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2018高考数学大一轮复习三角函数解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用课件理


第四节 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象及三角函数 模型的简单应用
本节主要包括 2 个知识点:? 1.函数 y=Asin?ωx+φ?的图象; 2.三角函数模型的简单应用.

突破点(一)
基础联通

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

抓主干知识的“源”与“流”

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ

2π 1 ω ωx +φ ______ f=T= ω 2π T=____

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要 找五个关键点,如下表所示:
x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

φ φ π π-φ 3π φ 2π-φ -ω -ω -ω+ 2 ω 2ω ______ ___ ________ ______ ______ ω ω
___ 0 0

π ___ 2
A

__ π 0

3π ___ 2
-A

___ 2π 0

3. 由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的图象的两种方法

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1.“五点法”画图

(1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0), ?π ? ?3π ? ? ,1?,(π,0),? ,-1?,(2π,0),图象如图①所示. ?2 ? ?2 ?

(2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1), ?π ? ?3π ? ? ,0?,(π,-1),? ,0?,(2π,1),图象如图②所示. ?2 ? ?2 ?

2.三角函数图象的变换 函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)中,参数 A,ω,φ, k 的变化引起图象的变换:A 的变化引起图象中振幅的变换, 即纵向伸缩变换;ω 的变化引起周期的变换,即横向伸缩变 换;φ 的变化引起左右平移变换,k 的变化引起上下平移变 换.图象平移遵循的规律为:“左加右减,上加下减”.

[ 例 1]

某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) = Asin(ωx +

? π? φ)?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数 ? ?

据,如下表:

ωx+φ x Asin(ωx+φ)

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6 -5



0

5

0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式;

[解]

π 根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-6,数

据补全如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 2π

5π 13π 6 12 - 5 0

则函数解析式为

? π? f(x)=5sin?2x-6?. ? ?

π (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度,得到 y= g(x)的图象,求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心; ? π? [解] 由(1)知 f(x)=5sin?2x-6?, ? ?
因此
? ? ? π? π ? π? g(x)=5sin?2?x+6?-6?=5sin?2x+6?. ? ? ? ? ? ?

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z, π kπ π 令 2x+6=kπ,k∈Z,解得 x= 2 -12,k∈Z, 即
?kπ ? π y=g(x)图象的对称中心为? 2 -12,0?,k∈Z, ? ? ? ? π 最近的对称中心为?-12,0?. ? ?

其中离原点 O

(3)说明函数 f(x)的图象是由 y=sin x 的图象经过怎样的 变换得到的.
[解] 度,得到 π 把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 6个单位长
? π? y=sin?x-6?的图象,再把 ? ? ? π? y=sin?x-6?的图象上的点 ? ?

? π? 1 的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), 得到 y=sin?2x-6?的 ? ?

图象,最后把

? π? y=sin?2x-6?上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ? ? π? y=5sin?2x-6?的图象. ? ?

5

倍(横坐标不变),即可得到

[易错提醒]
(1)由 y=sin ωx 到 y=sin(ωx+φ)的变换:向左 φ 平移ω(ω>0,φ>0)个单位长度而非 φ 个单位长度. (2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致, 应先利用诱导公式化为同名函数, ω 为负时应先变成 正值.

由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

求函数解析式 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0, ω>0)是常见问 题,一般和函数周期、最值及图象变换相结合.由图象(或性 质)求三角函数解析式的方法: (1)A, k 由最值确定, 在一个周期内(或者从最高点到相邻 M- m 的最低点),若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2 ,k= M+ m 2 .特别地,当 k=0 时,A=M=-m.

2π (2)ω 由周期 T 确定, 即由 ω =T 求出. 常用的确定 T 值的 方法如下: T ①曲线与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为 2 ; ②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的 T 距离为 2 ; ③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为 T; T 3T ④有时还可以从图中读出 4 或者 4 的长度来确定 ω.

(3)φ 值的确定有三种途径:
代入 将图象中一个已知点代入或将图象与直线 y=b 的交 法 点代入求解(此时要注意交点在增区间还是在减区间) 由特殊点确定,可以利用最高点或最低点,也可以利 用零点.利用零点时,通常把“五点法”中的第一个 五点 法 点(x0,0)(初始点)作为突破口, 由“第一个点”(图象上 升时与 x 轴的交点)可得等式 ωx0+φ=2kπ(k∈Z); 由 “第三个点”(图象下降时与 x 轴的交点)可得等式为 ωx0+φ=π+2kπ(k∈Z). 再由已知条件中 φ 的具体范 围确定相应的 φ 值

运用逆向思维, 由图象变换来确定. 由 f(x)=Asin(ωx 变 +φ)=Asin 换 法
? φ? ω?x+ω?知,“五点法”中的第一个点 ? ?

