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暑期辅导第三讲 数列的概念


第三讲.数列的有关概念
一.知识梳理:
1.数列的定义: 2.数列的分类 3.数列的表示法: ? ?S1,n=1, 5.Sn 与 an 的关系:已知 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? 6.在数列{an}中,若 an 最大,则? 8、等差数列和等比数列 等差数列 定义 通项公式 等比数列
?an≥an-1, ? ? ?an≥an+1.

4.数列的通项公式:

若 an 最小,则?

?an≤an-1, ? ? ?an≤an+1.

7.数列的递推公式

an-an-1=常数(n≥2) an=a1+(n-1)d (1)定义法 (2) 中项公式法: 2an + 1 = an + an + 2(n ≥1)?{an}为等差数列 (3)通项公式法:an=pn+q(p、q 为 常数)?{an}为等差数列 (4)前 n 项和公式法: Sn=An2+Bn(A、 B 为常数)?{an}为等差数列 (5){an}为等比数列,an>0?{logaan} 为等差数列 * (1)若 m、n、p、q∈N ,且 m+n=p +q,则 am+an=ap+aq (2)an=am+(n-m)d (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等 差数列 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d
2 2

an =常数(n≥2) an-1 an=a1qn-1(q≠0)
(1)定义法 2 (2)中项公式法:an+1=an·an+2 (n≥1)(an≠0)?{an}为等比数列 n (3)通项公式法:an=c·q (c、q 均是不为 0 的 * 常数,n∈N )?{an}为等比数列 (4){an}为等差数列?{aan}为等比数列(a>0 且 a≠1) (1)若 m、 n、 p、 q∈N , 且 m+n=p+q, 则 am· an =ap·aq n-m (2)an=amq (3)等比数列依次每 n 项和(Sn≠0)仍成等比数 列 a1?1-qn? a1-anq (1)q≠1,Sn= = 1-q 1-q (2)q=1,Sn=na1
*

判定方法

性质

前 n 项和

二 例题讲解: 2 例 1(已知 s n 求 an ) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则其通项公式为________.
(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(n-1)·2 +1,则 an=________. (3)已知数列{an},{bn}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn= (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ( n ? N * ). 若{bn }是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列{an}的前 n 项和 Sn;
n

练习 (1)已知数列{2n 1· an}的前 n 项和 Sn=9-6n,则数列{an}的通项公式是________. n - (2)已知数列{an}满足 a1+3a2+32a3+…+3n 1an= (n∈N*),则数列{an}的通项公式为________. 3


-1-

例 2(已知 s n 与 an 关系式求 an ) (1)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an ?1 ? 2S n ? 2 .求数列 ?an ? 的通项公式 (2)[2015· 漳州模拟]已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an= Sn+ Sn-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为 an=( )A.n-1 B.n C.2n-1 D.2n (3)[2015· 衡水月考]已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=a2 n+n-4.求{an}的通项公式.
2 (4))已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an Sn ? 2an ? 0 。求数列 ?an ? 的通项公式;

(能力提高)已知数列{an}中 a1=1,a2=2,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则 S15=________.

递推公式求通项的几种方法
【累加法】例 3. 数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) . 若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则

a8 ? (

)(A)0

(B)3

(C)8

(D)11

练习:数列

{an }

满足 a1 ? 1 ,且

1 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ) ,则数列 { } 的前 10 项和为 an

【累乘法】例 4.(1)在正项数列{an}中,若 a1=1,且对所有 n∈N*满足 nan+1-(n+1)an=0,则 a2014=_____ 1 (2)[2015· 石家庄模拟]数列{an}中,a1= ,前 n 项的和 Sn=n2an,则 an+1=________. 2 - (3)[2015· 合肥模拟]已知数列{an}满足:a1=1,2n 1an=an-1(n∈N*,n≥2). 1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于 ? 1000

例 5.(1)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 (2)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2? 求数列 ?an ? 的通项公式。 (3)已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? an ? 2a n?1 an ,求通项公式 a n 。 (4)数列 {an } 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N ? (5)已知首项都是 1 的两个数列 的通项公式; ( ) ,满足 .令 ,求数列

(6)已知数列{an}中,a1=3,an+1= ,则其通项公式为________. 2an+1

an

-2-

例 6 (最值性)已知数列{an}的通项公式为 an=n -21n+20 (1)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值;(2)n 为何值时,该数列的前 n 项和最小?

2

n- 98 ,则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是( ) n- 99 A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30 n 2.(2013·江西七校联考)数列{an}的通项 an= 2 ,则数列{an}中的最大值是 ( ) n +90
课堂练习:1.已知 an= A.3 10 B.19 C. 1 19 D. 10 60

例 7(周期性)(1)已知数列{an}满足 a1 =2,
n

an ? 1 ?
n

(2)数列{an}满足 an+1

1 2a , 0≤a ≤ , ? ? 2 =? 1 ? ?2a -1, 2<a <1,
n n

1 ? an , 1 ? an

则 a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? a2013 ? ______. 3 5

a1= ,则数列的第 2 013 项为________.

