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福建省三明市2016届普通高中毕业班5月质量检查理数


2016 年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题 (满分 150 分 考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 , x ? Z , B ? {x | y ? log 2 ( x ? 1) , x ? R} ,则 A ? B ? A. {

?1, 0 ,1, 2 , 3} 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 万元时销售额为 A.66.2 万元 A. ?1008 开始 B.66.4 万元 B. 1 C. ?1 C.66.8 万元 D.0 D.67.6 万元 3.阅读右边的程序框图,输出结果 S 的值为 B. {0 ,1, 2 , 3} 1 6 2 14 C. {1 , 2 , 3} 4 28 5 32 D. {?1, 1, 2 , 3} 2.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

?

?

? 为 6.6,据此模型预报广告费用为 10 ? ?a ? 中的 b 根据上表中的数据可以求得线性回归方程 ? y ? bx

S ? 0 , i ?1


i ? 2016



S ? S ? cos

iπ 2

i ? i ?1

输出 S

结束

2 i 是虚数单位, 4. 已知 a ? R , 命题 p : 在复平面内, 复数 z1 ? a ? 对应的点位于第二象限; 命题 q : 复数 z2 ? a ? i
的模等于 2,若 p ? q 是真命题,则实数 a 的值等于 A. ?1或 1 5.已知 cos( π ? ? ) ? B. ? 3 或 3

1? i

C. ? 5

D. ? 3 [来源:.Com]

3 π π , ? ? ( , π) ,则 tan( ? ? ) ? 5 4 2 1 1 A. ? B. ?7 C. D.7 7 7 6.在等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 1 ,且 4a3 , 2a4 , a5 成等差数列,若数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,则 T10 的值为
A. 29 ? 1 B. 236 C. 210 ? 1 D. 2 45 7.已知直线 l : x ? y ? 1 与圆 ? : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相交于 A ,C 两点,点 B , D 分别在圆 ? 上运动,且位于直线
l 的两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值为
-1-

A. 30

B. 2 30

C. 51

D. 2 51

8.如图,网络纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 A.

8 3

B.2

C.8

D.6

2 9.已知点 F1 是抛物线 C : x ? 4 y 的焦点,点 F2 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点,过 F2 作抛物线 C 的切线,

切点为 A ,若点 A 恰好在以 F1 ,F2 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 A.

6? 2 2

B.

2 ?1

C.

2 ?1

D.

6? 2 2

? x ? 1, ? 10.设点 ( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1, 所表示的平面区域上,若对于 b ? [0 ,1] 时,不等式 ax ? by ? b 恒成立,则 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
实数 a 的取值范围是

2 C. (4 , ? ?) D. (2 , ? ?) 3 11. 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? 2 ,AA1 ? 2 , 设四棱柱的外接球的球心为 O , 动点 P 在正方形 ABCD
A. ( , 4) B. ( , ? ?) 的边上, 射线 OP 交球 O 的表面于点 M .现点 P 从点 A 出发, 沿着 A ? B ? C ? D ? A 运动一次,则点 M 经 过的路径长为 A.

2 3

4 2π 3

B. 2 2 π

C.

8 2π 3

D. 4 2 π

? log x ? x ? 3 ( x ? 0), ? ? 4 12.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) 的两个零点分别为 x1 , x2 ,则 | x1 ? x2 |? ? x ? ( 1 ) x ? 3 ( x ? 0), ? 4 ?
A. 3 ? ln 2 B. 3 ln 2 C. 2 2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22~24 题为选 考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 x ? a ,若 f ( x) 在 [0 , π ] 上的最大值为 ?1,则实数 a 的值是_______. 14.在 ( x ? x ? 2) 的展开式中 x 的系数是
2 3
5

D. 3

??? ? ??? ? 15.已知平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 120? , AB ? 1, AD ? 2 ,点 P 是线段 BC 上的一个动点,则 AP ? DP 的取值
范围是__________. 16.在数列 ?an ? 中,已知 a1

(用数字作答).

