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7-2走向高考数学章节


第七章

不等式、推理与证明

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第七章

不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明

考纲解读 1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

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不等式、推理与证明

考向预测 1.以考查基本不等式的应用为重点,兼顾考查代数 式变形、化简能力,注意“一正、二定、三相等”的条 件.
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2.考查方式灵活,可出选择题、填空题,也可出解
答题. 3.以不等式的证明为载体,与其他知识结合在一起 来考查基本不等式,证明不会太难.

( )

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不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明

知识梳理 1.基本不等式 a+b 如果 a、b 都是正数,那么 ≥ ab,当且仅当 2
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a=b 时,等号成立. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥

(

2ab (a,b∈R).
2 (a,b同号).

(2)

+≥

)

?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ?

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不等式、推理与证明

3.算术平均数与几何平均数 平均数为 ab

a+b 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为 2 ,几何

,基本不等式可叙述为:

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则

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(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y
有最小值是 2 p .(简记:积定和最小)

)

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不等式、推理与证明

(2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当 x=y 时,xy有 S2 最 大 值是 4 .(简记:和定积最大).
5.以下关系式经常用到: 1 1 (1)a+a≥2(a>0),a+a≤-2(a<0). (2) a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ (a、b∈R+). 2 2 1 1 a+ b

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a+m a (3)分式不等式 > (b>a>0,m>0) b+m b

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不等式、推理与证明

基础自测

1.(2010·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|1gx|,若a≠b,且
f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) [答案] C ) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

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[解析] 该题考查数形结合的思想和均值不等式.
作出y=|lgx|的图像, ∵a≠b,不妨设a<b.∵f(a)=f(b),∴0<a<1,b>1, 即-lga=lgb,即lgab=0,

)

∴ab=1,∵a≠b,∴由均值不等式 a+b>2 ab=2.
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不等式、推理与证明

2.(教材改编题)在下列函数中,当 x 取正数时,最小值 为 2 的是( ) 1 B.y=lgx+lgx D.y=x2-2x+3

4 A.y=x+ x 1 C.y= x +1+ 2 x +1
2

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[答案] D

)

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不等式、推理与证明

[解析] 号);

4 对于 A,y=x+ x≥2

4 x·=4(当 x=2 时取等 x

1 对于 B,∵x>0,∴lgx∈R,∴y=lgx+lgx≥2 或 y≤- 1 2(当 x=10 或 x= 时取等号); 10 1 对于 C,∵y= x +1+ 2 ≥2(当 x2+1=1,即 x x +1
2

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=0 时取等号),而 x>0,∴y>2; 对于 D,y=(x-1)2+2≥2(当 x=1 时取等号).
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不等式、推理与证明

3.(2009· 天津理)设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等 1 1 比中项,则a+b的最小值为( A.8 C.1
[答案] B

)

B.4 1 D.4

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[解析]
式的应用.

本小题主要考查等比中项的概念及均值不等

)

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不等式、推理与证明

根据题意得 3a·b=3,∴a+b=1, 3 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b≥4. 1 当 a=b= 时“=”成立.故选 B. 2

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不等式、推理与证明

4. 若直线 2ax-by+2=0(a>0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y 1 1 +1=0 截得的弦长为 4,则a+b的最小值为( 1 A.4 C.2
[答案] D

)

1 B.2 D.4

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不等式、推理与证明

[解析]

圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =4,∴圆的

2

2

直径为 4,而直线被圆截得的弦长为 4,则直线应过圆心, ∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1, 1 1 ? 1 1? b a ? + ?(a+b)=1+1+ + ∴ + =a b a b ? a b ? ≥2+2 b a 1 a×b=4 (等号在 a=b=2时成立).

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不等式、推理与证明

5.(2011· 山东威海模拟)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y= 1 1 lg2,则 x+3y的最小值是________.

[答案] 4
[解析] 由已知易得 x+3y=1,

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1 1 ?1 1 ? 所以x+3y=?x+3y?· (x+3y) ? ? 3y x =2+ x +3y≥2+2 3y x x · =4, 3y

( )

3y x 当且仅当 = 时取得等号. x 3y
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不等式、推理与证明

6.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨, 运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年

的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.
[答案] 20 [解析] 设一年总费用为y万元,

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400 1600 则 y=4× x +4x= x +4x≥160, 1600 当且仅当 =4x,即 x=20 时取等号, x 所以当 x=20 吨时,一年的总费用最小.
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)

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不等式、推理与证明

7.已知x>0,y>0.

求证:(1+x2)(1+y2)≥4xy.
[证明] 号), 1+y2≥2y>0(当y=1时取等号), ∴(1+x2)(1+y2)≥2x·2y=4xy(当x=y=1时取等号). ∵x>0,y>0,∴1+x2≥2x>0(当x=1时取等

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不等式、推理与证明

[例 1]

已知 a>0,b>0,a+b=1.求证:

? 1? ? 1? ?1+ ??1+ ?≥9. a? ? b? ?

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[分析]

由不等式左边含字母a,b右边无字母,直接

(

使用基本不等式既无法约掉字母a,b,不等号方向又不对, 因a+b=1,能否把左边展开,实行“1”的代换.

