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【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 山东详解答案 阶段一(理) 专题二 第二节


考点例题

第 一 阶 段

专 题 二

第 二 节

冲关集训 高考预测
课时检测(八)

第一阶段 二轮专题复习

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专题二 三角函数与平面向量
第二节 三角变换与解三角形

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考点例题
例 1:思路点拨:(1)可以直接代入求值. (2)首先要化简条件得 sin α,cos β,然后用和角公式 sin(α+β)计 算.
? π? ? 1? 解:(1)f(0)=2sin?-6?=2×?-2?=-1. ? ? ? ?

(2)由

? π? 10 f?3α+2?=13,即 ? ?

10 2sin α=13,

5 所以 sin α=13. ? π? 6 6 由 f(3β+2π)=5,得 2sin?β+2?=5, ? ?
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6 即 2cos β=5, 3 所以 cos β=5.
? π? ∵α,β∈?0,2?, ? ?

12 ∴cos α= 1-sin α=13,
2

4 sin β= 1-cos2β=5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65.
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例 2: 思路点拨: (1)由题设以及正弦定理得到关于 A 的三角函数 值,进而求得 A 的值.(2)由面积公式以及余弦定理得到 b 与 c 的方程组,进而求得 b 与 c 的值.

解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C≠0,所以
? π? 1 sin?A-6?=2. ? ?

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π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

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例 3:思路点拨:第(1)步设相遇时小艇航行的距离为 S,利用余 弦定理把 S 表示为关于 t 的函数, 利用二次函数求解 S 的最小值, 并求解此时的速度;第(2)步利用余弦定理表示出 v,t 的关系式, 并利用函数知识求解; 第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问 题. 解:(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里,则

S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos?90° -30° ? = 900t -600t+400=
2

? 1?2 900?t-3? +300, ? ?

1 故当 t=3时,Smin=10 3,v=30 3,即小艇以每小时 30 3海里 的速度航行,相遇时距离最小.
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(2)若轮船与小艇在 B 处相遇,由题意可得: (vt)2=202+(30t)2-2· (30t)· 20· cos(90° -30° ), 400 600 化简得 v2= t2 - t +900
?1 3?2 =400? t -4? +675, ? ?

1 1 1 由于 0<t≤2,即 t ≥2,所以当 t =2 时,v 取得最小值 10 13,即 小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时.
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400 600 1 (3)由(2)知 v = t2 - t +900,令 t =μ(μ>0),
2

于是有 400μ2-600μ+900-v2=0,小艇总能有两种不同的航行 方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,
??600?2-1 600?900-v2?>0, ? 所以? ?900-v2>0, ?

解得:15 3<v<30,所以 v 的取值范围为(15 3,30).

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冲关集训 1 1. D 依题意得, α=2, 选 tan -3tan β=1, tan β=-3, 即 tan(α 1 tan α+tan β 2-3 +β)= = 2=1. 1-tan αtan β 1+3

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2 . 选A

2 5 依 题 意 得 sin α = 1-cos α = 5 , cos(α + β) =
2 2

4 ± 1-sin ?α+β?=± ;又 α,β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π, 5 4 5 4 4 cos α>cos(α+β),注意到5> 5 >-5,所以 cos(α+β)=-5. cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- 4 5 3 2 5 2 5 5× 5 +5× 5 = 25 .

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3.解:(1)∵f(x)=2cos 2- 3sin x =1+cos x- 3sin
? π? x=1+2cos?x+3?, ? ?

2x

∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3].
? π? 1 (2)∵f?α-3?=3, ? ?

1 1 ∴1+2cos α=3,即 cos α=-3.

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2 2 ∵α 为第二象限角,∴sin α= 3 . cos2α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 cos α+sin α -3+ 3 1-2 2 = 2cos α = 2 = 2 . -3

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4.选 A

由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理

sin C c 4 及 8b=5c 得 cos B=2sin B=2b=5, 所以 cos C=cos 2B=2cos2
?4?2 7 ? ? -1= . B-1=2× 5 25 ? ?

