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高三数学


1.已知 a,b 为常数,a≠0,函数 f ( x) ? (a ? )e (1)若 a=2,b=1,求 f ( x ) 在(0,+∞)

b x

x

内的极值。

(2)①若 a>0,b>0,求证 f ( x ) 在区间[1,2]上是增函数。 ②若 f ( 2) <0, f (?2) ? e?2 ,且 f ( x ) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(a,b)形成的 平面区域的面积。

2.函数 y ? ex ? ln x 的值域为



3.已知 m ?{?1,0,1}, n ?{?1,1}, 若随机选取 m,n,则直线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限的 概率是 。 4.已知正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,则 x+y 的最小值为

。 。

m2 x ? 1 ? 0(m ? 0) 对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 5. m x? 1
6.给出以下三个关于 x 的不等式。① x ? 4 x ? 3 ? 0 ,②
2

3 ? 1 ,③ 2 x 2 ? m2 x ? m ? 0 。 x ?1


若③的解集非空,且满足③的 x 至少满足①和②中的一个,则 m 的取值范围是

|a ? 3b| 7.设平面向量 a,b 满足 ≤ 2 ,则 a·b 的最小值为
8.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线

。 。

4 9 ? 2 ? 1 上的点到原点 O 的最短距离为是 2 x y

2 9.设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R, 周期为 2 的周期函数, 且当 x ? [?1,1) 时, f ( x) ? 1 ? x ;

已知函数 g ( x) ?{

lg| x|, x ?0, 1, x ?0

则函数 f(x)和 g(x)的图象在区间[-5,10]内公共点的个数为 1



1.如图是计算

? 2k ? 1 的值的一个流程图,
k ?1

10

1

则常数 a 的取值范围是

2.设公差不为零的等差数列 的各项均为整数, s 2 为其前 n 项和,且满足 {an}

a2 a3 5 ?? , a1 4

s7 ? 7 .
(1)求数列 的通项公式 {an} (2)试求所有的正整数 m,使得

am ?1am ? 2 为数列 中的项。 {an} a2

3.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭 圆 C 长轴的右端点到其右焦点的距离为 5 ? 1 (1)求椭圆 C 的方程. (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且∠AOB= ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值. ②求 AB 的最小值.

? 2

2

1. 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ,其图象在点 p(2, f (2)) 处切线的斜率为-3. (1)求函数 f ( x) 的单调区间(用只含有 b 的式子表示); (2)当 a=2 时,令 g ( x) ? f ( x) ? kx ,设 x1 , x2 ( x1 < x 2 )是函数 g(x)=0 的两个根, x 0 是 x1 , x 2 的等差中项,求证: g ( x0 ) <0( g ( x0 ) 为函数 g ( x) 的导函数) 。
' '

2.根据如图所的伪代码,可知输出的结果 S 为

{( 0,2),( 0, ? 2),( 1 , 1 ),( 1 , ?1 ),(?1 , 1 ),(?1 , -1 )} 3.集合 用描述法
可表示为

4.函数 y ? sin x ? 3 cos x ? 2cos2 x ? 3 sin 2x 的值域为

3

1.已知函数 f ( x) ? 的取值范围是

{

? x 2 ? 2 ax , x?1, ax ?1, x ?1,

若 ?x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a

2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 3x 2 ? 5x , 为公差不为 0 的等差数列, 若 a1 ? a2 ? ?? a10 ? 10 , {an} 则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ?? f (a10 ) ?

3.设 xi ? 0(i ? 1,2,3,4,5),

x ? x ,x ? ? 1, 则 min{max{
i ?1 1 2

5

2

? x3 , x3 ? x4 , x4 ? x5 }} ?

4.如图,在六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, (1)若 A1 A ∥ C1C ,求证 B1B ∥ D1D ; (2)若平面 B1BCC1 ? 平面 ABCD,平面

D1DCC1 ? 平面 ABCD,求证 C1C ? 平面 ABCD。

4

1.设函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x 。

| x| ? (1)若

?
4

,求函数 f ( x) 的值域

(2)设 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,若 f ( ) ?

A 2

5 5 3 ,求 cos C 的值。 , cos(A ? C ) ? ? 2 14

2.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x, a ? R. (1)当 a=1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(1,

f (1) )处的切线议程; (2)当 a ? 1 时,若 f ( x) 在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数 a 的
取值范围。 (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??),且x1 ? x2, 恒有 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 成立, 求实数 a 的取值范围。

5

1.已知 f ( x) ? ?

? ?

sin x , ?

13? ? x ?0 6 lg x , x ?0

? 则 ? 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个不同的零点, ?

K

的取值范围是

2.设 z ? ax ? y ,式中变量 x、y

? x ? 4 y ? ?3 ? ? 满足条件 ? ?3 x ? 5 y ? 25? ,若目标函数 ?x ? 1 ? ? ?

仅在点(5,2)处取到最大值,则 a 的取值范围是

3.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的 a 2 b2

焦点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心线 为

4.在 ? ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 已 知
A?