)

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不等式、推理与证明

[解析]

方法一

因为 a>0,b>0,a+b=1.
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a+b 1 b 所以 1+ =1+ =2+ . a a a 1 a 同理 1+ =2+ . b b
? 1?? 1? ? b? ? a? 所以?1+a??1+b?=?2+a??2+b? ? ?? ? ? ?? ? ? b a? =5+2?a+b?≥5+4=9. ? ? ? 1?? 1? 所以?1+a??1+b?≥9(当且仅当 ? ?? ?

( )

1 a=b=2时等号成立).
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不等式、推理与证明
? a+b 1 1? ? 1? 1 1 1 ?1+ ? ?1+ ? =1+ + + =1+ a? ? b? a b ab ab + ab ?

方法二 2 =1+ab,

因为 a,b 为正数,a+b=1, 所以
?a+b? 1 2 ? ?2 1 ab≤? ? =4,于是ab≥4,ab≥8, ? 2 ?

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? 1? ? 1? 因此?1+a??1+b?≥1+8=9(当且仅当 ? ?? ?

1 a=b= 时等号 2

)

成立).

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不等式、推理与证明

[点评]

为了证明的需要,常将欲证不等式的两端或
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一端进行变形,其目的是为了利用有关的不等式性

质.“变形”的形式很多,常见的是拆、并项,也可乘一
个数或加上一个数,“1”的代换法等.证明不等式时,除 了已知基本不等式的直接使用,还应掌握由已知不等式简 单变形而得到的一些常用结论,如
a+b 1 1 ≤ ab ≤ 2 ≤ a+b 2 a2+b2 b a 2 (a > 0 , b > 0) ; a + b

( )

?1 1? b a ≥2(ab≥0)或a+b≤-2(ab<0);(a+b)?a+b? ≥4(a>0,b ? ?

>0);a2+b2+c2≥ab+bc+ca 等.
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不等式、推理与证明

a1 a2 (1)证明:若 a1,a2 是正实数,则有 + ≥a1+a2; a2 a1 (2)请你把上述不等式推广到一般情形,并证明你的结论. a1 2 a22 [解析] (1)因为 a1,a2 是正实数,所以 +a2≥2a1, + a2 a1

2

2

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a12 a22 a12 a22 a1≥2a2,故 a +a2+ a +a1≥2a1+2a2,即 a + a ≥a1+a2. 2 1 2 1 a12 a22 (2)推广: 1, 2, an 都是正实数, a a ?, 则有 a + a +? 2 3

( )

an-12 an2 + + ≥a1+a2+?+an. an a1
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不等式、推理与证明

证明如下:因为 a1,a2,?,an 都是正实数, an-12 a12 a22 所以 a +a2≥2a1,a +a3≥2a2,?, a +an≥2an 2 3 n an2 -1, a1 +a1≥2an, a1 a2 an 故 a +a2 + a +a3 +?+ a +an + a +a1≥2(a1 2 3 n 1 an-1 an2 a12 a22 +a2+?+an),即 + +?+ + ≥a1+a2+? a2 a3 an a1 +an.
2 2 2

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an-12

2

( )

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不等式、推理与证明

[点评]

利用算术平均数与几何平均数的定理证明不

等式是用综合法证明不等式的一种情况,综合法是指从已

证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有
关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为需求问题,其 特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.

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不等式、推理与证明

[例 2]

2 3 已知 x>0,y>0 且 + =1,求 xy 的最小值. x y
此题为条件最值,考虑从条件能否得到xy的

[分析] 代换.
[解析]

不等式,或能否转化为只含x或只含y的函数式,或“1”的
2 3 x + y = 1≥2 6 xy ? xy ≥2 6 ?

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方法一

)

2 3 1 xy≥24,当且仅当 x=y=2,即 x=4,y=6 时不等式取得等 号.
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不等式、推理与证明

方法二 整体代换法
?2 3? xy=xy? x+y?=2y+3x≥2 ? ?

6xy? xy≥2 6,

即 xy≥24.当且仅当 2y=3x, 即 x=4,y=6 时不等式取得等号.

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方法三 三角换元法 2 3 π 6 2 2 令 =sin α, =cos α,α∈(0, ),故 xy= 2 = x y 2 sin αcos2α 24 π 2 ≥24,当且仅当 sin 2α=1?α= ,即 x=4,y=6 时 sin22α 4 不等式取得等号.
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不等式、推理与证明

方法四

3 2 x-2 ∵ =1- = y x x

3x ∴y= x-2 3x ∵x>0,y>0,即 >0,∴x>2 x-2 ?x-2?2+4?x-2?+4 3x2 ∴xy= =3 x-2 x-2 ? ? ? ? 4 4 ? ? ? =3??x-2?+x-2+4?≥3?2 ?x-2?· +4?=24 ? x-2 ? ? ? ? 当且仅当 x-2=2,即 x=4 时成立. ∴x=4,y=6 时,xy 取最小值 24.

