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同步练习-5.3平行线的性质


5.3 平行线的性质
基础题 10 道,中档题 6 道,较难题 2 道,作业 5 道 知识点归纳 知识点 1 平行线的性质 性质 1 两直线平行,同位角相等. ∵ AB∥CD ∴ ∠1=∠2 性质 2 两直线平行,内错角相等. ∵ AB∥CD ∴ ∠2=∠3 性质 3 两直线平行,同旁内角互补. ∵ AB∥CD ∴∠3+∠4=180° 知识点 2 命题、定理、证明 (1) 判断一件事情的语句,叫做命题. (2) 判断正确的命题叫真命题,判定错误的命题叫假命题. (3) 正确性是我们经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理.

1

【基础题】 1.如图所示,如果 AB∥CD,那么( A.∠1=∠4,∠2=∠5 B.∠2=∠3,∠4=∠5 C.∠1=∠4,∠5=∠7 D.∠2=∠3,∠6=∠8 )

答案:D 解析:A、∠1 与∠4 不是由两平行线形成的内错角,∠2 与∠5 不是三线八角中的角,故错误; B、∵AB∥CD,∴∠2=∠3,∵∠4 与∠5 不是三线八角中的角,故错误; C、∠1 与∠4,∠5 与∠7 不是由两平行线形成的内错角,故错误; D、∵AB∥CD,∴∠2=∠3,∠6=∠8(两直线平行,内错角相等) ,故正确.

【基础题】 2. (呼和浩特)如图,DE∥BC,EF∥AB,图中与∠BFE 互补的角共( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 )个.

答案:C 解析:∵DE∥BC ∴∠BFE+∠DEF=180°① ∠BFE+∠EFC=180°② 又∵EF∥AB ∴∠BFE+∠B=180°③ ∠B=∠ADE ∴∠BFE+∠ADE=180°④

2

【基础题】 3.如图所示,AD∥EF∥BC,AC 平分∠BCD,图中和 α 相等的角有( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 )

答案:C

【基础题】 4.如图,已知 OE 是∠AOB 的平分线,CD∥OB,∠ACD=40°,则∠CDE 的度数为( A.160° C.140° B.150° D.130° )

答案:A 解析:∵CD∥OB,∴∠AOB=∠ACD=40°. ∵OE 是∠AOB 的平分线, ∴∠BOD= ∠AOB=20°. ∵CD∥OB, ∴∠CDO=∠BOD=20°. 再根据平角的概念,得∠CDE=180° ﹣20° =160° .

3

【基础题】 5.如图所示,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( A.180° C.360° B.270° D.540° )

答案:C 解析:∵AB∥CD∥EF,∴∠BAC+∠ACD=180°,∠DCE+∠CEF=180°. ∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360° .

【基础题】 6.下列 5 个命题,其中真命题的个数为( ①两个锐角之和一定是钝角 ②直角小于钝角 ③同位角相等,两直线平行; ④内错角互补,两直线平行 ⑤如果 a<b,b<c,那么 a<c. A.1 个 答案:C B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

4

【基础题】 7.如图,直线 AB、CD 交于点 O,OT⊥AB 于 O,CE∥AB 交 CD 于点 C,若∠ECO=30°,则∠DOT 等于( A、30° C、60° B、45° D、120° )

解析:由 CE∥AB,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠BOD 的度数,又由 OT⊥AB,求得∠BOT 的度 数,然后由∠DOT=∠BOT-∠DOB,即可求得答案. 解:∵CE∥AB ∴∠DOB=∠ECO=30° ∵OT⊥AB ∴∠BOT=90° ∴∠DOT=∠BOT-∠DOB=90°-30°=60° 故选 C

【基础题】 8.(☆)如图:AB∥CD,直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F,EG 平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2 等于多少度?

A C

E 2 G

B

1 F

D

解析:两直线平行,同旁内角互补,可求出∠FEB,再根据角平分线的性质,可得到∠BEG,然后用两直线 平行,内错角相等求出∠2. 解∵AB∥CD, ∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°,∠2=∠BEG ∵EG 平分∠BEF ∴∠BEG=

1 2

∠BEF=

1 2

×108°=54°

故∠2=∠BEG=54°

5

【基础题】 9. (证明题) 如图, 已知 B, E 分别是线段 AC, DF 上的点, AF 交 BD 于 G, 交 EC 于 H, ∠1=∠2, ∠D=∠C, 求证:DF∥AC.

证明:∵∠1=∠2,∠1=∠3(对顶角相等) , ∴∠2=∠3, ∴BD∥EC, ∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补) ; 又∵∠D=∠C, ∵∠DBC+∠D=180°, ∴DF∥AC(同旁内角互补,两直线平行) .

【基础题】 10.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E 的度数是?

解析:先由平行线的性质得出∠1 等于三角形 CDE 的外角,再由三角形的外角性质求出∠E. 解:∵CD∥AB, ∴∠1=∠EDF=120°, ∴∠E=∠EDF-∠2=120°-80°=40°. 故选:A.