? 1, an ?1 ? an 2 ? an ? 1 (n ? N* ) ,且 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ,则当 a2016 ? 4a1 取得最
a1 a2 a2015

小值时, a1 的值为________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
-2-

17.(本小题满分 12 分)

1 如图,在△ ABC 中, AB ? 2 , cos B ? ,点 D 在线段 BC 上. 3 3 (Ⅰ)若 ?ADC ? π ,求 AD 的长; 4 4 sin ?BAD (Ⅱ)若 BD ? 2 DC ,△ ACD 的面积为 的值. 2 ,求 3 sin ?CAD
18. (本小题满分 12 分)

A

B

D

C

微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各 5 种型号 的手机在相同环境下,对它们抢到的红包个数进行统计,得到如下数据: 型号 手机品牌 甲品牌(个) 乙品牌(个) Ⅰ 4 5 Ⅱ 3 7 Ⅲ 8 9 Ⅳ 6 4 Ⅴ 12 3

(Ⅰ)如果抢到红包个数超过 5 个的手机型号为“优” ,否则“非优” ,请据此判断是否有 85%的 把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关? (Ⅱ)如果不考虑其它因素,要从甲品牌的 5 种型号中选出 3 种型号的手机进行大规模宣传销售. ①求在型号Ⅰ被选中的条件下,型号Ⅱ也被选中的概率; ②以 X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过 5 个的型号种数,求随机变量 X 的分布列及数 学期望 E ( X ) . 下面临界值表供参考:

P( K 2≥k0 )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AD ? PD ? 2 , PA ? 2 2 , ?PDC ? 120? , 点 E 为线段 PC 的中点,点 F 在线段 AB 上.

1 ,求证: CD ? EF ; 2 (Ⅱ)设平面 DEF 与平面 DPA 所成二面角的平面角为 ? ,
(Ⅰ)若 AF ? 试确定点 F 的位置,使得 cos ? ?
P E D

3 . 4

C B

A

F

20.(本小题满分 12 分)

-3-

已知点 P 是直线 y ? x ? 2 与椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1)的一个公共点, F1 , F2 分别为该椭圆的左右焦点,设 a2 PF1 ? PF2 取得最小值时椭圆为 C .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知 A , B 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的两点,Q 是椭圆 C 上异于 A , B 的任意一点, 直线 QA , QB 分别与 y 轴交于点 M (0 , m) , N (0 , n) ,试判断 mn 是否为定值,并说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? bx ? a (a , b ? R) , g ( x) ? (Ⅰ)讨论 f ( x) 在 (1 , ? ?) 上的单调性; ( Ⅱ ) 设 b ? 1 , 直 线 l1 是 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P( x1 , f ( x1 )) 处 的 切 线 , 直 线 l2 是 曲 线 y ? g ( x) 在 点

1 2 x ? 1. 2

Q( x2 , g ( x2 )) ( x2 ? 0 ) 处的切线.若对任意的点 Q ,总存在点 P ,使得 l1 在 l2 的下方,求实数 a 的取值范围.
请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计 分.做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A , B 两点,过点 A 作⊙ O1 的切线交⊙ O2 于点 C ,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙

O1 ,⊙ O2 于点 D , E , DE 与 AC 相交于点 P .
(Ⅰ)求证: AD ∥ EC ; (Ⅱ)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA ? 6 , PC ? 2 ,
BD ? 9 ,求 AD 的长.
A O1 D O2 P B C E

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数 ) ;在以原点 O 为极点, x 轴的正 ? y ? sin ?
2

半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos

? ? sin ? .

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若射线 l : y ? kx ( x ? 0) 与曲线 C1 , C2 的交点分别为 A , B ( A , B 异于原点) ,当斜率 k ? (1, 3] 时, 求 | OA | ? | OB | 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | 2 x ? 1| ( a ? R ) . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 2 的解集; (II)若 f ( x) ?| 2 x ?1| 的解集包含集合 [ ,1] ,求实数 a 的取值范围.

