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浙江省湖州市2017届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案


湖州市 2016 学年第一学期期末调研卷

高三数学
选择题部分(共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.设 i 是虚数单位,复数 1 ? 2i 的虚部是( A. -2 A. y ? x ? 1 3.已知 sin( B. 2 B. y ? x ? 1

) C. ? 2i C. y ? ? x ? 1 D. 2i ) D. y ? ? x ? 1

2.函数 y ? e x ( e 是自然对数的底数)在点 (0,1) 处的切线方程是(

3 ? ? ? ) ? ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan ? ? ( ) 2 5 2 3 3 4 A. B. ? C. ? 4 4 3 4.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面( )
A. 若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? C. 若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

?

D.

4 3

B. 若 m ? ? , m // ? ,则 ? // ? D. 若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n )

5.函数 y ? sin x(cosx ? sin x) , x ? R 的值域是( A. [ ?

1 3 3 1 1? 2 1? 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 , ] B. [ C. [ ? , ] D. [ , ] , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 6.已知 {an } 是等比数列,则“ a2 ? a4 ”是“ {an } 是单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 7.已知双曲线 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 有公共焦点 F 且交于 A, B a 2 b2 两点,若直线 AB 过焦点 F ,则该双曲线的离心率是( )

2 B. 1 ? 2 C. 2 2 D. 2 ? 2 3 6 7 8 8.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( )
A.
5

A. 121
2

B. -74
2 2

C. 74 C.

D. -121 ) D. 3

9.已知实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 1 ,则 a ? 2b 的最大值是( A.

3

B. 2

5

10.已 知 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

0 ? x ?1 ? ?log1 ( x ? 1), f ( x) ? ? 2 ,则函数 ? 1 ? | x ? 3 | , x ? 1 ?

y ? f ( x) ?

1 的所有零点之和是( ) 2 A. 1 ? 2 B. 2 ? 1

C. 5 ? 2

D.

2 ?5

-1-

非选择题部分(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.) 11.已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5,6,7} , 集 合 A ? {1,2,3} , B ? {2,3,4} , 则 A ? B ? ______ ,

CU A ? ________.
12.设等差数列 {a n } 的公差是 d ,前 n 项和是 Sn ,若 a1 ? 1 ,a5 ? 9 ,则公差 d ? _______,

Sn ? _______.
13.若 实 数 x , y 满 足 ? ________. 14.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ) ,则该几何体的体积 是________(单位: cm ) ,表面积是_________(单位: cm ). 15. A, B, C , D, E 等 5 名同学坐成一排照相,要求学生 A, B 不能 同时坐在两旁,也不能相邻而坐,则这 5 名同学坐成一排的不同 坐法共有______种(用数字作答) 16.已知 ?ABC 的面积是 4, ?BAC ? 120 ,点 P 满足 BP ? 3PC ,过点 P 作边 AB, AC 所
? 3 2

?3x ? y ? 6 ? 0 , 则 2x ? y 的 最 大 值 是 ? x? y?2?0

在直线的垂线,垂足分别是 M , N ,则 PM ? PN ? _______. 17.甲、乙两人被随机分配到 A, B, C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位) ,记分配 到 A 岗 位 的 人 数 为 随 机 变 量 X , 则 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E ( X ) =_________ , 方 差

D( X ) ? ________.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.( 本 题 满 分 14 分 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 是 a, b, c . 已 知

sin A sinC ?

3 2 , b ? ac . 4 (1)求角 B 的值;
(2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的周长.

19.(本题满分 15 分)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC 是正三角形,且 A1 A ? AB ,顶点

A1 在底面 ABC 上的射影是 ?ABC 的中心.
(1)求证: AA 1 ? BC ; (2)求直线 A1B 与平面 BCC1B1 所成角的大小.

-2-

20.( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 a ? 2 , 函 数 F ( x) ? min{x3 ? x, a( x ? 1)} , 其 中

? p, p ? q . m i np, {q} ? ? ? q, p ? q (1)若 a ? 2 ,求 F ( x) 的单调递减区间; (2)求函数 F ( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值.
x2 ? y 2 ? 1和圆 O : x 2 ? y 2 ? 1,过点 A(m,0)(m ? 1) 作 2 两条互相垂直的直线 l1 , l2 , l1 与圆 O 相切于点 P , l 2 与椭圆相交于不同的两点 M , N .
21.(本题满分 15 分)已知椭圆 C : (1)若 m ? 2 ,求直线 l1 的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求 ?OMN 面积的最大值.