练习: (1)已知数列{an}满足a1 ? 0, an ?1 ?

an ? 2 , 5a ?2 4 n

则 a2013 等于 (

) A. 0

B. 1

C. 2

D

4 3

等差,等比数列计算
例 1(公式运算).(1) (2013 年高考四川卷(理) )在等差数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 8 ,且 a 4 为 a 2 和 a3 的等比中项,求数列

{an } 的首项、公差及前 n 项和.
1 (2)数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ }是等差数列,则 a4=( an+1 1 1 C. D. 4 6 1 1 1 (3)[2014·北京西城区月考]已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3-a1=6,则 a1=_____; 2+ 2+…+ 2=_____. 1 )A. 2 1 B. 3

a1 a2

an

(4) (2015 年安徽理科)已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项和等于 (5)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3 +k,则实数 k 的值为( ) A.0 B .1 C.-1 D.2 (6) (2015 年全国新课标理科)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 B.42 C.63 D.84
n

.

)

-3-

例 2(性质运算) (1)在等比数列{an}中,若 a3=4,a9=1,则 a6=________,若 a3=4,a11=1,则 a7=________. (2)[2015· 安庆模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a6=a8+6,则 S7=( ) A.49 B.42 C.35 D.28 (2)(2012 年高考(江西理) )设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? __________。 (3)(2010·全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 5 B.7 C. 9 (5) (2015 年全国新课标) 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ?( ) A. (6)在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3 ,则 sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为 ( ). 1 3 3 A. B. C.1 D.- 2 2 2 (7)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则
π

D. 11

S9 ? S5

.

Sn 7n+2 a5 (8)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,则 的值是________. Tn n+3 b5 Sn 2n-3 a9 a3 如.设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 + 的值为________. Tn 4n-3 b5+b7 b8+b4

等差、等比的证明
例 4 (1)已知数列{an}满足: 证明数列 是等差数列,并求{an}的通项公式;

2 8 * (2)已知数列{an}中,a1= ,a2= .当 n≥2 时,3an+1=4an-an-1(n∈N ). 3 9 (1)证明:{an+1-an}为等比数列;(2)求数列{an}的通项.

3.在数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a2 ? 12 , a3 ? 54 ,数列 ?an ?1 ? 3an ?是等比数列。 (1)求证:数列 ?

? an ? 是等差数列; (2)求数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn n ?1 ? ?3 ?

练习:1.在数列 ?a n ?中,已知 a1=4,an+1=3an-4n+2(n∈ N* ). (II)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n .

(I)记 bn ? an ? 2n ,试判断数列 ?bn ?是等差数列还是等比数列?并证明你的判断;

-4-

练习一
1.数列{an}的前 n 项积为 n ,那么当 n≥2 时,an=( 2.数列{xn}中,若 x1=1,xn+1= 1
2

)A.2n-1 )A.-1

xn+1

-1,则 x2 013=(

(n+1) n B.n C. D. 2 n2 ?(n-1)? 1 1 B.- C. D.1 2 2
2

2

2

3. (2015 年新课标 2 高考题)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? ________. 4.已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1(n∈N*且 n≥2),则 a81 =( )A.638 B.639 C.640 D.641 2 5.数列{ a n }满足 a1 ? a2 ? ..... ? an ? n an , a1 ? 1 ,则数列{ a n }的通项公式 a n = . 7 6.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)( )n,则当 an 取得最大值时,n 等于( ) 8 A.5 B.6 C.5 或 6 D.7
2 7(2013 年江西卷).正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0



数列{an}的通项公式 an;

8.设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+…+3

2

n-1

n an= ,n∈N*.求数列{an}的通项;
3

n+1 9.[2015· 青岛一中模拟]在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan= a (n∈N*). 2 n+1 (1)求数列{an}的通项 an; (2)若存在 n∈N*,使得 an≤(n+1)λ 成立,求实数 λ 的最小值.

10.[2015· 海南模拟]设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.

11.(2015 年成都三诊)

-5-

练习二
1.设{an }是公差为-2 的等差数列,如果 a1 +a 4+…+a97 =50,则 a 3+a6 +a9 +…+a99 = A、-182 B、-78 C、-148 D、-82 2.已知函数 f ( x) ? 2x , 等差数列 {an }的公差为 2,若f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则 ( )

log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??? f (an )] = 。 3.若 {a n } 是等差数列,首项 a1 ? 0 , a2014 ? a2015 ? 0 , a2014 ? a2015 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最小正整数 n 是


4.若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大.
5.设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0
aa

)A. 2014

B. 2015

C. 4028

D. 4029



Sn 4n+7 an 6.等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且 = ,则使得 为整数的正整数 n 的个数是( ) Tn n bn A.2 B.3 C.4 D.5 7.[2015· 北大附中模拟]已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值为( A.16 B .8 C.6 D.4 8. 【2014 高考福建卷】等差数列 {an } 的前 n 项和 S n ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? ( ) 9. 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 1 , a8 ? a6 ? 2a4 ,则 a 6 的值是 11. 等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 A.6 B.5 C.4 D.3

)

A.8

B.10

C .12

D.14

.

10. 设 {an }是首项为 a1 ,公差为 ?1的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 a1 的值为__________. ( ) .

12. 若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? ?? ? ln a20 ? 13.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; * m, 2m (2)对任意 m∈N ,将数列{an}中落入区间(9 9 )内的项的个数记为 bm,求数 列{bm}的前 m 项和 Sm.

-6-


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