1 2

-4-

2016 年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题: 1. B 2. A 3. D 4. D 5. B 6. D 7.A 8. B 9. C 10.C 11.A 12.D 二、填空题: 13. 1 14. -3

? 1 ? 15. ? ? , 2 ? ? 4 ?

16.

5 4

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 2 2 17.解法一:(Ⅰ) 在三角形中,? cos B ? , ? sin B ? . 3 3 AB AD 在 ?ABD 中,由正弦定理得 , ? sin ?ADB sin B

…………2 分

4 (Ⅱ) ? BD ? 2 DC ,? S ?ABD 4 又 S ?ADC ? 2 ,? S ?ABC ? 4 2 , 3 1 ? S ?ABC ? AB ? BC sin ?ABC ,? BC ? 6 , 2 1 1 ? S ?ABD ? AB ? AD sin ?BAD , S ?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 2 2

又 AB ? 2 , ?ADB ?

?

, sin B ?

2 2 8 . ? AD ? . 3 3 ? 2S ?ADC , S ?ABC ? 3S?ADC ,

…………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分

sin ?BAD AC , ? 2? sin ?CAD AB 在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC .

S ?ABD ? 2S ?ADC ?

…………9 分

? AC ? 4 2 ,
sin ?BAD AC ? 2? ?4 2. sin ?CAD AB 解法二:(Ⅰ)同解法一. ?
(Ⅱ)? BD ? 2 DC ,? S ?ABC ? 3S ?ADC ? 4 2 , 又? S ?ABD ?

…………11 分 …………12 分

1 AB ? BC sin ?ABC ,? BC ? 6 , 2 ? BD ? 4 , CD ? 2 .
在 ?ABC 中,由余弦定理得

…………8 分 …………9 分

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC .? AC ? 4 2 ,
BD AB 在 ?ABD 中,由正弦定理得 , ? sin ?BAD sin ?ADB BD ? sin ?ADB 即 sin ?BAD ? ? 2sin ?ADB , AB CD ? sin ?ADC sin ?ADC 同理在 ?ACD 中,由正弦定理得 sin ?CAD ? , ? AC 2 2
又? sin ?ADB = sin ?ADC , sin ?BAD 2sin ?ADB ? ? ?4 2. sin ?CAD sin ?ADC 2 2 18. 解:(Ⅰ)根据题意列出 2 ? 2 列联表如下:

…………11 分

…………12 分

-5-

红包个数 手机品牌 甲品牌(个) 乙品牌(个) 合计

优 3 2 5

非优 2 3 5

合计 5 5 10 ………………2 分

10 ? 25 ? 0.4 ? 2.072 , 5 ? 5 ? 5 ? 5 25 ? 25 所以没有 85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关. K2 ? ?
(Ⅱ)①令事件 C 为“型号 I 被选中”;事件 D 为“型号 II 被选中”, 则 P(C ) ?

10 ? 4 ? 9 ?

2

………………4 分

1 2 C3 C4 3 3 P(CD) 1 ? , P ( CD ) ? ? ,所以 P( D C ) ? ? . ………………6 分 3 3 P(C ) 2 C5 5 C5 10

②随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3 ,

………………7 分
1 2 2 3 3 3 3 5

P ? X ? 1? ?

C ?C CC C 3 3 1 ? ; P ? X ? 2? ? ? ; P ? X ? 3? ? ? . ………………10 分 3 3 C5 10 C5 5 C 10
1 3 2 2

故 X 的分布列为

X

1

2

3

P

3 10

3 5

1 10
………………12 分

? E ? X ? ? 1?
P E D H

3 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 10 5 10

C B

A

F

19.解:(Ⅰ)在 ?PCD 中, PD ? CD ? 2 , ∵ E 为 PC 的中点,∴ DE 平分 ?PDC , ?PDE ? 60? , ∴在 Rt ?PDE 中, DE ? PD ? cos 60 ? 1,…………2 分
?

