.

12. 3

13 .

15 4

14 . 6

15. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

16. 2

17.④

三、解答题: 18. 解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,????..1 分 而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 ........1 分 则?

? ? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ?? , z ? ?4 ? 3i b ? 3 b ? 3 ? 0 ? ? ?

??4

2i?3 ? 4i ? 3i ? 4i 2 ? ?1 2z 2?? 4 ? 3i ? ? 4 ? 3i ?2 19. 解: A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | m ? 2 ? x ? m ? 2} ????3 分 ?m ? 2 ? 1 (1)∵ A ? B ? [1,3] ,∴ ? m ? 3 ??????3 分 ?m ? 2 ? 3, (2) CR B ? {x | x ? m ? 2, 或x ? m ? 2} ???????..1 分 ∵ A ? CR B ,∴ m ? 2 ? 3 ,或 m ? 2 ? ?1 ????????.2 分 ∴ m ? 5 ,或 m ? ?3 ????????.1 分 ?

?1 ? i ?2 ?3 ? 4i ?

?

?

20.解: f′(x)=3x +2ax+1.

2

??????????????..1 分

∵f′(-1) =0,∴3-2a+1=0,即 a=2????????????..1 分

? 1? 2 ∴ f′(x)=3x +4x+1=3?x+ ?(x+1). ? 3?
1 1 由 f′(x)≥0,得 x≤-1 或 x≥- ;由 f′(x)≤0,得-1≤x≤- 3 3

? 3 ? ? 1 ? 因此,函数 f(x)的单调递增区间为?- ,-1?和?- ,1?, ? 2 ? ? 3 ?
5

1? ? 单调递减区间为?-1,- ?????????????????..4 分 3? ? ∴f(x)在 x=-1 取得极大值 f(-1)=2,

f(x)在 x=- 取得极小值 f?- ?= . 3
50 13 ? 3? 13 又∵f?- ?= ,f(1)=6,且 > , 27 8 ? 2? 8

1 3

? 1? 50 ? ? 27

? 3 ? ? 3? 13 ∴f(x)在?- ,1?上的最大值为 f(1)=6,最小值为 f?- ?= ??????4 分 2 ? ? ? 2? 8
21.解: (1)

y ? g( x ) ? 2 x ---------------------------------2 分

? 2x ? n (2)由(1)知: f ( x ) ? x ?1 2 ?m
因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

n?1 ?0? n?1 2? m

∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 又由 f(1)= -f(-1)知 2 x ?1 ? m

1 1? 1? 2 2 ? m ? 2 ---------------------------------3 分 f ( x) ? ?? 4? m m?1
(3)由(2)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t

即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . ---------------------------------5 分

1 3

6

22. 解: ∵ f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b ∴ f ' ( x) ? 2 x ? a ?

1 x

??????? 1 分 ???????1 分

∴ f (1) ? 1 ? a ? b , f ' (1) ? 3 ? a (1)∵ 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0

?k ? f ' (1) ? 3 ? a ? ?1 ∴ ? ?1 ? f (1) ? 2 ? 0
解得: a ? 4, b ? 0 . (2) f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b 的定义域为 ?x x > 0? ∵ f ( x ) 在其定义域内单调递增 ∴ f ' ( x) ? 2 x ? a ?

???????2 分 ???????1 分 ???????1 分

1 >0 在 x ? (0,??) 恒成立(允许个别点处等于零) x ???????1 分

∵ 2x ? a ?

1 >0( x >0)即 2 x 2 ? ax ? 1 >0 x a . 4

令 g( x) ? 2 x 2 ? ax ? 1 ,则其对称轴方程是 x ? ① 当

a ? 0 即 a ? 0 时, g( x ) 在区间 (0,??) 上递增 4

∴ g( x ) 在 区间 ?0,??) 上有 g( x ) min ? g(0) ? 1 >0,满足条件. ????1 分 ② 当

a a a > 0 即 a > 0 时, g( x ) 在区间 (0, ) 上递减, g( x ) 在区间 ( ,??) 上递增,则 4 4 4
???????2 分 ??????? 1 分

a a2 g( x ) m i n ? g( ) ? ? ? 1 ? 0 ( a >0) 4 8

解得:0< a ? 2 2

7


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