6

【中档题】 1.(☆☆)如图,直线 AB∥CD,直线 EF 分别与 AB、CD 相交,则有( A、∠1+∠2-∠3=180° B、∠1-∠2+∠3=180° C、∠3+∠2-∠1=180° D、∠1+∠2+∠3=180° )

解析:根据平行线的性质得出∠3=∠4,根据∠4+∠5=180°可得出∠3+∠5= 180°,由三角形内角与外角的关系即可得出结论. 解:∵AB∥CD, ∴∠3=∠4 ∵∠4+∠5=180° ∴∠3+∠5=180°…① ∵∠1+∠5=∠2…② ∴∠5=∠2-∠1…③ 把③代入①得,∠3+∠2-∠1=180° 故选 C

【中档题】 2.(☆☆)如图,在△ABC 中,∠C=90°,若 BD∥AE,∠DBC=20°,则∠CAE 的度数是( A、40° C、70° B、60° D、80° )

解析:过点 C 作 CF∥BD,根据两直线平行,内错 角相等即可求解. 解:过点 C 作 CF∥BD,则 CF∥BD∥AE ∴∠BCF=∠DBC=20° ∵∠C=90° ∴∠FCA=90-20=70° ∵CF∥AE ∴∠CAE=∠FCA=70°

7

【中档题】 3.(☆☆)如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°, ∠EFB=130°,问直线 EF 与 AB 有怎样的位置关系? 为什么? 解析:在同一平面内,两直线的位置关系有两种: 平行和相交,根据图形可以猜想两直线平行, 解:EF//AB: 证明:∵CD∥AB ∴∠ABC=∠DCB=70° ∵∠CBF=20° ∴∠ABF=50° ∴∠ABF+∠EFB=50° +130° =180° ; ∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平行) .

【中档题】 4. (解答题)已知 AB∥DE,试说明∠B+∠D=∠BCD.

解析:过 C 作 CF∥DE(如图①所示) ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CF ∴∠B=∠BCF,∠D=∠DCF ∴∠B+∠D=∠BCD

8

【中档题】 5.已知:如图,∠BAE+∠AED=180°,∠1=∠2,证明:∠M=∠N.

解析:先由同旁内角互补,推得 AB∥CD,再利用平行线性质,得到∠MAE=∠NEA,进而推得 AM∥NE,进而 得到结论∠M=∠N. 解:∵∠BAE+∠AED=180°(已知) , ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) , ∴∠BAE=∠AEC(两直线平行,内错角相等) , 又∵∠1=∠2(已知) ∴∠BAE-∠1=∠AEC-∠2 即∠MAE=∠NEA ∴AM∥NE ∴∠M=∠N(两直线平行,内错角相等)

【中档题】 6.如图所示,若 AB∥CD,探索∠P 与∠A,∠C 三者之间的关系。

答案:∠C= ∠P+∠A 解析: ∵AB∥CD ∴∠C=∠1(两直线平行,同位角相等) ∵∠2+∠P+∠A=180°(三角形内角和定理) 且∠2 + ∠1 =180°(∠1 与∠2 互为邻补角) ∴∠1= ∠P+∠A(等量代换) ∴∠C= ∠P+∠A(等量代换)

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【较难题】 1.平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等,如图, 一束光线 m 先射到平面镜 a 上,被平面镜 a 反射到平面镜 b 上,又被平面镜 b 反射出光线 n. (1)若 m∥n,且∠1=50°,则∠2= (2)若 m∥n,且∠1=40°,则∠3= 总有 m∥n?试证明你的猜想. °,∠3= °; °;

(3)根据(1)、(2 猜想:当两平面镜 a、b 的夹角∠3 是多少度时,

5 4

6
解析: (1)∵m∥n ∴∠4+∠2=180° ∵∠5=∠1=50° ∴∠4=80° ∴∠2=180°-80°=100° ∴∠6=∠7=40° ∴∠3=180°﹣∠5﹣∠6=90° (2)∵m∥n, ∴∠4+∠2=180°, ∵∠5=∠1=40°, ∴∠4=100°, ∴∠2=80°, ∴∠6=∠7=50°, ∴∠3=180°﹣∠5﹣∠6=90°;

7
(3)当∠3 是 90°时,总有 m∥n 证明:∵∠3=90° ∴∠5+∠6=90° ∴∠1+∠7=90° ∴∠1+∠5+∠6+∠7=180° 又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7=360° ∴∠4+∠2=180° ∴m∥n

10

【较难题】 2.如图①所示,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,试回答下列问题: (1)试说明:OB∥AC; (2)如图②,若点 E、F 在 BC 上,且∠FOC=∠AOC,OE 平分∠BOF.试求∠EOC 的度数; (3)在(2)的条件下,若左右平行移动 AC,如图③,那么∠OCB:∠OFB 的比值是否随之发生变化? 若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值; (4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA 时,试求∠OCA 的度数.

(1)∵BC∥OA ∴∠B+∠O=180°,又∠B=∠A ∴∠A+∠O=180° ∴OB∥AC

(2)∵BC∥OA ∵∠B+∠BOA=180° ∴∠BOA=180°-100°=80° ∵OE 平分∠BOF ∴∠BOE=∠EOF,又∵∠FOC=∠AOC ∴∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)= ∠BOA=40°

(3)结论:∠OCB:∠OFB 的值不发生变化 ∵BC∥OA ∴∠FCO=∠AOC 又∵∠FOC=∠AOC ∴∠FOC=∠FCO ∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB ∴∠OCB:∠OFB=1:2

(4)由(1)知:OB∥AC 则∠OCA=∠BOC 由(2)可以设:∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β 则∠OCA=∠BOC=2α+β ∠OEB=∠EOC+∠ECO =α+2β ∵∠OEC=∠OCA ∴2α+β=α+2β ∴α=β ∵∠AOB=80° ∴α=β=20° ∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°

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