? φ ? ?- ,0?就是由原点平移而来的,可从图中读出此 ? ω ?

φ 点横坐标,令其等于-ω,即可得到 φ 值

[例 2]

(1)(2017· 石家庄模拟)函数 f(x)=

? π? Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如 ? ?

图所示,则

?11π? f? 24 ?的值为 ? ?

( 2 C.- 2 D.-1

)

6 A.- 2
[解析]

3 B.- 2

由图象可得 A= 2,最小正周期

?7π π? T=4×?12-3 ?=π,则 ? ?

?7π? ?7π ? 2π π π ω= T =2.由 f?12?= 2sin? 6 +φ?=- 2,且|φ|<2,得 φ=3,则 f(x) ? ? ? ?



? π? ?11π? 2sin?2x+3?,f? 24 ?= ? ? ? ?

?11π π? 2sin? 12 +3?= ? ?

5π 2sin 4 =-1.

[答案]

D

(2)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象
?π? ? π? 2 如图所示,f?2?=-3,则 f?-6?=( ? ? ? ?

)

2 A.-3 2 C. 3

1 B.-2 1 D.2

T 11π 7π π 2π [解析] 由题图知 2 = 12 -12=3,∴T= 3 ,即 ω=3, 7π 7π π 当 x=12时,y=0,即 3×12+φ=2kπ-2,k∈Z, 9π π ∴φ=2kπ- 4 ,k∈Z,取 k=1,则 φ=-4,
? π? ∴f(x)=Acos?3x-4?. ? ?



?3π π? 2 ? ? Acos 2 -4 =-3,解得 ? ?

2 2 A= 3 ,

? π? 2 2 ? π π? π? 2 2 ? 2 ∴f(x)= 3 cos?3x-4?,故 f?-6?= 3 cos?-2-4?=-3. ? ? ? ? ? ?

[答案] A

[易错提醒]
(1)一般情况下,ω 的值是唯一确定的,但 φ 的 值是不确定的, 它有无数个, 如果求出的 φ 值不在指 2π 定范围内,可以通过加减 ω 的整数倍达到目的. (2)正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、 两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周 期,而是半个周期,在解题中要考虑到这一点.

三角函数图象与性质的综合应用

[例 3]

π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R, ω、 A>0,0<φ<2

π 的最大值为 2, 最小正周期为 π, 直线 x=6是其图象的一条对 称轴. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数
? π? ? π? g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

[解]

2π 由题意,得 A=2,ω= π =2,

π 又直线 x=6是 f(x)的图象的一条对称轴, 所以
? ? π 2sin?2×6+φ?=± 2,即 ? ? ?π ? sin?3+φ?=± 1, ? ?

π π 所以3+φ=kπ+2(k∈Z), π π π 解得 φ=kπ+6(k∈Z),又 0<φ<2,∴φ=6. 故
? π? f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

(2)求函数
[解 ]

? π? ? π? g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

? ? ? ? π ? π? π ? π? g(x)=2sin?2?x-12?+6?-2sin?2?x+12?+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? 2x-2sin?2x+3?=2sin ? ? ?1 2x-2? ?2sin ? ? 3 ? 2x+ 2 cos 2x? ?

=2sin

=sin 2x- 3cos

? π? 2x=2sin?2x-3?. ? ?

π π π 令 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. 所以函数
? π 5π? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?

[易错提醒]
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将 y=f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,再 借助 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(如定义域、值域、 最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”
? ? π ? π? y=sin?2x-3?在区间?-2,π? ? ? ? ?

1. [考点一] (2017· 西安模拟 )函数 上的简图是

(

)

解析:令 x=0,得

? π? y=sin?-3?=- ? ?

3 2 ,排除 B、D.当 x

? π ? 4π π π ∈?-2,0?时,- 3 ≤2x-3≤-3,在此区间上函数不会 ? ?

出现最高点,排除 C,故选 A. 答案:A

π 2.[考点一](2016· 四川高考)为了得到函数 y=sin2x-3的图象, 只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点 π A.向左平行移动 3个单位长度 π B.向右平行移动 3个单位长度 π C.向左平行移动 6个单位长度 π D.向右平行移动 6个单位长度 ( )

? ? ? π?? π? 解析:∵y=sin?2x-3?=sin?2?x-6??, ? ? ?? ? ?

