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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第1讲 坐标系(含解析)新人教A版选修4-4


选修 4-4

坐标系与参数方程

第 1 讲 坐标系
一、填空题 1.在极坐标系中,点 P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对 称点的极坐标是________. 解析 设点 P(ρ0,θ0)关于极点的对称点为(ρ,θ),则 ρ+ρ0=0,θ=θ0+π,∴对称点为 (-ρ0,θ0). 答案 (-ρ0,θ0)

>π 2.过点(2, )平行于极轴的直线的极坐标方程是________. 4 解析 设直线上点坐标 P(ρ,θ), 则 ρsin θ=2cos (90°-45°)= 2. 答案 ρsin θ = 2

π? 3.在极坐标系中,ρ=4sin θ 是圆的极坐标方程,则点 A? ?4,6?到圆心 C 的距离是________. 解析 将圆的极坐标方程 ρ=4sin θ 化为直角坐标方程为 x2+y2-4y=0,圆心坐标为

π 4, ? 的 直 角 坐 标 为 (2 3 , 2) , 故 点 A 到 圆 心 的 距 离 为 (0,2) . 又 易 知 点 A ? ? 6? ?0-2 3?2+?2-2?2=2 3. 答案 2 3 π? ? π? 4.在极坐标系中,点 M? ?4,3?到曲线 ρcos?θ-3?=2 上的点的距离的最小值为________. 解析 依题意知,点 M 的直角坐标是(2,2 3),曲线的直角坐标方程是 x+ 3y-4=0,因 |2+2 3× 3-4| 此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离,即为 =2. 12+? 3?2 答案 2 5.从极点作圆 ρ=2acos θ 的弦,则各条弦中点的轨迹为________. 解析 设所求曲线上动点 M 的极坐标为(r,φ),

φ=θ ? ? 由 图可知? 1 . ? ?r=2ρ

1

把 θ=φ 和 ρ=2r 代入方程 ρ=2acos θ, π π 得 2r=2acos φ,即 r=acos φ.(?- ≤φ≤ ?, 2? ? 2 这就是所求的轨迹方程. a a 由极坐标方程可知,所求轨迹是一个以( ,0)为圆心,半径为 的圆. 2 2 a a 答案 以( ,0)为圆心,以 为半径的圆 2 2 π 6.在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cos θ,曲线 C2:θ= ,若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点, 4 则线段 AB=________. ρ=2cos θ, ? ? 解析 曲线 C1 与 C2 均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由? π 得 θ= ? ? 4

? ?ρ= 2, ? π 即曲线 C1 与 C2 的另一个交点与极点的距离为 2,因此 AB= 2. θ= , ? ? 4
答案 2

7.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点 P 的极 π? 坐标为? ?2,2?过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是 ________. 解析 圆 C 的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0 化为普通方程:(x+1)2 +y2=1,点 P 的直角坐标为(0,2),圆 C 的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时, |-k+2| 3 3 设切线方程为 y=kx+2,则圆心到切线的距离为 2 =1,∴k= ,即 tan α= .易知满 4 4 k +1 足题意的另一条切线的方程为 x=0.又∵两条切线的夹角为 α 的余角,∴两条切线夹角的 4 正切值为 . 3 答案 4 3

8.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值 范围是________.
2

解析 注意到曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y+4=0, 即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线 3x+4y+m=0 与该曲线没有公共点,只要圆心(1,-2) |3×1+4×?-2?+m| 到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径即可,即 >1,|m-5|>5, 5 解得,m<0 或 m>10. 答案 (-∞,0)∪(10,+∞)

二、解答题

?x= 3cos α , 9.在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为? ?y=sin α
(α 为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 π 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ? (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解 π (1)把极坐标系下的点 P?4, ?化为直角坐标,得 P(0,4 ).因为点 P 的直角坐标(0, 2? ?

4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 坐标为( 3cos α,sin α),从而点 Q 到直线 l 的 π 2cos?α+ ?+4 6? | 3cos α-sin α+4| ? π 距离为 d= = = 2cos?α+ ?+2 2, 6? ? 2 2 π 由此得,当 cos?α+ ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6? ? 10.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
?ρ=2, ? π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ? ρ = 4cos θ ?

π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?. 注:极坐标系下点的表示不唯一.
? ?x=ρcos θ, (2)法一 由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别 ?y=ρsin θ ?

3

为(1, 3),(1,- 3).
?x=1, ? 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ? ?y=t ? ? ? ?x=1, ?- 3≤y≤ 3?? ?或参数方程写成? ?y=y ? ? ? ? ?x=ρcos θ, 法二 将 x=1 代入? ?y=ρsin θ ?

得 ρcos θ=1, 从而 ρ= 1 . cos θ

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
?x=1, ? ? ? ?y=tan θ

?-π≤θ≤π? 3? ? 3

4

5


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