π 3sin 3 bsin ∠A 1 5.解析:由正弦定理可知 sin ∠B= = 3 =2,所 a π 5π π π π 以∠B=6或 6 (舍去), 所以∠C=π-∠A-∠B=π-3-6= 2.
π 答案:2
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6.解:(1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C, 得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=-3, 1 从而 cos A=-cos(B+C)=3. 1 2 2 (2)由于 0<A<π,cos A=3,所以 sin A= 3 . 1 又 S△ABC=2 2,即2bcsin A=2 2,解得 bc=6. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=13.
?bc=6, ? 解方程组? 2 2 ?b +c =13, ? ?b=2, ? 得? ?c=3, ? ?b=3, ? 或? ?c=2. ?

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7.解析:在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° + BC CD CDsin 45° 90° =105° ,∠DBC=30° sin 45° sin 30° , = ,BC= sin 30° = AB 10 2.在 Rt△ABC 中,tan 60° BC,AB=BCtan 60° = =10 6.

答案:10 6

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8.解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D,③ 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米.
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(2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD=2AD· BDsin D,S△ABC=2AC· BCsin C, 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D,所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低. 因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形,∠D=∠C =60° . 1 故 S△ABC=2AC· BCsin C=10 3, 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.
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高考预测

??? ? 解:(1)∵ OA =(cos α,sin α), ??? ? ∴ OA -n=(cos α,sin α+ 5), ??? ? ??? ? ∵m⊥( OA -n),∴m·OA -n)=0, (
即 2cos α+(sin α+ 5)=0,① 又 sin2α+cos2α=1,② 由①②联立方程解得 2 5 5 cos α=- 5 ,sin α=- 5 ,

??? ? 2 5 ? ? 5? ? ∴ OA =?- ,- 5 ?. 5 ? ?
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2 2 (2)∵cos(β-π)= 10 ,∴cos β=- 10 , 又∵0<β<π, 7 2 π ∴sin β= 10 ,且2<β<π. 又∵sin 2α=2sin αcos
2

? α=2×?- ? ?

5? ? 2 5? 4 ? ? ? ×?- ? ?=5, 5? ? 5 ?

4 3 cos 2α=2cos α-1=2×5-1=5, 3 ? 2? 4 7 2 ? ∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=5×?- ?+5× 10 = ? ? 10 ? 25 2 2 50 = 2 .
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课时检测(八) 1.选 B 因为
? 3π? α∈?π, 2 ?,cos ? ?
2

5 α=- 5 ,

2 5 所以 sin α=- 1-cos α=- 5 . 2tan α 4 所以 tan α=2.则 tan 2α= =-3. 1-tan2α 2.选 D 1 3 2 由二倍角公式可得 sin α+1-2sin α=4,sin α=4,又
2 2

? π? 因为 α∈?0,2?, 所以 sin ? ?

3 π π α= 2 .即 α=3, 所以 tan α=tan3= 3.

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?π ? 3 3.选 D ∵sin α=5,α∈?2,π?, ? ? 4 3 ∴cos α=-5,∴tan α=-4. 1 1 又∵tan(π-β)=2,∴tan β=-2, 2tan β 4 ∴tan 2β= =-3, 1-tan2β

∴tan(α-2β) 3 ? 4? -4-?-3? tan α-tan 2β ? ? = = ? 3? ? 4? 1+tan αtan 2β 1+?-4?×?-3? ? ? ? ? 7 =24.
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4.选C

sin?30° +17° ?-sin 17° 30° cos 原式= cos 17°

sin 30° 17° cos +cos 30° 17° sin -sin 17° 30° cos = cos 17° sin 30° 17° 1 cos = cos 17° =2.

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5.选 D



? π? sin?α+3?+sin ? ?

? π? 4 3 π α=- 5 ,-2<α<0,得 sin?α+3?+ ? ?

3 3 sin α=2sin α+ 2 cos α =
? π? -4 3sin?α+6?= 5 ? ?

3

.

所以 所以 4 =5.