π ∴将函数 y=sin 2x 的图象向右平行移动 6个单位长度,可 得
? π? y=sin?2x-3?的图象. ? ?

答案:D

3.[考点二] 函数 f(x)=2sin(ωx+φ) 如图所示,则 ω,φ 的值分别是 π A.2,-3 π C.4,-6

? π π? ?ω>0,- <φ< ?的部分图象 2 2? ?

(

)

π B.2,-6 π D.4,3

3T 5π ? π? 3π 解析: 由图可得, 4 =12-?-3?= 4 , ∴T=π, 则 ω=2, ? ? ∵图象过点
?5π ? ? ? 5π 5π ? ? ? ? B 12,2 , ∴2sin 2×12+φ =2, ∴2×12+φ ? ? ? ?

π π π π =2+2kπ(k∈Z),∵-2<φ<2,∴φ=-3. 答案:A

4 . [考点二、三] (2016· 银 川 二 模 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的图象与 x
? ? π 轴的一个交点?-12,0?到其 ? ?

?π? 3 π 相邻的一条对称轴的距离为 4 ,若 f?12?=2,则函数 f(x)在 ? ? ? π? ?0, ?上的最小值为 2? ?

( 3 C.- 2 1 D.-2

)

1 A. 2

B.- 3

π 2π 解析:由题意得,函数 f(x)的最小正周期 T=4×4=π= ω ,解 ? ? π 得 ω = 2. 因 为 点 ?-12,0? 在 函 数 f(x) 的 图 象 上 , 所 以 ? ? ? ? ? π? π ? ? ? ? Asin 2× -12 +φ =0,解得 φ=kπ+6,k∈Z,由 0<φ<π,可 ? ? ? ? ?π? 3 π π π 3 ? ? 得 φ=6.因为 f 12 =2,所以 Asin2×12+6=2,解得 A= 3, ? ? ? π? π π ?π 7π? 所以 f(x)= 3sin2x+6.当 x∈?0,2?时,2x+6∈?6, 6 ?,sin2x ? ? ? ? ? π ? 1 π 7π π ? ? +6∈ -2,1 ,且当 2x+6= 6 ,即 x=2时,函数 f(x)取得最 ? ? 3 小值,最小值为- 2 ,故选 C. 答案:C

5 . [考点二] (2017· 江西百校联盟联考 ) 已知函数 f(x) = sin(ωx +
? ? ?π ? π φ)?|φ|<2,ω>0?的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P?6,1?, ? ? ? ?

在原点右侧与 x 轴的第一个交点为

?5π ? ?π? Q?12,0?,则 f?3?的值为 ? ? ? ?

( A. 1 2 B. 2 1 C.2 3 D. 2

)

T 5π π 解析: 由题意得 4 =12-6, 所以 T=π, 所以 ω=2, 则 f(x) = sin(2x + φ) ,将点
?π ? P ?6,1? 代入 ? ?

f(x) = sin(2x + φ) ,得

? ? π sin?2×6+φ?=1,所以 ? ?

π π φ=6+2kπ(k∈Z).又|φ|<2,所以

? ?π? ? π? π π? π φ=6,即 f(x)=sin?2x+6?(x∈R),所以 f?3?=sin?2×3+6? ? ? ? ? ? ?

5π 1 =sin 6 =2,选 C. 答案:C

6. [考点三] 已知函数 f(x)=

? π π? 3sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图 ? ?

π 象关于直线 x=3对称, 且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; ? π? (2)当 x∈?0,2?时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值. ? ? 解:因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= T =2. π 又因为 f(x)的图象关于直线 x=3对称, π π π 所以 2×3+φ=kπ+2,k∈Z,即 φ=kπ-6,k∈Z, π π π π 又-2≤φ<2,所以 φ=-6. 综上,ω=2,φ=-6.

(2)当

? π? x∈?0,2?时,求函数 ? ?

y=f(x)的最大值和最小值.

解:由(1)知 f(x)= 当

? π? 3sin?2x-6?, ? ?

? π? π π 5π x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , ? ?

π π π 所以,当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)最大值= 3; π π 3 当 2x-6=-6,即 x=0 时,f(x)最小值=- 2 .

突破点(二)
基础联通

三角函数模型的简单应用

抓主干知识的“源”与“流”
三角函数模型的实际应用

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面: (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题, 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应 法则. (2)把实际问题抽象转化成数学问题, 建立三角函数模型, 再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.

