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2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.1.6二次函数与幂函数 文


1.1.6 二次函数与幂函数 文
一、选择题 1.已知二次函数 y= x -2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 或 a≥3
2

2

)

B.2≤a≤3
2

C.a≤-3 或 a≥-2

D.-3≤a

≤-2

解析: y= ( x ? a) ? (1 ? a ) 在区间(2,3)内是单调函数得对称轴在区间(2,3)之外, a≤2 由 即 或 a≥3,选 A. 答案:A
1 3 1 3 1

2.(2013·黄冈质检)设 y1 =0.4 , y2 =0.5 , y3 =0.5 4 ,则( A. y3 < y2 < y1 B. y1 < y2 < y3
1 3

)

C. y2 < y3 < y1

D. y1 < y3 < y2
1 3 1 3

解析:幂函数 y=x 是定义域上的单调递增函数,所以 0.4 <0.5 ,指数函数 y=0.5x 是定 义域上的单调递减函数,所以 0.5 <0.5 4 ,故 y1<y2<y3. 答案:B 3.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )
1 3 1

A.①y=x ,②y= x ,③y=x ,④y= x
1

1 3

2

1 2

?1

B.①y= x ,②y= x ,③y=x 2 ,④y= x
1

3

2

?1

C.①y= x ,②y= x ,③y=x 2 ,④y= x
1 3 1 2

2

3

?1

D.①y=x ,②y=x ,③y= x ,④y= x
1 2

2

?1

解析:注意到函数 y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,结合选项知,该函 数图象应与②对应;y=x = x的定义域、值域都是[0,+∞),结合选项知,该函数图象应 1 与③对应;y=x-1= ,结合选项知,其图象应与④对应.综上所述,选 B. 答案:B x 4.设 b>0,二次函数 y= ax +bx+ a -1 的图象为下列之一,则 a 的值为(
2

2

)

-1-

A.1 B.-1

-1- 5 C. 2

-1+ 5 D. 2

解析:∵b>0,∴图象①②不可能, 又∵③④过原点.∴f(0)=0,即 a2-1=0,a=±1, b 又 b>0,如 a=1,- <0 与③④图形矛盾. 2a ∴a=-1. 答案:B
2

5. (2013·长春月考)设二次函数 f(x)= ax +bx+c, 如果 f( x1 )=f( x2 )( x2 ≠ x1 ), f( x1 则 + x2 )等于( b A.- 2a )

b B.- a

C.c

D.

4ac ? b 2 4a
答案:C

b b2 b ? b? 解析:由题意可得 x1+x2=- ,所以 f?- ?=a· -b· +c=c. a a2 a ? a?

6.(2013·山西月考)已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且 α ,β 是方程 f(x)=0 的两 根(α <β ),则实数 a,b,α 、β 的大小关系是( ) A.α <a<b<β B.a<α <β <b C.a<α <b<β D.α <a<β <b 解析:由题意得 a、b 是 g(x)=(x-a)(x-b)=0 的两个根,当 α ,β 是方程 f(x)=0 的两 根(α <β )时, 、 相当于直线 y=2 与 y=g(x)的交点的横坐标, α β 由于函数 g(x)=(x-a)(x -b)的图象是开口向上的抛物线,故必在 α <a<b<β . 答案:A 二、填空题
1

7. (2013·青岛模拟)已知函数 f(x)=x 2 , f(2x-1)<f(3x), x 的取值范围是__________. 且 则 1 解析:f(x)=x 2 在[0,+∞)上为增函数,f(2x-1)<f(3x),则 0≤2x-1<3x,∴x≥ . 2 1 答案:x≥ 2 8.若(a+1)
? 1 2 1

<(3-2a)
? 1 2

?

1 2

,则 a 的取值范围是______________.

解析:∵函数 y=x

在定义域(0,+∞)上递减, 2 3 即 <a< . 3 2

?a+1>0, ? ∴?3-2a>0, ?a+1>3-2a, ?

?2 3? 答案:? , ? ?3 2?
x

9. (2012·北京卷)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3), g(x)= 2 -2.若? x∈R, f(x)<0 或 g(x) <0,则 m 的取值范围是__________. 解析:m≥0 时,不能保证对? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0, 当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象如下图,显然成立

-2-

当-1<m<0 时,2m>-(m+3),由题意知:
?-1<m<0, ? ? ? ?2m<1,

即-1<m<0,

? ?m<-1, 当 m<-1 时,-(m+3)>2m,则由题意知? ?-? m+3? <1, ?

∴-4<m<-1,综上得-4<m<0. 答案:(-4,0) 三、解答题

? π π? 2 10.已知函数 f(x)= x +2x·tanθ -1,x∈[-1, 3],其中 θ ∈?- , ?. ? 2 2?
π (1)当 θ =- 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 6 (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. π 2 3 4 3? ? 解析:(1)当 θ =- 时,f(x)=x2- x-1=?x- ?2- ,x∈[-1, 3], 6 3 3 3? ? ∴x= 3 4 时,f(x)的最小值为- . 3 3

2 3 x=-1 时,f(x)的最大值为 . 3 (2)函数 f(x)=(x+tanθ )2-1-tan2θ , ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tanθ ≤-1 或-tanθ ≥ 3, 即 tanθ ≥1 或 tanθ ≤- 3. π ? ?π π ? ? π 因此,θ 的取值范围是?- ,- ?∪? , ?. 3? ?4 2? ? 2
1

x3 ? x 5 11.已知函数 f(x)=

?

1 3

1

x3 ? x 5 ,g(x)=

?

1 3

.

(1)证明 f(x)满足 f(-x)=-f(x),并求 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x)和 g(x)的 对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明.

-3-

1

?? x ? 3 ? ?? x ? 5 解析:(1)证明:f(-x)=
1 3

?

1 3

1

?x3 ? x 5 =
1 3

?

1 3

=-f(x),
1 3

设 x1>x2>0,由于 y=x 在 R 上递增,∴x1 >x2 . 又(x1x2)
? 1 3

>0,
1 1 1 1 1 1 1

? ? ? 1 1 3 3 3 3 3 3 3 ∴f(x1)-f(x2)= (x1 -x1 -x2 +x2 )= (x1 -x2 )[1+(x1x2) ]>0. 5 5

即 f(x)在(0,+∞)上递增.同理 f(x)在(-∞,0)上也递增. 故 f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增. (2)f(4)-5f(2)g(2)=0,f (9)-5f(3)g(3)=0,且 f(x2)-5f(x)g(x)=0. 证明如下:
? ? ? ? ? 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 f(x2)-5f(x)g(x)= (x -x )- (x -x )(x +x )= (x -x )- (x -x ) 5 5 5 5 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

=0. 12.(2013·银川质检)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区 间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在整数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等实数根?若 x 存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 解析:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0. x 设 h(x)=2x3-10x2+37,则 h′(x)=6x2-20x=2(3x-10).

? 10? ?10 ? x∈?0, ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数.当 x∈? ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 3? ? ?3 ?
1 ?10? ∵h(3)=1>0,h? ?=- <0,h(4)=5>0, 27 ?3?

? 10? ?10 ? ∴方程 h(x)=0 在区间?3, ?,? ,4?内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞) 3? ?3 ? ?
内没有实数根. 37 ∴存在唯一的整数 m=3,使得方程 f (x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实 x 数根.

-4-


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