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湖南省保靖县民族中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试 理 新人教A版


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保靖民中 2011 年秋学期高二数学期中试卷(理科)
时量:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列 0,0, …,0 ,… A.既是等差数列又是等比数列 B.是等差数列但不是等比数列 C.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列又是不等比数列 2.若 a ? b 且 c ? R ,则下列不等式中一定成立的是 A. a ? b
2 2

满分:150 分









B. ac ? bc

C. ac ? bc
2

2

D. a ? c ? b ? c
2 2 2

3.若 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? bc ,则角 A 的大 小为 A. ( )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3
( )

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 A. 5 B. 6

? 10, 则 a5 的值是
C. 8 D. 10

5.已知点 ? 3,1? 和 ? ?4,6 ? 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ?7或a ? 24 C. ?7 ? a ? 24 B. a ? ?24或a ? 7 D. ?24 ? a ? 7

)

6.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 状一定是 A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形

a b ? ,则 ?ABC 的形 cos B cos A
( )

B.直角三角形 D.等腰直角三角形 ( )

7 .已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ? n ? N ? ? ,那么 a2011 的值是
A.2 011
2

B.2 012×2 011

C.2 009×2 010

D.2 010×2 011

8.设 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,如 [0.3] ? 0 , [?0.4] ? ?1 ,则在坐标平面内满足方 程 [ x] ?[ y] ? 25 的点 ( x, y ) 所构成的图形的面积为
2 2

( D. 100



A. 12

B. 13

C. 25?

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡的相应位置.
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. .

9.在△ABC 中, A ? 450 , B ? 300 , b ? 2 ,则 a 边的值为 10.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a n ? 11. 4 和 16 的等比中项是

1 a n ?1

? 1,则 a 4 ?


? y?x ? 12.设变量 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
13.已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则 a ? b 的值是
2





14.某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30 方向;测得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海里,且在北偏西 75 方向。船由 A 向正北方向航行到 D 处,测得灯塔 B 在南偏 西 60 方向。这时灯塔 C 与 D 相距 15.设集合 A ? x x ? x ? 2nx, x ? N
2

0

0

0

海里.
?

?

? ,集合 A 中元素的个数为 a

n

,数列 ?an ? 的前 n 项和

为 Sn ,则 S10 ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 若等比数列 ?an ? 中, a3 ? 12, a4 ? 8 (Ⅰ)求首项 a1 和公比 q ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 8 项和 S8 .

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 A 、 B 、 C 成等差数列.

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(Ⅰ)角 B 的大小;

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(Ⅱ)若 a ? 2, ?ABC 的面积 S ? 2 3 ,求 b 、 c 的长及 ?ABC 外接圆半径.

18. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ? (Ⅱ)求数列 ? 1 ? 的前 n 项和 Sn . a ? a ? n n ?1 ?

19. (本小题满分 13 分) 某动物园要围建一个面积为 360m 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙 需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口, 如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度 为 x (单位:元) . (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
2

a

x

20. (本小题满分 13 分)

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已知 f ( x) ? kx2 ? kx ? 2

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(Ⅰ)若 x ? R 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 k ? R ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 x .

21. (本小题满分 13 分) 已知非零数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 , 点 P ? bn , bn?1 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项 an 和 bn ; (Ⅱ)设 cn ? an bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 nTn ? a 2 ? 6n 对任意
n

的 n ? N ? 恒成立, 求实数 a 的取值范围.保靖民中 2011 年秋学期期中考试试题 高二数学(理科)参考答案 满分 150 分 时量 120 分钟

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 9

2 2
25

.

10、

8 3

11、

?8
110

12、

3

13 、

14、 10 3

15、

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16 .(本题满分 12 分)

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解: (Ⅰ) q ?

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a4 8 2 ? ? a3 12 3
2



?2? a3 ? a1q 2 即 12 ? a1 ? ? 得 a1 ? 27 ?3?
所以

a1 ? 27 , q ?

