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初高中衔接教材因式分解


在分组分解法中,我们学习 2 了形如 x +(p+q)x+pq 的式子 的因式分解问题。 2 即:x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 实际在使用此公式时,需要把 一次项系数和常数项进行分拆,在 试算时,会带来一些困难。 下面介绍的方法,正好解决了 这个困难。

即:x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x x p q

/>
2

x 2 px+qx=(p+q)x pq

十字相乘法:
对于二次三项式的分解因式, 借用一个十字叉帮助我们分解因式, 这种方法叫做十字相乘法。

例1 分解因式 x -6x+8 x 2 解:x -6x+8 x =(x-2)(x-4)
练习:分解因式 (x-y) +(x-y) -6
2

2

-2 -4

-4x-2x=-6x

对于一般地二次三项式ax+bx+c (a≠0) 此法依然好用。

2

例2 分解因式 3x -10x+3 2 x 解:3x -10x+3 =(x-3)(3x-1) 3x
2

2

-3

-1 -9x-x=-10x +3

例3 分解因式 5x -17x-12 解:5x -17x-12
2

5x

=(5x+3)(x-4)

-4 x -20x+3x=-17x

例4 将 2(6x +x) -11(6x +x) +5 分 解因式 2 2 2 解:2(6x +x)-11(6x +x) +5 2 2 = [(6x +x) -5][2(6x +x)-1] 2 2 = (6x +x-5) (12x +2x-1 ) 2 = (6x -5)(x +1) (12x +2x-1 )
1 -5 6 1 -5+6=1 -5 1 2 -1 -1-10=-11

2

2

2

练习:将下列各式分解因式
1、 7x -13x+6
2 2 2 2

答案(7x+6)(x+1)

2、 -y -4y+12 答案- (y+6)(y-2)

3、 15x +7xy-4y 答案 (3x-y)(5x+4y)
4、 10(x +2) -29(x+2) +10
答案 (2x-1)(5x+8)
2

5、 x -(a+1) x+a 答案 (x-1)(x-a)

2

例5 将 2x -3xy-2y +3x+4y-2 分 解因式 2 2 解: 2x -3xy-2y +3x+4y-2 2 2 =(2x -3xy-2y )+3x+4y-2

2

2

=(2x +y)(x-2y)+3x+4y-2 =(2x +y-1)(x-2y+2)
2
1

1
-2

(2x+y)
(x-2y)

-1
2

-4+1=-3

2(2x+y) - (x- 2 y)=3x+4y

因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解
(a + b ) - a - b
解原式 = (a + b ) - (a + b)
2 2

=(a + b)( a + b - 1)

因式分解
分组
2

找规律

ma - mb + m + mn + na - nb
解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn)

= a(m + n) - b(m + n) + m(m + n)
= (m + n)(a - b + m)

因式分解
-4yz + 3x - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
2

因式分解
-4yz + 3x - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x) 解原式 = (6xy + 3x2) - (4yz + 2xz) = 3x(2y + x) - 2z(2y + x) = (2y + x)(3x - 2z)
2

因式分解
? 分 析 ? 在用分组分解法因式分解时,要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式,分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式,可以再提取, 从而使问题得到解决,上述规律可以通 俗的归纳成:“ 分组的目的是为了提 取,提取的目的是为了再提取”。

因式分解
?将下列各式用分组分解法因式分解
? 练习1: ax + bx + cx + ay + by + cy = (a + b + c)(x + y)

解原式 = x(a + b + c) + y(a + b + c)

因式分解
? 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x

解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)

因式分解
? 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x

解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)

解原式 = b(a + x) + c(a + x) + 2(a + x)
= (a + x)(b + c + 2)

因式分解
? 练习3: mx + mx2 - n - nx

解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1) = (x + 1)(mx - n)

解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)

因式分解
? 练习4: ab + a + b + 1

解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1)

因式分解
? 练习5: ab - 1 + a - b

解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)

因式分解
? 练习5: ab - 1 + a - b

解原式 = a(b + 1) - (b + 1)

= (b + 1)(a - 1) 解原式 = b(a - 1) + (a - 1)
= (a - 1)(b + 1)

因式分解
? 练习6: m3 + 4m4 - 5 - 20m

解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5)

= (m3 - 5)(1 + 4m) 解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m - 5)
3

因式分解
? 练习7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz

解原式 = 3x 3x(x2 + 2xy - xz - 2yz) = 3x[(x2 + 2xy) - (xz + 2yz)]

= 3x[x(x + 2y) - z(x + 2y)]
= 3x(x + 2y)(x - z)

因式分解
? 练习8: ax5 - ax4 + ax - a
5 4 4

解原式 = a(x - x + x - 1) = a[x (x - 1) + (x - 1)]

= a(x - 1)(x + 1)

4

因式分解
? 练习9: ax2 - bx2 - bx + ax + b - a

解原式 = x2(a - b) + x(a - b) - (a - b)
= (a - b)(x2 + x - 1)

解原式= a(x + x - 1) - b(x + x - 1)
= (x2 + x - 1)(a - b)

2

2

例 分解因式:x3-9x+8.
解法1 将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9

解法3 将三次项x3拆成9x

=(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8).

原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+ =(x-1)(x2+x-8). 解法4 添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8).


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