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理解三角函数


把数学教得更本质更简单
——以三角函数的教学为例

一、三角函数定位的变化
? 强调“函数的角度”,强调刻画周期现象 的数学模型。 ? 三角函数与其它学科的联系与结合非常重 要。最重要的是它与振动和波动的联系, “可以说,它几乎是全部高科技的基础之 一”,这是当前数学教学的薄弱环节。

? 强调发挥单位圆的作用,强调利用向量方 法,淡化三角恒等变换的技巧性内容。 ? 三角函数16课时,三角恒等变换8课时,解 三角形8课时。 ? 思考:三角函数与其它函数的不同点到底 在哪里?为什么要强调单位圆的作用?

强调单位圆作用的根本理由
? 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运 动的本质表现。 ? 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是 重大问题,三角学源自天文学。

? 角是“转”出来的:平面有向线段绕起点 (原点)在此平面内旋转就得到一个角。 “旋转”就有始边、终边之分,由转的大 小和方向决定。 ? 有向线段的长度对角的性质无影响,所以 只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它 的起点置于(0,0),终点是(x,y ), x2 +y2 =1。于是,角就是单位圆上的点(x, y)在其圆周上旋转所成的,称为任意角。 ? 任意角不仅是可取任意值的角,还有其他 丰富内容,主要是有方向。

匀速旋转的研究内容
? 首先是角,θ=ωt+θ0,θ0是角的初始位置。 这不仅有数学意义,更重要的是有物理意 义。

? 研究匀速旋转最重要的是研究(x,y)的变化, 即是研究x和y作为θ的函数——这是为什么要 采用“单位圆定义法”的理由,“正弦函数和 余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。 ? 更重要的,在这一定义下,三角函数的性质都 是定义的推论。 ? 三角恒等变换可以进一步简化——已没有太大 用处了,因为过去是为了制作三角函数表,应 付天文学、测量学的需要,现在这种计算用微 积分的方法可以轻易完成(有人认为是“培养 能力”)。

三角函数中需要加强的内容
? 三角函数与振动和波动现象的关系越来越 成为人们关注的焦点。人类从自然界和社 会生活中得到的关于振动和波动的信息越 来越多,如三相交流电,某地日出时间在 一年中的变化,各种乐器发出的声音,各 种各样的无线电波、雷达、电视,地震波, 甚至物种种群大小的周期变化,都被归结 为Asin(ωt+θ)(或Acos(ωt+θ) )——变换的 角度。

? 重要的是三角函数的图象与性质的教学, 应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、 单调性、周期性,解释诱导公式(简化公 式)的几何意义——诱导公式就是图像的 平移、轴对称的解析表示——变换的角度。

? 由于平移 2 后正弦曲线与余弦曲线完全重 合,所以正弦函数、余弦函数实际上是一 回事,用物理的知识解释,就是它们仅在 ? 位相上相差了 ——变换的角度。
2

?

“诱导公式”的重要性在那里?
? 诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称 性、变换中的不变性,几何意义是圆的对称性 (这是圆的最重要的性质)。 k? ? 所有变换 ? ? ? ? ? (k=0,±1,±2……)都
2

可以由 T1 : ? ? ? ?

?
2

和 T 2 : ? ? ? ? 生成。

? 变换是整个数学的核心概念之一。

?x ? T1: , y ? ? ? x ?, y ? ? ,则 x ? ? ? y , y ? ? x ;(画 个图就可以明白它是正确的,证明可以用向量 法:经过T1 ,i ? j,j? -i,所以向量xi+yj 变为xj-yi=-yi+xj。) ? ? T2 : x , y ? ? ? x ?, y ? ? ,则 x ? ? x , y ? ? ? y 。 ? 上述结果用三角函数表示就是:
cos( ? ?

?
2

) ? ? sin ? , sin( ? ?

?
2

) ? cos ? .

cos( ? ? ) ? cos ? , sin( ? ? ) ? ? sin ? .

? 由此可导出所有“公式”,由变换导出的!

? “诱导公式”是圆的对称性的表现。

? 必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的 数学模型,这样才真正抓住了要领,才能 以简驭繁:只要让学生真正懂得两个变换 所表示的意义,再放手让他们逐步学着由 此推导出需用的公式,当然还要在理解的 基础上记住。
? 要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆 公式!

教诱导公式的三个要点: ? 依据——三角函数的定义; ? 思想方法——变换(旋转、对称); ? 工具——单位圆。

如何认识“和(差)角公式”
? 归根到底是圆对称性的解析表示:“诱导 公式”解决了旋转一直角的问题,这里要 解决旋转任意角的问题。

更上位地看
? 函数及其图象、函数的变换(映射)与坐 标系的变换及其关系、对称性与不变性等 等都是18-19世纪以后的新思想,而且是当 代的主流——我们应该教给学生先进的东 西。

从联系的观点、发展的眼光看
? 这样处理三角函数,可以充分利用单位圆, 发挥向量的作用,并充分体现了变换的思 想、对称性思想、不变性思想,使三角函 数简单、好懂、有用、好用。

? “向量就是复数,复数就是向量”: ? 把z=x+yi作为单位圆上点P(x,y)的复数坐 标,则z=cosθ+isinθ。 ? 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,就有 z1z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) =cos(α+β)+isin(α+β)。

结束语
? 改变习惯很难,但必须要改,否则跟不上 发展的要求; ? 更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基 础; ? “教什么”是数学教学的首要问题; ? 在透彻了解内容本质的基础上,再用学生 能理解的方式呈现出来。

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