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13章 数学归纳法极限排列组合


(1)数学归纳法证明不等式:

求证:当 n ? 1 ,2 时,我就不说了。 假设当 n ? k (k ? 2) 时成立,既 xk ? 2 ? ( ) 那么当 n ? k ? 1 时,
1 2 1 2 1 1 xk ?1 ? 2 ? ? xk ? xk ? 1 ? 2 ? ( xk ? 2) ? ( xk ? 2) ? ( xk ? 2) ? ( x

k ? 2)( xk ? 2) ? xk ? 2 1 ? ( 2 ? xk ) 2 2 2 2

1 2

k ?1

成立,

由归纳假设 xk ? 2 ? ( )

1 2

k ?1

,所以只需要证 1 ?

1 1 ( 2 ? xk ) ? , 2 2

既只需要证 1 ? 2 ? xk ? 3, ①。 因为 xk ? ?

1 2 1 3 3 xk ?1 ? xk ?1 ? 1 ? ? ( xk ?1 ? 1) 2 ? ? ,所以 2 ? xk ? 3 (A) 2 2 2 2

因为由归纳假设,

1 xk ? 2 ? ( ) k ?1 成立,所以有 2 1 k ?1 1 1 ?( ) ? xk ? 2 ? 2 2 ? ( ) k ?1 ? xk ? 2 ,又 1 ? 2 2 ? ( ) 2 2 2
由(A) , (B )两式知①式成立。 由归纳法原理,成立。 Q:一三六一五三五七 (2)数列与数学归纳法证明数列不等式

k ?1

,所以1 ? xk ? 2 (B)

前两个我就不求 (2)都是正数,直接两边除以两个的积(呵呵,看到

1 1 与 了这就是常用处理) an ?1 an

那就有了

1 a 1 1 1 a ? ? 2 n?1 ,因为 an ? an ?1 ? 2 a 2 n ?1 ? an ? an ?1 ? 0 ,所以 n?1 ? 1 n an?1 an n an an

呵呵 ,则

1 1 1 ? ? 2 an ?1 an n

(3)直接数学归纳法证。开始不说了。 假设

k ?1 1 2 ? ak ? k , 则 当 n ? k ? 1 时 。 ak ?1 ? ak ? a k, 考 虑 二 次 函 数 k ?2 (k ? 12)

y?

k ?1 1 ? x ? k 时,函数增,所以 x 2 ? x 的单调性可得当 2 k ?2 (k ? 1)

k ?1 1 (k ? 1)2 1 ? ? ak ?1 ? k ? k 2 ,呵呵,下面只需要证 2 2 2 k ? 2 (k ? 1) (k ? 2) (k ? 1)
k ? 2 k ?1 1 1 ,k ? ? ? k 2 ? k ? 1 即可,很简单了,直接算。 2 k ? 3 k ? 2 (k ? 1) (k ? 1)2
这题我感觉能用数学归纳法来做应该是倒数第二道的档次。 还有, 利用递推关系证明不等式 时,常常可以用数学归纳法,k 到 k+1 那步就可以利用函数单调性,如我的方法。 3 问另法放缩。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 1? 2 ? 2 ??? 2 a0 a n a0 a1 an?1 an 2 3 n
? 1? 1 1 1 ??? ? 2? 1? 2 (n ? 1)n n
. 又

a0 ?

1 2





an ? n



a n ? a n?1 ?

1 2 1 n2 ? n ?1 n2 a ? a ? ( n ? 1 ) a ? a a ? an 故 所 以 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n2 n2 n2 n2 ? n ?1
1 1 2 1 n2 an an ?1. a ? a ? a ? a n = an ?1 ? 2 n ?1 n ?1 n ?1 2 2 2 n ? n ?1 n n n ? n ?1


a n ? a n ?1 ?

n ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? . 同理利用累加可得an ? n?2 an?1 an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1
综合以上知

n ?1 ? an ? n. n?2

(3)数学归纳法证明一个解不出的递推关系的通项。 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ? 3 n?1 ,求证, an ? 4m ? 3 (m 是非负整数)
a

分析:这题是一个数列递推关系问题,和以前我们能够解出的递推关系不一样,是无法求解 的。不过看题目并不是要求通项,只是证明通项是一个给出的形式,故可采用归纳法证明。

证明:当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 4 ? 0 ? 3 ,成立, 假设当 n=k 时, ak ? 4 p ? 3 ,p 是非负整数。