?
4

, a ? 2 , b cosc ? c cos B ? 2 2 ,则 ? ABC

的面积为

6

1.设数列 { an } , 对任意 n ? N * , 都有 (kn ? b)(a1 ? a2 ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ?? an ) (其中 k,b,p 是常数) (1)当 k=0,b=3,p= -4 时,求 a1 ? a2 ? ?? an (2)当 k=1,b=0,p=0 时,若 a ? 3, a9 ? 15 ,求数列{ an }的通项公
3

式。 (3)若数列{ an }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的 一项,则称该数列为“封闭数列” 。当 k=1,b=0,p=0 时,设 Sn 是 数列{ an }的前 n 项和, a1 ? a2 ? 2 ,试问,是否存在这样的“封 闭 数 列 { an }, 使 得 对 任 意
n? N*

都 要 有 Sn ? 0 , 且

1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ,若存在,求数列{ an }的首项 a1 的所有取 12 S1 S2 Sn 18

值;若不存在,说明理由。

7

1.定义一个对应法则: f : p(m, n) ? p' (m,2 | n |) .现有直角坐标平面内 的点 A(-2,6)与点 B(6,-2),点 M 是线段 AB 上的动点,按定义 的对应法则 f 当点 : m ? m' 。 M 在线路 AB 上从点 A 开始运动到点

B 时,点 M 的对应点 M’经过的路线的长度为

2.已知关于 x 的函数 y ?

(1 ? t ) x ? t 2 ( f ? R) 的定义域为 x

D,存在区间

[a,b] ? D,f(x)的值域也是[a,b],当 t 变化时,b-a 的最大值

3.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的部分图像如下图所示, 该图

像与 y 轴交于点 F(0,1),与 x 轴交于点 B,C,M 为最高点,且三角 形 MBC 的面积为 ? 。 (1)求函数 f(x)的解析式 (2)若 f (? ? 求 cos( 2? ?
?
4

?
6

)?

? 2 5 (0, ), ,?? 2 5

) 的值。

8

1.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E:
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A,B a 2 b2

分别是椭圆 E 的左、右顶

点,且 AF2 ? 5BF2 ? 0 。 (1)求椭圆 E 的离心率。 (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点, M 为椭圆 E 上的动点 (异 于点 A、B) ,连接 MF 1 并延长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线 MN、PQ 的 斜率存在且分别为 k1、k 2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ?k2 ? 0 恒 存在?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

9

1.数列 中 a1 ? ,前 n 项和 Sn ? n2an ? n(n ?1), n ? 1,2? {an}
n ?1 ? (1)证明数列 ? (2)求 Sn 关于 n 的表达式。 S n ? 是等差数列; ? ? n ?

1 2

(2)设 bn ?

1 S n ,求数列 ?bn ?的前 n3

n 项和 Tn .

2.记函数 f n ( x) ? a ? xn ?1(a ? R, n ? N * ) 的导函数为 f ' n ( x) , 已知 f '3 (2) ? 12 . (1)求 a 的值。 (2)设函数 gn ( x) ? f 'n ? n2 ln x ,试问:是否存在正整数 n 使得函 数 gn ( x) 有且只有一个零点?若存在, 请求出所有的 n 的值; 若不 存在,请说明理由。
' (3)若实数 x0 和 m(m>0,且 m ? 0)满足: f' n ( x0 ) ? f n (m) ,试比

f

n ?1

( x0 )

f n?1 (m)

较 x0 与 m 的大小,并加以证明。

10

1.在平面直角坐标系 xoy 中,若中心在坐标原点的双曲线的一条准线议程为 x ? 一个顶点与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方式为

1 ,且它的 2

(ax ? 20) lg 2.若关于 x 的不等式


2a ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 x

3.已知等比数列 ?an ?的首项为

4 1 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? Sn ? ? B对 3 3 Sn

n ? N * 恒成立,则 B-A 的最小值为

如图,现要在边长为 100 米的正方式 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆 心在四个角分别建半径为 xm(x 不小于 9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半 径为

1 2 x m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60m,绕岛行驶的路宽均不小于 5

10m. (1)求 x 的取值范围; (运算中 2 取 1.4) (2)若中间草地的造价为 a 元/ m ,四个花坛的造价为
2

4 2 ax 元/ m ,其余区域的造价为 33

12 a 2 元/ m ,当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低? 11

11

3 x2 y2 1.在平面直角坐标系 xoy 中,已经过点(1, )的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 2 a b

右焦点为 F(1,0),过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 B 关于坐标原点的对称点为 P,直线 PA,PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M、N 两点。 (1)求椭圆 C 的标准方程
8 3 3 (2)若点 B 坐标为( , ),试求直线 PA 的方程 5 5

(3)记 M,N 两点的纵坐标分别为 ym , yn ,试求 ym ? yn 是否为定值?若不是,请说明 理由。

2.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) 。 (1)若 a ? 1 ,则 a,b 满足什么 条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x=0 处总有相同的切线?(2)当 a=1 时,求函 数 h( x ) ?
g ( x) 的单调减区间。 (3)当 a=0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成 f ( x)

立,求 b 的取值的集合。

12

1.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 =2, S6 ? 22 。 (1)求 Sn ; ( 2 ) 若 从 ?an ? 中 抽 取 一 个 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ?an ? , 其 中 k1 ? 1 , 且

k1 ? k2 ? ? ? kn ? ?,kn ? N*
①当 q 取最小值时,求 ?kn ? ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6Sn ? kn?1

13


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