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北京市东城区(南片)2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题


北京市东城区(南片)2012-2013 学年第一学期高二年级期末考试 数学(文)试卷
本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟 第一部分(选择题 共 30 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. “x=3”是“x 2 =9”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分

条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有 初级职称的 200 人,其余人员 120 人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中 抽取样本。若样本中具有初级职称的职工为 10 人,则样本容量为 A. 10 A. 1 或 2 B. 20 B. 1 或 3 C. 40 C. 1 或 5
6

D. 50 D. 3 或 5

3. 已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 2(k-3)x-2y+3=0 平行,那么 k 的值为 4. 用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x 5 +5 4 +6x 3 +7x 2 +8x+1 当 x=0.4 时的值时,需 要做乘法和加法的次数分别为 A. 5,5
2

B. 5,6
2

C. 6,6

D. 6, 5

5. 过椭圆 4x +y =1 的一个焦点 F 1 的直线与椭圆交于 A,B 两点,则 A 与 B 和椭圆的另 一个焦点 F 2 构成的△ABF 2 的周长为 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 6. 如图给出的是计算 条件为 A. i<50 B. i>50 C. i<25 D. i>25 7. 设点 A(2,-3) ,B(-3,-2) ,直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是

1 1 1 1 1 的一个程序框图, 其中判断框内应填入的 ? ? ? ??? 2 4 6 8 100

3 3 1 或 k≤-4 B. k≥ 或 k≤- 4 4 4 3 3 C. -4≤k≤ D. ≤k≤4 4 4 x2 y2 ? 8. 双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1
A. k≥ 9. 在平面直角坐标系内,一束光线从点 A(-3,5)出发,被 x 轴反射后到达点 B(2,7) , 则这束光线从 A 到 B 所经过的距离为 A. 12 平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 B. 13 C.

41

D. 2 6 + 53

10. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的

第二部分(非选择题 共 70 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。 11. 二进制数 101011 ( 2 ) 化为十进制数是_______。 12. 设抛物线 y 2 =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是______。 13. 过点 P(3,6)且被圆 x 2 +y 2 =25 截得的弦长为 8 的直线方程为______。 14. 某班甲、乙两名同学进入高中以来 5 次数学考试成绩的茎叶图如图,甲、乙两人 5 次 数学考试成绩的中位数分别为_______。平均数分别为_______。

15. 当曲线 y=1+ 4 ? x 与直线 y=k(x-2)+4 有两个不同交点时,实数 k 的取值范围是
2

_______。 16. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, 是短轴的一个端点, B 线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D, 且 BF =2 FD ,那么椭圆 C 的离心率为_______。 三、解答题共 6 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17. (本小题 8 分) 已知命题“对于任意 x∈R,x 2 +ax+1≥0”是假命题,求实数 a 的取值范围。 18. (本小题 8 分) 已知圆 C 的圆心在直线 y=-4x 上,并且与直线 x+y-1=0 相切于点 P(3,-2) ,求圆 C 的方程。 19. (本小题 9 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100], 得到的频率分布直方图如图所示。

(Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进

入第二轮面试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 20. (本小题 9 分) 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为 x+y-1=0,3x-y+4=0,且它的对角线 的交点是 M(3,3) ,求这个平行四边形其他两边所在直线的方程。 21. (本小题 9 分) 已知抛物线 C:y 2 =2px(p>0) ,过点 A(1,-2) 。 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与直线 l 的距离等于 22. (本小题 9 分) 已知椭圆 C:

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。 5

1 x2 y2 ,离心率为 ,P 为左顶点。 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点为 F 1 (1,0) 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F 1 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△PAB 的面积为 程。

36 ,求直线 AB 的方 13

【试题答案】
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 D

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 43 12. 6 13. 3x-4y+15=0 或 x=3(缺一个答案扣 1 分) 15. (

14. 84,82;84,84

5 3 , ] 12 4

16.