1 1 ,连结 FH ,∵ AF ? ,∴四边形 AFHD 是矩形, ………………4 分 2 2 ∴ CD ? FH ,又 CD ? EH , FH ? EH ? H ,∴ CD ? 平面 EFH ,
过 E 作 EH ? CD 于 H ,则 DH ? 又 EF ? 平面 EFH ,∴ CD ? EF . 又 AD ? 平面 ABCD ,∴平面 PCD ? 平面 ABCD . ………………5 分 ………………6 分 (Ⅱ)∵ AD ? PD ? 2 , PA ? 2 2 ,∴ AD ? PD ,又 AD ? DC ,∴ AD ? 平面 PCD , 过 D 作 DG ? DC 交 PC 于点 G ,则由平面 PCD ? 平面 ABCD 知, DG ? 平面 ABCD , 故 DA, DC, DG 两两垂直,以 D 为原点,以 DA, DC, DG 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立如图所示空间直角 坐标系 O ? xyz , ………………7 分

-6-

P

z E D

C B

y

A x

F

则 A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , P(0, ?1, 3) ,又知 E 为 PC 的中点, E (0, , 则 DE ? (0, ,

1 3 ) ,设 F (2, t , 0) , 2 2

???? ??? ? ??? ? 1 3 ) , DF ? (2, t,0) , DP ? (0, ?1, 3) , DA ? (2,0,0) .…………8 分 2 2 ???? ?1 3 ? n ? z1 ? 0, ? DE ? 0, ? y1 ? 设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ???? ∴ ?2 2 ? ?n ? DF ? 0, ?2 x ? ty ? 0, ? 1 1
????
取 z1 ? ?2 ,可求得平面 DEF 的一个法向量 n ? (? 3t , 2 3 , ? 2) ,

??? ? ? m ? DP ? 0, ? 设平面 ADP 的法向量为 m ? ( x2 , y 2 , z2 ) ,则 ? ??? ? ? ? m ? DA ? 0, ? ?? y ? 3 z2 ? 0, 所以 ? 2 取 m ? (0, 3,1) . ? ?2 x2 ? 0, ?? ? 6?2 4 3 ∴ cos ? ? cos ? m, n ? ? ,解得 t ? ? 3 4 2 ? 3t 2 ? 12 ? 4
∴当 AF ?

………………9 分

………………10 分

4 3 时满足 cos ? ? . 3 4
x2 ? y2 ? 1 , 2 a

………………12 分

20. 解法一:(Ⅰ)将 y ? x ? 2 代入椭圆方程
2 2 2 2 得 (a ? 1) x ? 4a x ? 3a ? 0 ,

………………1 分 ………………3 分

? 直线 y ? x ? 2 与椭圆有公共点, ? ? ? 16a4 ? 4(a2 ? 1) ? 3a2 ? 0 ,得 a 2 ? 3 ,? a ? 3 .
又由椭圆定义知 PF1 ? PF2 ? 2a , 故当 a ? 3 时, PF1 ? PF2 取得最小值,此时椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B(? x1 , y1 ) , Q( x0 , y0 ) ,且 M (0, m) , N (0, n) ,

x2 ? y 2 ? 1 .………………4 分 3

? kQA ? kQM ,? y0 ? y1 ? y0 ? m ,即 y0 ? m ? x0 ( y0 ? y1 ) , x0 ? x1 x0 x0 ? x1 x (y ? y ) x y ? x y ? m ? y0 ? 0 0 1 = 0 1 1 0 . x0 ? x1 x0 ? x1 x y ? x1 y0 同理可得 n = 0 1 . x0 ? x1
? mn ?