22.(本题满分 15 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求 a2 ; (2)求 {

2 2 an ? , an ?1 ? ,n? N . 5 3 ? an

1 } 的通项公式; an
6 2 21 (1 ? ( ) n ) ? S n ? . 5 3 13

(3)设 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,求证:

-3-

2016 学年第一学期期末调研卷 高三数学
(参考答案与评分要求)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.B 8.D 9.A 10.B 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 11.

?2,3? , ?4,5,6,7?
4 3 ,8? 3 ? 7 3

2 12. 2 , n

13. 14

14.

15. 60

16.

3 3 8

17.

2 4 , 3 9

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.(Ⅰ)由 b ? ac 得, sin B ? sin A sin C ,-----------------------------------------------------2 分
2 2

已知 sin A sin C ?

3 3 2 ,所以 sin B ? ,----------------------------------------------5 分 4 4

那么, sin B ? 三角形 ABC 为锐角三角形,因此, B ? (Ⅱ)已知 b ? 3 ,则 3 ? a ? c ? 2ac cos
2 2

3 ,-----------------------------------------------------6 分 2

?
3

. -------------------------------------------------7 分 -----------------------------------------------------9 分

?
3

? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac -------------------------------------------11 分
所以 a ? c ? 2 3 ,------------------------------------------------------13 分 所以三角形 ABC 周长为 3 3 .------------------------------------------------14 分 19.(Ⅰ)证明:设 O 为 ?ABC 的中心,连接 AO . 所以 BC ? AO ,------------3 分
-4-

又 AO ? BC ,所以 BC ? 面 A1 AO , 1 因此, BC ? A1 A .----------------------------------7 分

(Ⅱ)取 BC , B1C1 的中点 E , F ,连接 AE , A1F , EF . 由(Ⅰ)知 BC ? 面 A1 AEF ,从而面 A1 AEF ? 面 C1CBB1 ,-----------------10 分 在面 A1 AEF 内作 AG ? EF ,垂直为 G ,连接 GB . 1 则 ?A 1BG 是直线 A 1B 与平面 B 1BCC1 所成的角.---------------------------------12 分 设A 1O ? 1 A ? 2 ,在平行四边形 A 1 AEF 中, A

2 6 , AG ? 2 , A1B ? 2 , 1 3

所以, sin ?A1BG ?

AG 2 1 .--------------------------------------------14 分 ? A1B 2

因此,直线 A 1B 与平面 B 1BCC1 所成的角为

? .----------------------------------15 分 4

3 2 20. (Ⅰ)若 a ? 2 , x ? x ? 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? x ? x ? 2 ? ? x ? 1?

?

?

2

? x ? 2 ? ,-------2 分

3 ? ? x ? x, x ? 2 F ? x? ? ? ,-------------------------------------------3 分 ? ?2 ? x ? 1? , x ? 2

3 当 x ? 2 时, F ? x ? ? x ? x , F ? ? x ? ? 3x ? 1 ? 3 ? x ?
2

? ? ?

3 ?? 3? x ? ?? ? ?, 3 ?? 3 ?? ?

由 F ? ? x ? ? 0 得,

?

3 3 ,------------------------------------------------------6 分 ?x? 3 3

另, x ? 2 时, F ? x ? ? 2x ? 2 单调递增, 所以, F ? x ? 的单调递减区间是 ? ?

? ? ?

3 3? , ? ;-----------------------7 分 3 3 ? ?

3 2 (Ⅱ) x ? x ? a ? x ? 1? ? ? x ? 1? x ? x ? a ----------------------------------------------------9 分

?

?

当 ?1 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , 因为 a ? 2 ,故 x ? x ? a ? 0 ,
2

-5-

那么, x3 ? x ? a ? x ? 1? ? 0 ,--------------------------------------------12 分 即 F ? x ? ? x3 ? x ,-------------------------------------------------13 分 所以 F ? x ?max ? max ? F (?1), F ? ?

