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河北省衡水中学高三上学期三调考试


2013—2014 学年度高三上学期三调考试 高三年级数学试卷(理)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1.设集合 M={x|x ≤4) ,N={x|log2 x≥1},则 M∩N 等于( A[﹣2,2] . 2.若 x ? 0 、 y ? 0 ,则 x ? y ? 1 是 x ? y ? 1 的
2 2
2

) D.[﹣2,+∞)

B.{2}

C.[2,+∞)

( C.充要条件

) D.非充分非必要条

A.充分非必要条件 件

B.必要非充分条件

3.平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象限内, ?AOC ? |OC|=2,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? , ? 的值是( A. 3 ,1 B. 1, 3 C.-1, 3

5? ,且 6

????

??? ?

??? ?

) D. ? 3 ,1

4.设 S n 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

a2 的值为 a1

5.如图,圆 O 的两条弦 AB 和 CD 交于点 E,EF//CB,EF 交 AD 的 延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G,EF=2,则 FG 的长为( A. )

1 2

B.

1 3

C.1

D. 2 )

6. 某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( A. 2 5 C. 4 2 B. 29 D. 13
第 1 页 共 8 页

7.已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2
2 2

) C.3 D.4 )

8.已知 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是( A. a ? b ? c C. b ? a ? c B. b ? c ? a D. a ? c ? b

9.已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项

am , an 使得 am an ? 4a1 , 则
A.

3 2

B.

5 3

1 4 ? 的最小值为 ( m n 9 C. D.9 4



10.已知 a ? Z , 关于 x 的一元二次不等式 x2 ? 6x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数, 则所有符合条件的 a 值之和是( ) A.13 B.18
3 2

C.21
2

D.26
2

11.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , [ f '(? )] ? [ f '( ? )] ? 0, f (? ) ? f ( ? ) ? 0 (其中 ? , ? ? R 且 ? ? ? ) ,则下列选项中一定是方程 f ( x) ? 0 的根的是( A. ? )

b 3a

B. ?

b 2a

C.

c 3a

D.

c 2a

?5| x ?1| ? 1, x ? 0, ? 12. 设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? 2 若关于 x 的方程 ? x ? 4 x ? 4, x ? 0, ?
f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有 7 个不同的实数解,则 m = (
A.2 B.4 或 6 C.2 或 6 D.6 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13、若 ? ? (0,

?

? 1 ) ,且 cos 2 ? ? sin( ? 2? ) ? ,则 tan ? ? 2 2 2
第 2 页 共 8 页

.

14.向量 a,b,c 在正方形格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ? b(? , ? ? R) ,则 ? ? ? =

?

?

?

15. 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ?

2 1 , g ( x) ? ( ) x ? m, 若 ?x1 ? [1, 2], ?x2 ? [?1,1], 使 得 x 2
.

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 16.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 ?y ? m ? 0 ?

x0-2y0=2,则 m 的取值范围是
三、解答题(本大题共 7 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 三 棱 柱 A B C? A1 B1C1 中 , 侧 面 ABB1 A1 为 矩 形 ,

AB ? 1, AA1 ? 2 , D 为 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB1 A1 .
(Ⅰ)证明: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

C
B

C1

B1

O
A

D

A1

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? mx 在(0,1)上是增函数,
3

(Ⅰ)实数 m 的取值集合为 A,当 m 取集合 A 中的最小值时,定义数列 {an } 满足

a1 ? 3, 且 an ? 0, an ?1 ? ?3 f ? ? an ? ? 9 ,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 bn ? nan ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证: Sn ?

3 . 4

第 3 页 共 8 页

19.(本小题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 .. 入成本为 C (x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x) ?

1 2 x ? 10 x (万元).当年产量不小 3

于 80 千件时, C ( x) ? 51x ? 10000 ? 1450 (万元).每件商品售价为 500 元.通过市场分 .. x 析,该厂生产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x ) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 20. (本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM、CN (不含端点 C )上运动,

?MCN ?

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 3
A

M

b 、c.
(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值.
θ N B C

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? ax ? a(a ? R) . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? ? 1? . x2 ? x1 ? x1 ?

请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 、 则按所做的第一个题目计分。 22. (本小题满分 10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点, D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T (不与 A、 重合) DN 与圆 O 相切于点 N, B , 连结 MC, MB, OT. (I)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (II) 若 ?DOT ? 60 ,试求 ?BMC 的大小.
?

