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2013皖北协作区高三联考数学(理含答案)


2013 年安徽省皖北协作区高三年级联考 数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 B

5 C

6 C

7 C

8 B

9 D

10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 任意 x ? 2 ,都有 x ? 3 x ? 1 ? 0 成立;
2

12.

672

13.

2013 2014

14.

2

15. ②、④、⑤

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 2 k sin x co s x ? 2 co s x ? 1 ? k sin 2 x ? co s 2 x ?????????2 分
2

∵x ?

?
8

时, f ( x ) 取得最大值.
?
8 ? cos 2 ?

∴ k sin 2 ?

?
8

?

k ?1 .
2

得 k ? 1 . ??????????????5 分

(注:其它方法请合情给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? ∴f(
A 2 ) ? 2 sin( 2 ? A 2 a sin A ? b sin B ? 2 sin( 2 x ?

?
4

),

?
4

) ?

2 .∵ A 是 ? ABC 的内角,

∴A ?

?
4

.?????7 分

由正弦定理



2 sin

?
4

?

6 sin B

.

即 sin B ?

3 2
5? 12

.B ?

?
3

或B ?

2? 3

; 得C ?

5? 12

或C ?

?
12

. ????????10 分

∴当 C ?

时, S ? ABC ?

1 2 1 2

ab sin C ?

1 2 1 2

?2?

6 ?

6 ? 4 6 ? 4

2

?

3? 2

3

.

当C ?

?
12

时, S ? ABC ?
2

ab sin C ?

?2?

6 ?

2

?

3? 2

3

. ?????12 分
1 2

(也可求由余弦定理 2 ? ( 6 ) ? c ? 2 ? 6 ? c ? cos
2 2

?
4

求c , 再用 S ? ABC ?

bc sin A 求面

积) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知“网球爱好者”人数为 (0 .0 0 2 5 ? 0 .0 1 0 0 ) ? 2 0 ? 1 0 0 ? 2 5 ,
b ? 2 5 ? 5 ? 2 0 , a ? 6 0 ? 2 0 ? 4 0 , c ? 1 0 0 ? 4 0 ? 2 0 ? 5 ? 3 5 .????????3 分

?

2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

?

100(40 ? 5 ? 20 ? 35) 60 ? 40 ? 75 ? 25

2

?

50 9

? 5 .5 5 6 .?????5 分

因为 3 .8 4 1 ? 5 .5 5 6 ? 6 .6 3 5 , 所以有 95%以上的把握认为“网球爱好者”与性别有关。????????????6 分
1

(Ⅱ) X ~ B (3, )
4

所以 X 的分布列为:
0

X
P
k

1
27 64 , k ? 0 ,1, 2 , 3 .

2
9 64

3

27 64 1
k

1 64

或 P( X ? k ) ? C3 ? ( ) ? ( )
4 4 ? EX ? 3 ? 1 4 ? 3 4

3

3? k

.????????????????????????????12 分

18 .(本小题满分 12 分) 解:解法 1: (Ⅰ)连结 A C 与 B D 交于点 F , 连结 N F ,∵ F 为 B D 的中点, ∴ N F // P D 且 N F ?
1 2 P D ,又 E C // P D 且 E C ? 1 2 PD

∴ N F // E C 且 N F ? E C ∴ N E // F C ∵ AC ? 面 ABCD

∴四边形 NFCE 为平行四边形 又 PD ? BD ? D

D B ? A C , P D ? 平面 A B C D ,

∴ AC ? PD ,

∴ AC ? 面 PBD ∴ N E ? 面 P D B ???????????????5 分 (Ⅱ) 延长 P E 与 D C 的延长线交于点 G ,连结 G B , G B 为平面 P B E 与 A B C D 的交线 则 ∵ PD ? 2EC , ∴CD ? CG ? CB ∴ D , B , G ,在以 C 为圆心、 B C 为半径 以 的圆上, ∴ DB ? BG ∵ P D ? 平面 A B C D , B G ? 面 A B C D , ∴ PD ? BG 且 PD ? DB ? D , ∴ BG ? 面 PDB ∵ PB ? 面 PDB , ∴ BG ? PB . ∴ ? P B D 为平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二 面角的平面角, ∴ ? P B D =45°在 R t ? P D B 中 P D ? D B ?
2 .???????????????12 分

解法 2: Ⅰ) ( 如图以点 D 为坐标原点, D A , D C , D P 所在的直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 以 建立空间直角坐标系如图所示: 设 P D ? a 则 B (1,1, 0 ), C (0,1, 0 ), P (0, 0, a ),
E ( 0 ,1, a 2 ),N( 1 1 a , , ). 2 2 2
E N D C y z P

A x

B

∴ EN ? ( , ?