2 3

? ? 2 ?8 ? 27 ?1 ? ? ? ? a1 ?1 ? q8 ? 256 6305 ? ?3? ? ? (Ⅱ) S8 ? ? ? ? 81 ? ? 2 1? q 81 81 1? 3
17 .(本题满分 12 分)

由余弦定理有

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

? 22 ? 16 ? 2 ? 2 ? cos

?
3

? 12

∴b ? 2 3

18 .(本题满分 12 分)
解: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1 ? 1, a1, a3, a9 成等比数列得 1 ? 2d ? 1 ? 8d , 1 1 ? 2d 解得 d=1,d=0(舍去), 故 {an } 的通项 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n . (Ⅱ)

1 ? 1 ?1? 1 , an ? an?1 n(n ? 1) n n ? 1
? (1 ? 1 ) ?1? 1 ? n n n ?1 n ?1 n ?1

? Sn ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? 1 2 2 3

19 .(本题满分 13 分)
解: (Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为 am
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a

x

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y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a
? 225 x ? 360a ? 360

由已知

xa ? 360 ,得 a ?

360 , x

所以 ? y ? 225 x ?

3602 ? 360( x ? 2) x

(II)∵ x ? 2

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 ∴ 225 x ? x

20 .(本题满分 13 分)
解: (Ⅰ) x ? R, f ( x) ? 0 恒成立, 即 kx ? kx ? 2 ? 0 恒成立
2

⑴ 若 k ? 0 ,则有 2 ? 0 恒成立;

⑵ 若 k ? 0 ,由题意有 ?? 0 ,即 k 2 ?8 k ? 0 ? 0 ? k ? 8 综上

?

k ?0

?

k ?0

0?k ?8

⑴ 若 k ? 0 ,则不等式 (?) ? ?2( x ? 1) ? 0 解得 x ? 1 ⑵ 若 k ? 0 ,则不等式 (?) ? ( x ? )( x ? 1) ? 0

2 k

2 ? 1 ,上不等式解得 x ? 1 ; k 2 2 若 k ? 2 ,则 ? 1 ,上不等式解得 ? x ? 1 ; k k 2 2 若 0 ? k ? 2 ,则 ? 1 ,上不等式解得 1 ? x ? . k k 2 ⑶ 若 k ? 0 ,则不等式 (?) ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 k 2 得 x ? 或 x ? 1. k
若 k ? 2 ,则 综上所述

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当 k ? 2 时,原不等式解集 ? x |

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2 ? x ?1 k

?;
2? ?; k?

当 0 ? k ? 2 时,原不等式解集 ? x |1 ? x ?

21 .(本题满分 13 分)
解: (Ⅰ)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴ 从而 ∴ ∵

Sn=2an-2 Sn-1=2an-1-2 an=2an-2an-1 an≠0, ∴
又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *)

an ? 2(n ? 2, n ? N *) , an?1

即 数列{an}是等比数列, 又由 a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 ∴ an ? 2n ∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上, ∴bn-bn+1+2=0, 即 ∴bn+1-bn=2,

数列{bn}是等差数列,又 b1=1,

∴ bn=2n-1, (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ? an ? bn ? ? 2n ?1? ? 2 ∴ Tn ? c1 ? c2 ?
2 n

? cn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ?
3 4

? ? 2n ?1? ? 2n

∴ 2Tn ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? ∴ ?Tn ? 1? 2 ? (2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? ? 2n ?1? ? 2n?1 ? 2 ? 2n ) ? ? 2n ?1? ? 2n?1

∴ Tn ? ? 2n ? 3? ? 2 从而

n?1

?6

n?1 n nTn ? a 2n ? 6n 即 n ? ?? 2n ? 3? ? 2 ? 6? ? ? a 2 ? 6n

亦即 a ? 4n2 ? 6n 恒成立

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