23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (I)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ;
第 4 页 共 8 页

(II)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) .

高三年级三调考试数学试卷(理)参考答案
一、 二、 选择题 填空题 13、1 BBDC DBBC ACAA 15、 m ?

14、 ?

5 2

5 2

16、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

三、解答题 17. ( 1 ) 根 据 题 意 , 由 于 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 ABB1 A1 为 矩 形 ,

AB ? 1, AA1 ? 2 , D 为 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB1 A1 ,那么
在 底 面 ABB1 A1 Z 中 , 利 用 相 似 三 角 形 可 知 , AB1 ? BD , CO ? AB1 , 进 而 得 到

面BCD ? AB1 ,则可知 BC ? AB1 ;……………………6 分
(2)如果 OC ? OA ,那么利用 AB ? 1, AA1 ?

2 , D 为 AA1 的中点,勾股定理可知

AC ? 2OA , 根 据 柱 体 的 高 , 以 及 底 面 积 可 知 三 棱 柱 B1 ? ABC 的 体 积 为
6 ……………………12 分 18
18. 解: (1)由题意得 f′(x)=﹣3x +m, ∵f(x)=﹣x +mx 在(0,1)上是增函数,∴f′(x)=﹣3x +m≥0 在(0,1)上恒成立, 即 m≥3x ,得 m≥3,-----------------------------2 分 故所求的集合 A 为[3,+∞) ;所以 m=3,∴f′(x)=﹣3x +3,
2 2 3 2 2

∵ ∴ 数 列 {an} 是 以 3

,an>0,∴

=3an,即

=3, an=3n ;

为 首 项 和 公 比 的 等 比 数 列 , 故

-------------------------------6 分 (2)由(1)得,bn=nan=n?3n, ∴Sn=1?3+2?3 +3?3 +…+n?3
2 3 4 2 3 n

① ②

3Sn=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 +1

n

①﹣②得,﹣2Sn=3+3 +3 +…+3 ﹣n?3 +1=
第 5 页 共 8 页

2

3

n

n

﹣n?3n+1

化简得,Sn=

> .----------------------------12 分

10 分

为 1000 万元.

--------------------12 分

20. 解(Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

2 1 ? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ? ? , cos C ? ? , 3 2
a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2 2

??

1 , 2
…………6

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 , 解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 , c ? 7 . ? 分 ( Ⅱ ) 在

?ABC





A C ? s ?A n B i

C?

B C ? s iB n A ?

C



A s

B iA n C

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2? ? ? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?
第 6 页 共 8 页

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,………10 分 2 3? ? ?2 ?
又? ?? ? 0,

? ?

?? ? ? 2? , ? ,? ? ? ? ? 3? 3 3 3

?当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . ……………………12 分 6

2-ax 21. 解: (Ⅰ)f ?(x)= ,x>0. x 若 a≤0,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上递增; 2 若 a>0,当 x∈ 0, 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; a 2 当 x∈ ,+∞ 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. …5 分 a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 a≤0,f (x)在(0,+∞)上递增, 又 f (1)=0,故 f (x)≤0 不恒成立. 2 若 a>2,当 x∈ ,1 时,f (x)递减,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 2 若 0<a<2,当 x∈ 1, 时,f (x)递增,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 若 a=2,f (x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f (x)≤f (1)=0,合题意. 故 a=2,且 ln x≤x-1(当且仅当 x=1 时取“=”) . …8 分 x2 当 0<x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2ln -2(x2-x1)+2 x1 x2 <2 -1 -2(x2-x1)+2 x1 1 =2 -1 (x2-x1), x1 f (x2)-f (x1) 1 所以 <2 -1 . …12 分 x1 x2-x1

( ( (

)

)

)

(

)

( (

) )

(

)

22. (1)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定 理 DN ? DT ? DM , DN ? DB ? DA ,得
2 2

r DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC= , 2 3r 2 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r , DO ? DC ? 2r ? ? 3r 2 , 2 所以 DT ? DM ? DO ? DC. ------------------5 分 (2)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ;
根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 .
?

--------10 分

第 7 页 共 8 页

23.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . 当 x ? 1时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 …………………………………………2 分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . …………………………………………5 分 2? ? 2
(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? a x ? 1 . 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? ax ? a

? ax ? 1 ? a ? ax ? ax ? 1 ? a ? ax ? a ? 1 ? f (a ) .

…………………………10 分

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