????

1

1

??? ? , 0 ) , P B ? (1,1, ? a ) ,

2 2 ???? D B ? (1,1, 0 ) .

∵ EN ? PB ?

???? ??? ?

1 2

?1?

1 2

?1? a ? 0 ? 0 ,

???? ???? 1 1 EN ? DB ? ?1 ? ?1 ? 0 ? 0 ? 0 . 2 2

∴ E N ? P B , E N ? D B ∵ P B 、 D B ? 面 P D B ,且 P B ? D B ? B . ∴ N E ? 面 P D B ?????????????????????????????5 分 (Ⅱ)由 (Ⅰ)知 PB ? (1 , 1 , ? a ) ,PE ? ( 0 , 1 , ?
??? ? ?n ? PB ? 0 ? 则 ? ??? , ? ?n ? PE ? 0 ?
a 2
? x ? y ? az ? 0 ? 即? 令 z ? 2 ,则 y ? a , x ? a a z ? 0 ?y ? 2 ?

) ,设 n ? ( x , y , z ) 是面 PBE 的法向量,

∴n ? (a, a, 2)

∵ P D ? 平面 A B C D , ∴ PD ? ( 0 , 0 , a ) 是 ABCD 的一个法向量, ????????9 分
???? | PD ?n | ? 故 c o s 4 5 ? ???? | PD | ? | n | a?
?

2a a ? a ? 4
2 2

得a ?

2 .

∴ PD 的长为 2 .(利用射影公式 cos ? ?

S 设影 S原

可酌情给分)??????????12 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意该函数的定义域为 ? x x ? 0 ? ,由 f ( x ) ? a x ?
'

1 x

,因为曲线 f ( x ) 存在平

1 行于 x 轴的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? ( x ) ? a x ? 存在零 x

点. 解法 1 (图像法) 再将之转化为 g ( x ) ? a x 与 h ( x ) ?
1 x

存在交点.当 a ? 0 不符合题意,

当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点, 故有 a ? 0 .

解 法 2 ( 分 离 变 量 法 ) 上 述 也 可 等 价 于 方 程 ax ?
a ? 1 x
2

1 x

? 0 在 ? 0, ? ? ? 内 有 解 , 可 得

? ( 0 , ? ? ) ; ????????????????????????????5 分
ax ? ax ? 2
2

(Ⅱ)? F ( x ) ?

a 2

x ? a x ? 2 ln x ,? F ? ( x ) ? a x ?
2

2 x

?a ?



x

? 函数 F ( x ) 在区间 [
2

1 e

, e ] 上是单调递减的,

? F (x) ?
'

ax ? ax ? 2 x

? 0 在区间 [

1 e

, e ] 上恒成立,即

a x ? a x ? 2 ? 0 在区间 [
2

1 e

, e ] 上恒成立.令 h ( x ) ? a x ? a x ? 2 ,
2

①当 a ? 0 时, h ( x ) ? ? 2 ? 0 ,此时,函数 F ( x ) 在区间 [ , e ] 上是单调递减
e

1

②当 a ? 0 时,函数 h ( x ) ? a x ? a x ? 2 开口向上,对称轴为 x ?
2

1

1 ? [ , e ] ,只需 2 e

h (e) ? ae ? ae ? 2 ? 0 ? a ?
2
2

2 e ?e
2

,? 0 ? a ?

2 e ?e
2


1 1 ? [ , e] , 2 e

③当 a ? 0 时,函数 h ( x ) ? a x ? a x ? 2 开口向下,对称轴为 x ? 只需 ? ? a ? 8 a ? 0 ? ? 8 ? a ? 0
2

综上可知 ? 8 ? a ?