………………6 分 ………………8 分 ………………10 分

x0 y1 ? x1 y0 x0 y1 ? x1 y0 x0 2 y12 ? x12 y0 2 , ? ? x0 ? x1 x0 ? x1 x0 2 ? x12

x0 2 x2 x2 x2 2 2 ? y0 ? 1 , 1 ? y12 ? 1 ,? y0 ? 1 ? 0 , y12 ? 1 ? 1 , 3 3 3 3
-7-

? mn ?

x0 2 (1 ?

x2 x12 ) ? x12 (1 ? 0 ) 2 2 3 3 ? x0 ? x1 ? 1 x0 2 ? x12 x0 2 ? x12
………………12 分

则 mn 为定值 1. 解法二:(Ⅰ)由对称原理可知,作 F1 关于直线 y ? x ? 2 的对称点 F1? , 连结 F1? F2 交直线于点 P 时, PF1 ? PF2 取得最小值, 此时满足 PF1 ? PF2 ? PF1? ? PF2 ? F1? F2 ? 2a .

………………1 分

设点 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,可求得点 F1 (?c, 0) 关于直线的对称点 F1? 的坐标为 ? ?2 , ?c ? 2? ,

? F1? F2 ? (?2 ? c)2 ? (?c ? 2)2 ? 2a ,即 2c2 ? 8 ? 2a ,
又 c 2 ? a 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 3 ,此时椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)同解法一. 21.解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x ln x ? bx ? a ,所以 f ?( x) ? ln x ? 1 ? b , 因为 x ? (1 , ? ?) ,所以 ln x ? 0 , ②当 1 ? b ? 0 ,即 b ? 1 时,令 f ?( x) ? ln x ? 1 ? b ? 0 ,得 x ? eb ?1 , 当 x ? (1, eb ?1 ) 时, 0 ? ln x ? b ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ( eb?1 , +?) 时, ln x ? b ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (1, eb?1 ) 上单调递减,在 ( eb?1 , +?) 上单调递增. (Ⅱ)由 f ( x) ? x ln x ? x ? a ,得 f ?( x) ? ln x , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 P( x1 , f ( x1 )) 处的切线 l1 的方程为

………………3 分 ………………4 分

x2 ? y2 ? 1 . 3

…………………1 分

①当 1 ? b ? 0 ,即 b ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递增.…………………2 分

…………………4 分.

y ? y1 ? ln x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x ln x1 ? x1 ? a . 1 由 g ( x) ? x2 ? 1 ,得 g ?( x) ? x , 2 所以曲线 y ? g ( x) 点 B( x2 , g ( x2 )) ( x2 ? 0) 处的切线 l2 的方程为 1 2 y ? y2 ? x2 ( x ? x2 ) ,即 y ? y2 ? x2 x ? x2 ?1 . 2 ?ln x1 ? x2 , ? 要使直线 l1 在直线 l2 的下方,当且仅当 ? 恒成立, 1 2 a ? x1 ? ? x2 ?1 ? 2 ?

…………………5 分

…………………6 分

1 2 x2 ? 1 ( x2 ? 0) 恒成立. 2 1 设 ? ( x) ? e x ? x2 ? 1( x ? 0) ,则 ? ?( x) ? e x ? x , 2 x 令 t ( x) ? e ? x ,则 t ?( x) ? e x ? 1 ,当 x ? [0 , ? ?) 时, t ?( x) ? t ?(0) ? 0 ,
即 a ? e x2 ? 所以 t ( x) ? e x ? x 在 [0 , ? ?) 上是增函数, 则 t ( x) ? t (0) ? 1 ? 0 ,即当 x ? [0 , ? ?) 时, ? ?( x) ? 0 , 也就是 ? ( x) ? ex ? x2 ? 1 在 [0 , ? ?) 上是增函数,

…………………8 分

…………………10 分

1 2

1 2 综上可知,实数 a 的取值范围是 a ? 2 .

所以 ? ( x) ? ex ? x2 ? 1 在 x ? 0 处取得最小值为 2, …………………12 分

-8-

22.解:(Ⅰ)连接 AB ,∵ AC 是⊙ O1 的切线,∴ ?BAC ? ?D , 又∵ ?BAC ? ?E ,∴ ?D ? ?E ,∴ AD ∥ EC . (Ⅱ)设 BP ? x , PE ? y ,∵ PA ? 6 , PC ? 2 ,∴ xy ? 12 ,① ∵ AD ∥ EC ,∴ ∴ x ? 3 y ? 9 ,② 由①②可得, ?

