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《向量的概念》


引例:位移被“方向”和“距离”唯一确定。
N

.

B

.

o
西偏南45?
1500米

.
.

西偏北60?
M

.

.

1500米

A

一、向量的概念
向量:即有大小又有方向的量
向量的 代数特征 数形结合 向量的 几何特征

练习: 在质量、力、速度、加速度、身高、面积、体 积这些量中,哪些是数量?哪些是向量?

区别 ?

数量有:质量、身高、面积、体积
向量有:力、速度、加速度

二:表示方法:
①几何表示法:有向线段
B

②字母表示法:

a
A

用有向线段的起点和终 如向量 AB;

点的大写字母表示,

印 用 刷 黑

或用a, b, c等小写字母表示. 体a , b, c

向量有: 力、速度、加速度 注1:
有些向量只有大小和方向,无特定 位置,这类向量叫自由向量。本章学习

的主要是自由向量,如无特别说明都与
起点无关。用有向线段表示向量时,起 点可以任意选取。 A

B

三、相关概念:
1.向量的模:
B

向量 AB的大小即向量 AB 的长度 称为向量的模. 记作:| AB |
零向量: 模为0的向量, 为 0 记 : 模为1的向量. 单位向量:

A

注2: 零向量,单位向量的方向是不确定的,是任意的.

练习:

把 有 位 量 移 所 单 向 平 到

同 起 后 这 向 一 点 , 些 量 ? 单位圆
y

的 点 构 什 图 终 将 成 么 形


o

1

x

三、相关概念:
1.向量的模:
B

向量 AB的大小即向量 AB 的长度 称为向量的模. 记作:| AB |
零向量: 模为0的向量, 为 0 记 : 模为1的向量. 单位向量:

A

注2: 零向量,单位向量的方向是不确定的,是任意的.

2.平行向量:
基线相互平行或重合的向量叫做平行向量。
又称作共线向量
a c

基线
b

C

.
o

B

A

记 : // b // c 作 a
规定:0与任一向量平行。

3.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4

A1
A3A2

c

B4

B3

B2

B1

记作: a=b=c 向量相等

A1B1=A2B2=A3B3=A4B4

向量平行

思 考 与 讨 论

在 边 ABDC中 如 AB ? CD, 四 形 , 果 那 四 形 ABDC是 行 边 吗 是 么 边 平 四 形 ? 如 四 形 ABDC是 行 边 , 果 边 平 四 形 那 AB ? CD吗 是 么 ?

C A

D

B

变 式 :

如 四 形 ABCD是 行 边 , 果 边 平 四 形 那 AB ? CD吗 么 ?
不是

D

C

A

B

例1、判断下列说法是否正确:

(1)与任何向量都平行的向量是零向量;



( ) 与CD都 单 向 , 2 AB 是 位 量 则

× AB ? CD; √ ×

( ) a ? b,? c则a ? c; 3 若 b
( ) a // b,// c, 则a // c; 4 若 b
? ? ? ?

b为0

(5) 若 a ? b ,则 a ? b × 注:向量不能比较大小但是两个向量之间只有相等 关系,没有大小之分,“对于向量a,b,a>b, 或a<b”这种说法是错误的.

例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出 图中与OA、 、 相等的向量。 OB OC
B
A

OA ? CB ? EF ? DO,

OB ? FA ? DC ? EO,

C O

F

OC ? AB ? ED ? FO
D

E

四、用向量表示点的位置
任给一定点 O和向量 a,过点 O 作有向线段 OA ? a,则点 A相对 于点 O的位置被向量 a所唯一确 定,这时向量 OA,又常叫做点 A相对于点 O的 位置向量。

a
A

o

.

例3.“天津位于北京东偏南50度,114千米”

OA ?"东 南 50?,114 km" 偏

. O

50?

.
A

引例:
B

.
西偏南45?

点B相 于 A的 置 量 对 点 位 向 AB ?"西 北 60?,1500 m" 偏
1500米

o

.
.

1500米

西偏北60?

.

点A相对于点 O的位置向量

A OA ?"西偏南 45?,1500m"

小结:





方向的量 ?概念:既有大小,又有 ? ? ? ?几何:有向线段 ? ? ?起点终点大写字母: AB ?表示 ? ? ? 向量 ? ?符号 ? ? ?小写字母: a ? ? ? ? ? ?概念 ?长度(模) ? ? ? ?符号表示 : AB , a ? ? 零向量 单位向量 ?相等向量 关系 ? ?平行(共线)向量 用向量表示点的位置: 位置向量

课后作业
80页练习A第5题, 练习B第3题。 并阅读课本。

注意:数学中的向量与物理中的矢量是
有区别的.在数学中我们研究的是仅由大

小和方向确定,而与起点位置无关的向量,

也称为自由向量.


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