3 3

三、解答题(共 6 小题,共 52 分) 17. (8 分) 解:命题“对于任意 x∈R,x 2 +ax+1≥0”的否定形式为: 2 “存在 x 0 ∈R,x 0 +ax 0 +1<0”是真命题。 因为命题“对于任意 x∈R,x 2 +ax+1≥0”是假命题, 2 所以命题“存在 x 0 ∈R,x 0 +ax 0 +1<0”
2

2分 3分

由于函数 f(x)=x +ax+1 是开口向上的抛物线,由二次函数的图象易知: △=a -4>0,
2

5分 8分 1分

解得:a<-2 或 a>2 7分 所以实数 a 的取值范围是(- ? ,-2) ? (2,+ ? ) 。 18. (8 分) 解:设圆的标准方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .

? ?b ? ?4a ?a ? 1, ? ? ? 2 2 2 则 ?(3 ? a) ? (?2 ? b) ? r , 解得 ?b ? ?4, ? ? a ? b ?1 ?r ? 2 2. ? ? r. ? 2 ?
所以圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 19. (9 分) 解: (Ⅰ)由题意,第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0.02×5=0.1. (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名学生,
2 2

7分

8分

3分

所以利用分层抽样的方法在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为:

30 ×6=3, 60 20 第 4 组: ×6=2, 60
第 3 组:

第 5 组:

10 ×6=1. 60
9分

所以第 3,4,5 组分别抽取 3 人,2 人,1 人进入第二轮面试 20. (9 分)

3 ? ?x ? ? 4 , ? x ? y ? 1 ? 0, ? 解:联立方程组 ? 解得 ? ?3x ? y ? 4 ? 0. ?y ? 7 . ? 4 ? 3 7 所以平行四边形 ABCD 的顶点 A(- , ). 4 4
设 C(x 0 ,y 0 ) ,由题意,点 M(3,3)是线段 AC 的中点,

2分

3 ? ? x0 ? 4 27 ? ? 3, ? ? x0 ? 4 , ? 2 ? 所以 ? 解得 ? ? y ? 17 . ?y ? 7 0 ? 0 4 ? 4 ? 3. ? ? 2 ? 27 17 所以 C( , ). 4 4
由已知,直线 AD 的斜率 k AD =3. 因为直线 BC∥AD,所以,直线 BC 的方程为 3x-y-16=0. 由已知,直线 AB 的斜率 k AB =-1. 因为直线 CD∥AB,所以,直线 CD 的方程为 x+y-11=0. 因此,其他两边所在直线的方程是 3x-y-16=0,x+y-11=0. 21. (9 分) 解: (Ⅰ)将(1,-2)代入 y =2px,得 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y =4x, 其准线方程为 x=-1. 3分 (Ⅱ)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t. 由?
2 2

4分

6分 8分 9分

? y ? ?2 x ? t ? y ? 4x
2

,得 y +2y-2t=0.

2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以△ =4+8t≥0,解得 t≥- 由直线 OA 与直线 l 的距离 d=

1 . 2

t 5 1 可得 = ,解得 t= ? 1. 5 5 5 1 1 因为-1 ? [- ,+ ? ) ,1∈[- ,+ ? ) , 2 2
所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 22. (9 分) 解: (Ⅰ)由题意可知:c=1, 所以 b =a -c =3.
2 2 2

9分

c 1 = ,所以 a=2. a 2

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 + =1. 4 3

3分

(Ⅱ)根据题意可设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ).

? x2 y2 ? 1, ? ? 由? 4 可得(3m 2 +4)y 2 +6my-9=0. 3 ? x ? my ? 1, ? ? 6m 9 所以△ =36m 2 +36(3m 2 +4)>0,y 1 +y 2 = ,y 1 y 2 =- . 2 2 3m ? 4 3m ? 4
因为 P 为左顶点,所以 P 的坐标是(-2,0). 所以△ PAB 的面积 S=

1 1 | PF1 || y 2 ? y1|? ? 3 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 4 y2 y1 . 2 2
=

3 2

(?

6m 2 36 18 m 2 ? 1 ) ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

m2 ? 1 2 36 ,所以 = . 3m 2 ? 4 13 13 t 2 2 令 t= m ? 1 ,则 2 = (t≥1). 3t ? 1 13 1 解得 t 1 = (舍) 2 =2. ,t 6 所以 m= ? 3 .
因为△ PAB 的面积为 所以直线 AB 的方程为 x+ 3 y-1=0 或 x- 3 y-1=0. 9分


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