………………3 分 ………………5 分 ………………6 分

DP AP 9? x 6 ? ? ? , PE PC y 2
………………7 分
O1 D O2 P B C E A

? x ? 3 ? x ? ?12 或? (舍去)………8 分 ? y ? 4 ? y ? ?1

∴ DE ? 9 ? x ? y ? 16 , ∵ AD 是⊙ O2 的切线, ∴ AD ? DB ? DE ? 9 ?16 ,
2

………………9 分 ………………10 分

∴ AD ? 12 .

23.解: (Ⅰ)由 ?

? x ? 1 ? cos ? , 得 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , ? y ? sin ? ,
………………3 分

所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . 由 ? cos
2

? ? sin ? 得 ? 2 cos2 ? ? ? sin ? ,所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y .………5 分 (Ⅱ)设射线 l : y ? kx ( x ? 0) 的倾斜角为 ? ,则射线的极坐标方程为 ? ? ? , …………6 分
且 k ? tan ? ? (1, 3] , 联立 ? 联立 ?

? ? ? 2cos ? , 得 | OA |? ?1 ? 2cos ? , ?? ? ?

………………7 分 ………………9 分

? ? cos 2 ? ? sin ? , ?? ? ?

得 | OB |? ? 2 ?

sin ? , cos 2 ?

sin ? ? 2 tan ? ? 2k ? (2, 2 3] , cos 2 ? 即 | OA | ? | OB | 的取值范围是 (2, 2 3] .
所以 | OA | ? | OB |? ?1 ? ? 2 ? 2 cos ? ? 解法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)设射线 l : y ? kx ( x ? 0) 的倾斜角为 ? , 则射线的参数方程 ? 将?

………………10 分

? x ? t cos ? , 2 2 2 代入 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 ,得 t ? 2t cos ? ? 0 , ? y ? t sin ? ,
………………7 分

? x ? t cos ? ,其中 t 为参数, ? y ? t sin ?

设点 A 对应的参数为 t A ,则 t A ? 2cos ? ,

? x ? t cos ? , 2 2 2 代入 y ? x ,得 t sin ? ? t cos ? , y ? t sin ? , ? sin ? 设点 B 对应的参数为 t B ,则 t B ? , cos 2 ? sin ? ? 2 tan ? ? 2k , 所以 | OA | ? | OB |? t A ? t B ? 2 cos ? ? cos 2 ? ∵ k ? (1, 3] ,∴ | OA | ? | OB | 的取值范围是 (2, 2 3] .
同理,将 ? 24. 解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| ,
-9-

………………9 分

………………10 分

f ( x) ? 2 ? | x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 2 , 1 ? ?1 ? x ? 1, ?x ? , ? ? x ? 1, 上述不等式可化为 ? 或 ?2 或? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2, ? ?1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2, ? ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2,

1 ? ?1 ? x ? 1, ? x ? , ? ? x ? 1, ? 解得 ? 或? 2 或 ?2 4 x? . ? ? ? ? x ? 0, ? x ? 2, 3 ? 1 1 4 ∴ 0 ? x ? 或 ? x ? 1 或1 ? x ? , 2 2 3 4 ∴原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? } . 3 1 (II)∵ f ( x) ?| 2 x ? 1| 的解集包含 [ ,1] , 2 1 ∴当 x ? [ ,1] 时,不等式 f ( x) ?| 2 x ? 1| 恒成立, 2 1 即 | x ? a | ? | 2 x ? 1|?| 2 x ? 1| 在 x ? [ ,1] 上恒成立, 2 ∴ | x ? a | ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 , 即 | x ? a |? 2 ,∴ ?2 ? x ? a ? 2 , 1 ∴ x ? 2 ? a ? x ? 2 在 x ? [ ,1] 上恒成立, 2 ∴ ( x ? 2)max ? a ? ( x ? 2)min , 5 ∴ ?1 ? a ? , 2 5 ∴ a 的取值范围是 [ ?1, ] . 2

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