2 e ?e
2

.??????????????????????12 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)先判断出 ( ? 6 , 0 ) 在椭圆上,进而断定点 (1, ? 3) 和 ( 4, ? 6 ) 在抛物线上,故 ( 3 ,1)
x
2

在椭圆上,所以椭圆 C 1 方程为

?

y

2

6

2

? 1 ,抛物线 C 2 方程为 y ? 9 x ;?????5 分
2

(Ⅱ)设 C ( x1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ) ,
? 3 (x ? m) ?y ? 3 ? 2 ? 2 ?x ? 3y ? 6

消去 y 得: 2 x ? 2 m x ? m ? 6 ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0 得 -2 3 ? m ? 2 3 ,
m ?6
2



?????????????????7 分

而 x1 ? x 2 ?

2
3 3

, x1 ? x 2 ? m ,

故 y1 ? y 2 ?

( x1 ? m ) ?

3 3

( x2 ? m ) ?

1

? x1 ? x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m ? ? ? 3?
2

m ?6
2

.

6

欲使左焦点 F 在以线段 C D 为直径的圆 E 的外部,则 F C ? F D ? 0
???? ???? F C ? F D ? ( x1 ? 2, y 1 ) ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? y 1 y 2 ? 4 ? 0 .

??? ???? ?

整理得: m ( m ? 3) ? 0 即 m ? ? 3 或 m ? 0 .

②????????????????12 分

由①②可得 m 的取值范围是: ? 2 3 , ? 3 ∪ (0 , 2 3 ) .?????????????13 分

?

?

21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解法 1? S n ? 2 ? 6 ? 1 0 ? … + ( 4 n ? 2 ) ? 1
? 2n ?
2

n ( n ? 1) 2

?4 ?1

? 2 n ? 1 . ?????????????????????????4 分

解法 2:当 n ? 1 时, S 1 ? 1 . 当 n ? 2 时,数列 ? a n ? 是以 6 为首项, 4 为公差的等差数列.
? S n ? 1 ? 6 ? 10 ? … ? 4n ? 2) (
? 1? 6 ? 4n ? 2 2 ( n ? 1)

? 2n ? 1 .
2

综上可知 S n ? 2 n ? 1 ( n ? N ) ;?????????????????????4 分
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( n ) ? 2 n ? 1
2

? bn ?1 ? f ( bn ) ? 2 bn ? 1 .
2

? b1 ? c o s

?
20

,? b 2 ? 2 c o s

2

?
20

? 1 ? cos

2? 20

, b3 ? 2 c o s

2

2? 20

? 1 ? cos

4? 20

.

猜想:
bn ? c o s 2
n ?1

?

? cos

2

n?3

?

.????????????????????7 分

20

5

证明: n ? 1 时, b1 ? c o s

?
20

成立;
2
k ?1

假设 n ? k ( k ? 1) 时, b k ? c o s
k ?1

?

成立,则 n ? k ? 1 时,
( k ?1 ) ?1

20
2

bk ?1 ? 2 c o s

2

2

?

? 1 ? cos

2 ?
k

? cos

?

成立.

20

20 2

20
n?3

? 综上可知对一切的 n ? N 都有 b n ? c o s

?

成立.??????????????10 分

5

若存在正整数 k 使得 b n ? k ? b n ( n ? 4, 5, 6, … ) 成立,则
2
n? k ?3

cos

?

? cos

2

n?3

?

5 2
n? k ?3

5 2
n?3

?

?

?

?

? 2 m? 或

2

n? k ?3

?

?

2

n?3

?

? 2 m? , m ? N

?

5

5

5

5

? 2 ? 1?
k

10m 2
n?3

或2 ?1 ?
k

10m 2
n?3

? n ? 4, 5, 6, … ,

当2 ? 1?
k

10m 2
n?3

成立时,只有 成立时,只有

10m 2 2
n?3

? 1 5 ,即 m ? 3 ? 2 ? 5 ,即 m ? 2
n?4

n?4

时, k 有最小值为 4.

当2 ?1 ?
k

10m 2
n?3

10m
n?3

时, k 有最小值为 2

综上可知 k 有最小值为 2.?????????????????????????14 分


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