? ? ? ?

? ? ?

? 3? ? 3? ? , F , F 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

?2 3 2 3 ? ? 2 3 ? ? max ? ,? , 0? ? ------------------------------------------15 分 9 9 9 ? ? ? ?
21.设直线 l1 的方程是 x ? ny ? m ----------------------------------------------------------------1 分 (Ⅰ)若 m ? 2 ,直线 l1 的方程是 x ? ny ? 2 因为 l1 与圆 O 相切,所以

2 1 ? n2

? 1 ,解得, n ? ?1 ,------------------------------4 分

所以直线 l1 的方程是 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 .--------------------------5 分 (Ⅱ)由已知,直线 l2 的方程是 y ? ?n ? x ? m? , 将 y ? ?n ? x ? m? 代入

x2 ? y 2 ? 1化简得, 2
2 2

?1 ? 2n ? x
2 4 2 由 ? ? 16m n ? 8 1 ? 2n

? 4mn 2 x ? 2m 2 n 2 ? 2 ? 0 --------------------------------------8 分
2 2

?

?? m n

? 1? = 8 ?1 ? 2n 2 ? m 2 n 2 ? ? 0 ----①



m 1? n
2

? 1 ,得 m2 ? n2 ? 1 .------②
3? 5 3? 5 ? m2 ? ------------------------------------------------10 分 2 2

由①②解得,

所以 1 ? m ?

5 ?1 3? 5 (或 1 ? m ? ) . 2 2

(Ⅲ)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

-6-

m2 n 2 ?1 ? 2n 2 ? m2 n 2 ? 1 ?OMN 面积 S ? mn x1 ? x2 ? 2 --------------------12 分 2 2 ?1 ? 2n2 ?

m2 n 2 ? m2 n 2 ? ? 2 ?? ? 1 ? 2n 2 ? 1 ? 2 n 2 ?
令t ?

2

m2n2 2 ,则 S ? 2 ?t ? t ,---------------------------------------------------14 分 2 1 ? 2n
5 ?1 及 m2 ? n2 ? 1,得 0 ? t ? 1 , 2
1 2 时, S max ? .-----------------------------------------------------------15 分 2 2

由1 ? m ?

所以,当 t ?

22. (I)由条件可知 a2 ? (II)由 an ?1 ?

4 .------------------------------------------------------------------ 3 分 13

2an 1 3 1 1 得: ? ? ? ,---------------------------------------------5 分 3 ? an an ?1 2 an 2



1 ?1 ? an ?1

? 3? 1 ? ? 1? -----------------------------------------------------------------------6 分 2 ? an ?

所以 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列. ? an ? 1 ?3? ? ? ? ? 1 .-------------------------------------------------------7 分 因此, an ? 2 ?
n

(III )由(II)可得 an ?

1 ?3? ? ? ?1 ?2?
1
n

?

1 ?3? ?3? ? ? ?? ? ?2? ?2?
n ?1
n n ?1

2?2? ? ? ? 5?3?
n

n ?1

-----------------9 分

2 2 ?2? 2 ?2? 所以 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 ?3? 5 ?3?

6? ?2? ? ?1 ? ? ? 5? ? ?3?

? ? ? ?

6? ?2? 因此, S n ? ? 1 ? ? ? 5? ? ?3?
另一方面

n

? 成立.--------------------------------------------11 分 ? ? ?

-7-

an ?

1 ?3? ? ? ?1 ?2?
n

?

?2? ? ? ? ,---------------------------------------------------13 分 n ?3? ?3? ? ? ?2? 1
3 4 n

n

2 4 ?2? ?2? ?2? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 13 ? 3 ? ? 3 ? ?3? 46 8 8 ? ?2 ? ? ? ?? ? ? 65 9 9 ? ?3
n?2

21 ,n ? 3, 13

-----------------------------------14 分

又 S1 ?

2 21 46 21 21 ? , S2 ? ? ,因此, S n ? .-------------------------------------15 分 5 13 65 13 13

-8-


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