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不等式、推理与证明

[点评]

用基本不等式求函数的最值时,关键在于将

函数变形为两项的和或积,使这两项的和或积或平方和为

定值,然后用基本不等式求出最值;在求条件最值时,一
种方法是消元,转化为函数的最值,另一种方法是将要求 最值的表达式变形,然后用基本不等式使要求最值的表达 式放缩为一个定值,不管哪种题,哪种方法,在用基本不 等式求最值时都必须要验证等号是否成立.

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不等式、推理与证明

1 1 (1)若正数 x、y 满足 x+2y=1,求x +y 的最小值; (2)若 x、y∈R+,且 2x+8y-xy=0.求 x+y 的最小值.

[分析]

(1)第一小题注意1的代换与使用,也可以三

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角换元.注意运用基本不等式时等号成立的条件. (2)第二小题可消去一个变量,将x+y用一个变量表示, 再配凑出能运用基本不等式的条件.

( )

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不等式、推理与证明

[解析]

(1)∵x、y∈R ,x+2y=1,



1 1 x+2y x+2y 2y x ∴ + = + =3+ + x y x y x y ≥3+2 2y x x ·=3+2 2. y

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2y x 2 等号在 x =y且 x+2y=1 即 y=1- 2 , x= 2-1 时成 立.

)

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不等式、推理与证明

(2)由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x. 2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= . x-8 ?2x-16?+16 2x u=x+y=x+ =x+ x-8 x-8 16 =(x-8)+ +10≥2 x-8 16 ?x-8?· +10=18. ?x-8?

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16 等号在 x-8= 即 x=12,y=6 时成立. x-8

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不等式、推理与证明

[点评]

第 (1) 题 常 有 以 下 错 误 解 法 : ∵ 1 = x + 1 xy≥4 2.错误的原因
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1 1 1 2y≥2 2xy,∴ ≥2 2,∴ x+ y≥2 xy

在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须 x=2y,第二次须 x=y). 2 8 第(2)小题也可以这样解:由已知得 y+ x=1,∴x+y=(x
?8 3? 8y 2x 8y 2x ? + ?=8+2+ + ≥18,(当且仅当 = ,即 +y) x y x y x y ? ?

( )

x=2y

=12 时取“=”),∴x+y 的最小值为 18.
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不等式、推理与证明

求条件极值的问题,基本思想是借助条件化二元函数 为一元函数,代入法是最基本的方法,代换过程中应密切

关注字母隐含的取值范围,也可用三角代换的方法.

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不等式、推理与证明

[例3]

(2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场

地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其
它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度 为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元 /m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单 位:元).

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(1)将总费用y表示为x的函数;

)

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不等式、推理与证明

(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求最小总费用.

[解析]
能力.

本小题主要考查函数和不等式等基础知识,

考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的

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(1)如图,设矩形的另一边长为am, 则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 360 由已知 xa=360,得 a= x ,
3602 所以 y=225x+ -360(x>0) x
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( )

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不等式、推理与证明

3602 (2)∵x>0,∴225x+ x ≥2 225×3602=10800 3602 3602 ∴y=225x+ x -360≥10440.当且仅当 225x= x 时,等号成立. 即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费 用是 10440 元.

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不等式、推理与证明

某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均 每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所
支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂 是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

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不等式、推理与证明

[解析]

(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量
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为 6x 吨.由题意知,面粉的保管等其他费用为 3[6x+6(x-1)+?+6×2+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元,则 1 y1= x[9x(x+1)+900]+6×1800 900 900 = x +9x+10809≥2 9x+10809=10989. x · 900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时取等号. x

( )

即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天 所支付的总费用最少.
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不等式、推理与证明

(2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔 35 天购买一次 面粉. 设该厂利用此优惠条件后,每隔 x(x≥35)天购买一次面 粉,平均每天支付的总费用为 y2 元,则 1 y2= x[9x(x+1)+900]+6×1800×0.90 900 = x +9x+9720(x≥35) 100 令 f(x)=x+ x (x≥35),x2>x1≥35,则
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不等式、推理与证明

? 100? ? 100? f(x1)-f(x2)=?x1+ x ?-?x2+ x ? ? ? 1 ? 2 ?

?x2-x1??100-x1x2? = x1x2 ∵x2>x1≥35.∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). 100 即 f(x)=x+ x ,当 x≥35 时为增函数. ∴当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10989. ∴该厂应该接受此优惠条件.
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不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)注意不等式成立的条件 a>0,b>0. a+b 当 a>0,b>0 时, 、 ab分别叫做这两个正数的 2 算术平均数、几何平均数,因此,该不等式又可记作两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将 “积式”转化为“和式”的放缩功能,在证明或求最值 时,要注意这种转化思想.
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不等式、推理与证明

2.创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑

的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时出现积为
定值或和为定值. (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否 能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否 则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等

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号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换
是否有误的一种方法.

)

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不等式、推理与证明

a 3.求函数 y=x +bx(a>0,b>0)的值域,主要依据基 本不等式(两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 a 数)及函数的单调性:函数 y= x+bx(a>0,b>0)在(-∞, - a b)和 ( a +∞)上为增函数, 在[- b, a a 0)和(0, b] b,

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第七章

不等式、推理与证明

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