? π? 4 ?α+ ?=- , sin 6? 5 ? ? ? ? 2π? π π? π? cos?α+ 3 ?=cos?α+6+2?=-sin?α+6? ? ? ? ? ? ?

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6.选D 由题意可得 a>b>c,且为连续正整数,设 c=n,b=n+ 1, a=n+2(n>1, n∈N*), 且 则由余弦定理可得 3(n+1)=20(n ?n+1?2+n2-?n+2?2 +2)· ,化简得 7n2-13n-60=0,n∈N*, 2n?n+1? 解得 n=4,由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c= 6∶5∶4. 7.解析:代入余弦定理公式得: b =4+(7-b)
答案:4
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2 2

? 1? -2×2×(7-b)?-4?,解得 ? ?

b=4.

8.解析:因为 cos

2

?π ? 1 α+sin?2+2α?=2,即 ? ?

1 cos α+cos 2α=2,
2

1 所以 cos α+2cos α-1=2.
2 2

3 2 整理得 3cos α=2,所以 cos α= 2 (因 α 为锐角,所以取正).
2



? π? α∈?0,2?,所以 ? ?

π α=4,tan α=1.

答案:1

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9.解析:由 a⊥b,得 a· b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦 定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C- 2sin Acos B=0,即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,故 cos B 1 π =2,因此 B=3.
π 答案:3

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? A ?cos2 ,cos 10.解:(1)∵m=(4,-1),n= 2 ?

? 2A ?,∴m· 2A n=4cos 2 ?

1+cos A -cos 2A=4· 2 -(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3. 7 7 2 又∵m· 2,∴-2cos A+2cos A+3=2, n= 1 解得 cos A=2. π ∵0<A<π,∴A=3.
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(2)∵在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,且 a= 3, 1 ∴( 3) =b +c -2bc·=b2+c2-bc.① 2
2 2 2

又∵b+c=2 3, ∴b=2 3-c, 代入①式整理得 c2-2 3c+3=0, 解得 c= 3 ,∴b= 3,于是 a=b=c= 3,即△ABC 为等边三 角形.

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?sin 2x=m, ? 11.解:(1)∵z1=z2,∴? ?λ=m- 3cos ?

2x.

∴λ=sin 2x- 3cos 2x. 若 λ=0,则 sin 2x- 3cos 2x=0,得 tan 2x= 3. ∵0<x<π,∴0<2x<2π. π 4π ∴2x=3或 2x= 3 . π 2π ∴x=6或 3 . (2)∵λ=f(x)=sin 2x- 3cos 2x
?1 =2? sin ?2 ? ? 3 ? 2x- 2 cos 2x? ?

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? =2?sin ?

π π? 2xcos3-cos 2xsin3? ?

? π? =2sin?2x-3?, ? ?

1 又∵当 x=α 时,λ=2,
? ? π? 1 π? 1 ∴2sin?2α-3?=2,sin?2α-3?=4. ? ? ? ?

2π π 2 ∴cos(4α- 3 )=1-2sin (2α-3) 1 7 =1-2×16=8.
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12.解:由题意,得轮船从 C 到 B 用时 80 分钟,从 B 到 E 用时 20 分钟.又船始终匀速前进,所以 BC=4EB. 设 EB=x,则 BC=4x. 由已知,得∠BAE=30° ,∠EAC=150° . EC AE 在△AEC 中,由正弦定理,得 = , sin∠EAC sin C AE· sin∠EAC 5sin 150° 1 所以 sin C= = 5x =2x. EC BC AB 在△ABC 中,由正弦定理,得sin 120° sin C, =
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1 4x· 2x 4 3 BC· C sin ∴AB= sin 120° = = 3 . 3 2 在△ABE 中,由余弦定理,得 BE2=AB2+AE2-2AB· cos 30° AE· 16 4 3 3 31 = 3 +25-2× 3 ×5× 2 = 3 , 故 BE= 31 3.

31 3 BE 所以船速 v= t = 1 = 93(km/h). 3 所以该船的速度为 93 km/h.
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