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2014—2015学年度南昌市高三第一次模拟测试卷-数学-文


2014—2015 学年度南昌市高三第一次模拟测试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题 题目 答案 二、填空题 13. 2 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)等差数列 {a n } , a1 ? 1 , S 3 ? 6 ,? d ? 1 ,故 a n ? n ???3 分 14. [2, 6] 15. 4? 16. (?1, 0) 1 D 2 A 3 A 4 A

5 C 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 B 12 A

S ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 n ?? (1) S ?S a , (1) ? (2) 得 bn ? 2 n n ?1 ? 2 n ? 2 n (n ? 2) , ? S n ?1 ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? 2 ? (2)

b1 ? 2 S1 ? 21 ? 2 ,满足通项公式,故 bn ? 2 n
(Ⅱ) 设 ?bn ? a n 恒成立 ? ? ?

???7 分

c n n ?1 n 恒成立,设 c n ? n ? n ?1 ? n cn 2n 2 2
???10 分 ???12 分

当 n ? 2 时, c n ? 1 , {c n } 单调递减,

? (c n ) max ? c1 ?

1 1 ,故 ? ? . 2 2

18. 解: (Ⅰ)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件 A, 第三组人数为 50 ? 0.06 ? 5 ? 15 ,第四组人数为 50 ? 0.04 ? 5 ? 10 , 第五组人数为 50 ? 0.02 ? 5 ? 5 , ???2 分

根据分层抽样知,第三组应抽取 3 人,第四组应抽取 2 人,第五组应抽取 1 人, ???4 分 所以 P ( A) ?

2 . 5

???6 分

(Ⅱ)记第三组选中的三人分别是 A1 , A2 , A3 ,第四组选中的二人分别为 B1 , B2 ,第五组选中的人为 C ,从 这 六 人 中 选 出 两 人 , 有 以 下 基 本 事 件 :

A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1 B2 , A1C
???9 分



A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A2C , A3 B1 , A3 B2 , A3C , B1B2 , B1C , B2C ,共 15 个基本事件,

符合一人在第三组一人在第四组的基本事件有 A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , ,共 6 个, 所以所求概率 P ?

6 2 ? 。 15 5
? ME ∥ AP ?①

???12 分

19. 解: (Ⅰ)作 ME ? AB 于 E , 连接 CE ,

? AC 是圆 O 的直径, AC ? 2 BC ? 2CD ? 2 ,

? AD ? DC , AB ? BC , ? ?BAC ? ?CAD ? 30 0 ,

???2 分

?BCA ? ?DCA ? 60 0 , AB ? AD ? 3

1 3 BE 3 1 , , tan ?BCE ? ? BM ? BP ? BE ? BA ? 3 3 BC 3 3
? ?BCE ? ?ECA ? 30 0 ? ?CAD ? EC ∥ AD ?②,???4 分
又 ME ? CE ? E , PA

DA ? A

? 平面 MEC ∥平面 PAD , CM ? 平面 MEC , CM ? 平面 PAD ? CM ∥ 平面 PAD
作 BF ∥ CG , 连接 PF 则 ?PBF 为异面直线 BP 与 CD 所成角 ?PBF ? ? ??8 分 ???6 分

(Ⅱ)过点 A 作平行于 BC 的直线交 CD 的延长线于 G ,

AF ? 1 , PB ? 6 , BF ? 2, PF ? 2

???10 分

cos ? ?

PB 2 ? BF 2 ? PF 2 6 ? 4 ? 4 6 ???12 分 ? ? 2 PB ? BF 4 2 6?2

20. 解: (Ⅰ)如图圆 E 经过椭圆 C 的左、右焦点 F1 , F2 ,

F1 , E , A 三点共线,
? F1 A 为圆 E 的直径, ? AF2 ? F1 F2

1 9 x 2 ? (0 ? ) 2 ? , 2 4

? x ? ? 2 ,? c ? 2

???2 分

| AF2 | 2 ?| AF1 | 2 ? | F1 F2 | 2 ? 9 ? 8 ? 1 , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4
a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 2 ,
? 椭圆 C 的方程
???4 分

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

???5 分

(Ⅱ)点 A 的坐标 ( 2,1) 所以直线 l 的斜率为

MN ? ? OA(? ? 0) ,

2 , ???6 分 2 2 x?m 2

故设直线 l 的方程为 y ?

? 2 y? x?m ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2

? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ? 2m, x1 x2 ? m 2 ? 2,
| MN |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 1 ?
点 A 到直线 l 的距离 d ?

? ? 2m 2 ? 4m 2 ? 8 ? 0 ,??2 ? m ? 2

???8 分

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 12 ? 3m 2 2

6 |m| 3

S ?AMN ?

1 1 6 2 2 4 ? m2 ? m2 | MN | ?d ? 12 ? 3m 2 ? | m |? (4 ? m 2 )m 2 ? ? ? 2 ???10 分 2 2 3 2 2 2

2 2 当且仅当 4 ? m ? m ,即 m ? ? 2 ,直线 l 的方程为 y ?

2 x? 2 2

???12 分

21. 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? sin x ? x cos x ? sin x ? x cos x , x ? (0,2? ) , f ' ( x) ? 0 ,? x ?

?
2



3? 2

? 3? ? 3? ? f ( x) 在 (0, )和( , 2? ) 递增, ( , ) 递减, 2 2 2 2
f ( x) 极小值 ? f ( 3? 3? 3? 3? 3? )? sin ? cos ?? 2 2 2 2 2

???2 分

???4 分

f ( x) 极大值 ? f ( ) ? sin ? cos ? 2 2 2 2 2
(Ⅱ)? f ' ( x) ? 0 , x ? 0 , ? xi ?

?

?

?

?

?

???6 分

(2n ? 1)? , 2

???8 分

9 1 3 1 ? ? 2 ?[ ]2 ? 4 xi (2n ? 1)? (2n ? 1) 2

???9 分

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ??? 2 ) ? 2 ? 2 ?? ? ? ? ??? 2 4 x 2 x3 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 3)(2n ? 1) xn 3 5 (2n ? 1)

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2

???11 分

?

1 1 1 4 1 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 x 2 x3 xn 9 2 9

???12 分

22. 解: (Ⅰ)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA

AB ? PC ? PA ? AC

????4 分

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA2 ? PB ? PC , ???6 分

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 900
又由(Ⅰ)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 , 连接 EC , 则 ?CAE ? ?EAB,
???8 分 ???10 分

?ACE ∽ ?ADB ,
AB AD ? AE AC

AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360

? x ? 2 cos t , ? 23.解: (Ⅰ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 点 C (1,1) 在圆上,故切线 l 方程为 x ? y ? 2 ???2 分 ? ? y ? 2 sin t ,

? ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ,切线 l 的极坐标方程: ? sin(? ?
(Ⅱ) y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时
2 2

?
4

) ? 2 ???.5 分

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0
设点 B (? 2 ,0)

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)???8 分
K AB ? 2?0 2? 2 ? 2? 2 ,
2].
???10 分

故直线 m 的斜率的取值范围为 (2 ? 3 ,2 ?

24.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? x 即 x | x ? 2 |? x 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:

| x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ??2 分

当 x ? 0 时,原不等式可化为: | x ? 2 |? 1 ? x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1

? x ? 3或 x ? 1 ∴ x ? 0
综上得:当 a ? 2 时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 3或x ? 0}

???. 4 分 ???.5 分


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