[典例]

某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:

π π h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃, 则在哪段时间实验室 需要降温?

[解]

?π π? π π (1)因为 f(t)=10- 3cos12t-sin12t=10-2sin?12t+3?, ? ?

?π π? π π π 7π 又 0≤t<24,所以 3≤12t+3< 3 ,所以-1≤sin?12t+3?≤1. ? ?

当 t= 2

?π π? 时,sin?12t+3?=1; ? ? ?π π? 时,sin?12t+3?=-1. ? ?

当 t=14

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大 温差为 4 ℃.

(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃, 则在哪段时间实验室 需要降温?
[解] 依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温.
?π π? f(t)=10-2sin?12t+3?, ? ?

由(1)得 故有

?π π? 10-2sin?12t+3?>11, ? ?



?π π? 1 ? ? t + sin 12 3 <-2. ? ?

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 , 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温.

[方法技巧]
解决三角函数实际应用题的四个注意点 (1)活用辅助角公式准确化简; (2)准确理解题意,实际问题数学化; (3)“ωx+φ”整体处理; (4)活用函数图象性质,数形结合.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”
?π ? ? x+φ? ?6 ?

1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函 数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单 ( )

位:m)的最大值为

A.5

B.6

C.8

D.10

解析:根据图象得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5, 最大值为 3+k=8. 答案:C

2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的 基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+
? π? B ?A>0,ω>0,|φ|<2? 的模型波动(x为月份),已知3月 ? ?

份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7 月份的出厂价格为________元.

解析:作出函数简图如图:三角函数模型为: y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知:A=2 000, 2π π B=7 000,T=2×(9-3)=12,∴ω= T =6. π π 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,则有 6×3+φ=2, π ∴φ=0,故 f(x)=2 000sin6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*). 7π ∴f(7)=2 000×sin 6 +7 000=6 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元. 答案:6 000

3.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用 三角函数
?π ? y=a+Acos?6?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已 ? ?

知 6 月份的平均气温最高,为 28 ℃,12 月份的平均气温最 低,为 18 ℃,则 10 月份的平均气温值为________℃.
28+18 28-18 解析:依题意知,a= 2 =23,A= 2 =5, 所以
?π ? y=23+5cos?6?x-6??, ? ? ?π ? 时,y=23+5cos?6×4?=20.5. ? ?

当 x=10

答案:20.5

4.如图所示, 某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部 分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y= Asin ωx(A>0 , ω>0) , x ∈ [0,4] 的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3),赛道的后一部分为折线段 MNP,求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离.

T 解:依题意,有 A=2 3, 4 =3, 2π π π 又 T= ω ,所以 ω=6,所以 y=2 3sin6x,x∈[0,4],

2π 所以当x=4时,y=2 3sin 3 =3, 所以M(4,3),又P(8,0), 所以MP= ?8-4?2+?0-3?2= 42+32=5(km), 即M,P两点间的距离为5 km.

5.(2017· 青岛调研)某市新体育公园的中心广场 平面图如图所示,在 y 轴左侧的观光道(单 位: 米)曲线段是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π), x∈[-4,0]的图象且最高点为 B(-1,4),在 y 轴右侧的观光道曲线段是以 CO 为直径的半 圆弧. (1)试确定 A,ω 和 φ 的值; (2)现要在 y 轴右侧的半圆中修建一条步行道 CDO,点 C 与 半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段(造价为 2 万元/米). 点 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为 1 万元/米). 设 ∠DCO=θ(弧度),试用 θ 来表示修建步行道 CDO 的造价预 算,并求该造价预算的最大值?(注:只考虑步行道的长度, 不考虑步行道的宽度)

解:(1)因为最高点为 B(-1,4),所以 A=4. T 由图可得 4 =-1-(-4)=3,所以 T=12, 2π π 因为 T= ω =12,所以 ω=6, 所以
?π ? 4=4sin?6×?-1?+φ?,即 ? ? ? π? sin?φ-6?=1, ? ?

2π 又 0<φ<π,所以 φ= 3 .

(2)现要在 y 轴右侧的半圆中修建一条步行道 CDO,点 C 与 半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段(造价为 2 万元/米). 点 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为 1 万元/米). 设 ∠DCO=θ(弧度),试用 θ 来表示修建步行道 CDO 的造价预 算,并求该造价预算的最大值?(注:只考虑步行道的长度, 不考虑步行道的宽度)

解:由(1)知

?π 2π? y=4sin?6x+ 3 ?,x∈[-4,0], ? ?

得点 C(0,2 3),即 CO=2 3,取 CO 的中 点 F,连接 DF,DO,
? 为半圆弧,所以∠DFO=2θ,∠CDO=90°, 因为弧 CD ? =2θ× 3=2 3θ,则圆弧段 DO ? 的造价预算为 2 3θ 万元, 即 DO

在 Rt△CDO 中, CD=2 3cos θ, 则直线段 CD 的造价预算为 4 3 cos θ 万元, 所以步行道 CDO 的造价预算 g(θ)=4 3cos θ+2
? π? 3θ,θ∈?0,2?. ? ?

π 由g′(θ)=4 3 (-sin θ)+2 3 =2 3 (1-2sin θ),得当θ= 6 时,g′(θ)=0, ? π? 当θ∈?0,6?时,g′(θ)>0, ? ? ? π? 即g(θ)在?0,6?上单调递增; ? ? ?π π? 当θ∈?6,2?时,g′(θ)<0, ? ? ?π π? 即g(θ)在?6,2?上单调递减. ? ? π 3 所以g(θ)在θ= 6 时取得极大值也是最大值6+ 3 π,即修建步 ? 3 ? ? 行道CDO的造价预算的最大值为?6+ π? 万元. 3 ? ? ?

[全国卷 5 年真题集中演练——明规律]
1. (2016· 全国乙卷)将函数
? π? 1 ? ? y=2sin 2x+6 的图象向右平移4个周 ? ?

期后,所得图象对应的函数为
? π? A.y=2sin?2x+4? ? ? ? π? C.y=2sin?2x-4? ? ? ? π? B.y=2sin?2x+3? ? ? ? π? D.y=2sin?2x-3? ? ?

(

)

解析: 函数

? π? y = 2sin ?2x+6? 的周期为 ? ?

π ,将函数 y =

? π? 1 π ? ? 2sin 2x+6 的图象向右平移4个周期即4个单位长度,所 ? ? ? ? ? π? π? π? 得图象对应的函数为 y=2sin?2?x-4?+6?=2sin?2x-3?, ? ? ? ? ? ?

故选 D. 答案:D

π 2.(2016· 全国甲卷)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移12个单位 长度,则平移后图象的对称轴为 kπ π A.x= 2 -6(k∈Z) kπ π B.x= 2 +6(k∈Z) kπ π C.x= 2 -12(k∈Z) kπ π D.x= 2 +12(k∈Z) ( )

π 解析:将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度,得 到函数 y=2sin
? ? ? π ?? π? ?2?x+ ??=2sin?2x+ ?的图象.由 12?? 6? ? ? ?

π 2x+6=

π kπ π kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +6(k∈Z),即平移后图象的对称轴 kπ π 为 x= 2 +6(k∈Z). 答案:B

3.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)函数 f(x)= cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为(
? 1 3? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?

)

解析:由图象知,周期

?5 1? 2π T=2?4-4?=2,∴ ω =2,∴ω=π. ? ?

1 π π 由 π×4+φ=2+2kπ,得 φ=4+2kπ,k∈Z,
? π? π π ? ? π x + 不妨取 φ=4,则 f(x)=cos 4?.由 2kπ<πx+4<2kπ+π, ?

1 3 k∈Z,得 2k-4<x<2k+4,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为
? 1 3? ?2k- ,2k+ ?,k∈Z,故选 4 4? ?

D.

答案:D

4. (2016· 全国丙卷)函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
解析: 因为 y=sin x+ 3cos
? π? x=2sin?x-3?, 所以把 ? ? ? π? x=2sin?x+3?, y=sin ? ?

x- 3cos

? π? 2π ? ? y=2sin x+3 的图象至少向右平移 3 ? ?

个单位长度可得 2π 答案: 3

? π? y=2sin?x-3?的图象. ? ?

5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象
? π? π 向右平移 2个单位后,与函数 y=sin?2x+3?的图象重合,则 φ ? ?

=________.
π 解析: 将 y = cos(2x + φ) 的图象向右平移 2 个单位后得到 y =
? ? ? π? cos?2?x-2?+φ?的图象,化简得 ? ? ? ? ? π? y=sin?2x+φ-2?.由题意可知 ? ?

y=-cos(2x+φ),又可变形为

π π φ-2=3+2kπ(k∈Z),所以 φ= 5π 答案: 6

5π 5π 6 +2kπ(k∈Z),结合-π≤φ<π 知 φ= 6 .


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