那么当 n =k+1 时。
0 1 2 2 4 p?3 4 P?3 ak ?1 ? 34 p?3 ? (1? 2)4 p?3 ? C4 p?3 ? C4 p?3 *2 ? C4 p?3 *2 ? .... ? C4 p?3 2 2 4 p ?3 4 P?1 2 4 p ?3 4 P?1 = 1 ? 8 p ? 6 ? 4(C4 ) = 3 ? 8 p ? 4 ? 4(C4 ) p ?3 ? .... ? C4 p ?3 2 p ?3 ? .... ? C4 p ?3 2 2 4 p ?3 4 P?1 2 4 p ?3 4 P?1 = 3 ? 4(2 p ? 1 ? C4 是非负整数, ) 显然 2 p ?1 ? C4 p ?3 ? .... ? C4 p ?3 2 p ?3 ? .... ? C4 p ?3 2

所以命题成立。 (4)换元思想求函数极限

(5)第二数归和跳跃数归

a1 ? 2, an?1 ? 2 ?

n , 求证 : an ? 1 ? n ? 1 an

法一.(第二数学归纳)当 n ? 1 时,成立,为了后面方便,多算个 n=2 吧 假设当 n ? k , (k ? 2) 时都成立,既 ak ? 1 ? k ? 1, ak ?1 ? 1 ? k 当 n ? k ? 1 时,ak ?1 ? 2 ?

kak ?1 k k 1 k (k ? 1) ? 2? ? 2? ? 2 ? [k ? ] k ? 1 ak 2 a ? ( k ? 1) 2 2 a ( k ? 1) k ?1 k ?1 2? ak ?1

易知

k (k ? 1) ? 0 ,又 ak ?1 ? 1 ? k ,所以上式 2ak ?1 (k ? 1)

1 k (k ? 1) k ? 2 ? [k ? ]? 2? 2 2( k ? 1)(k ? 1) k ?1

下 只 需 要 证 2?

k k ? 1? k ? 2 ? ? k ? 2 ?1 即 k ?1 k ?1

k k ?1 即 ? k ?1 k ? 2 ?1

k k ? 2 ? k ? k (k ? 1) ? k ? 1 ? k k ? 2 ? ( k k+1)+1
平方易得. 所以成立。 (这里用假设 n ? k ,是因为直接用连续两项关系的话放缩方向始终不对) 法二.(跳跃数归) 假设 ak ?1 ? 1 ? k ,则 ak ? 2 ? 2 ?

k k k ? 2? ? 2? k ?1 k ?1 k ?1 2? 2? ak ?1 1? k





2?

k k ? ?1 k ? ? 2 ? k? ? k ?1 k ?1

2 即

k k ?1 1 ? k ?1 k ? 2 ?1



k k ? 2 ? k ? k (k ? 1) ? k ? 1 ? k k ? 2 ? ( k k+1)+1
平方易得,又容易验证 n=1,n=2 时成立,所以对一切 n 都成立. 还可以证明一个加强命题, 1 ? n ? an ? 1 ? n ? 1 就可以直接数归法了。 (6)组合 从集合{1,2,3.....,15}中取出 4 个不同的元素,且其中一个元素的三倍等于其他三 元素之和(如 1,6,7,10,就是一种取法),则这样的取法种数有 A106 B96 C155 D125

解:题目可变为抽三个数字,和为 3 的倍数,且三数不是等差数列。 (分析: 第四个数实际上抽好那三个, 他就定了, 只是第四个数不能是已经选好的前 3 个数, 所以,前三个数就不能是等差,否则前三数的中间一个就是第四个,就矛盾了) 余 0:3,6,9,12,15 余 1:1,4,7,10,13 余 2:2,5,8,11,14, (1) 若三数来自于同一类,方法是 3? C53 ? 30 , (2) 若三数来自不同类,则只能一类取一个则总数 5
3

则总共有 30+125=155 个。 但是这里面有很多是等差数列的,有多少个等差数列的情况呢? 注意到只要三数成等差数列, 则三数和一定是 3 的倍数, 所以我们在算之前那 155 个的时候 里面包含了所有的等差数列, 则在 1—15 这些数里选三数成等差数列共有 C7 2 ? C82 ? 49 个, (只需要在 7 个偶数中选 2 个作为两头的数,等差中项就有了。8 个奇数同样,或者按公差 分类数也行,13+11+9+。 。 。+1=49) 所以满足条件的为 155-49=106

(7)A={1,2,3,4,5},y=f(x)是定义在 A->A 上的函数,如果 f[f(x)]=x,则 f(x)共有几个 要满足 f[f(x)]=x,, 则对于 f (x) 而言, 也就是作用第一个 f 时, 要么就是 1-1, 2-2, 3-3, 4-4,5-5。也就是 f(x)=x。这样满足条件的函数有 1 个 另一方面,如果存在 f(x0)不=x0,比如 f(1)=2, 那么必须 f(2)=1 才能满足条件,如图所示 ,也就是说要交叉对应。但是这样一来就有可能 只有一组是交叉其余 3 个对应自身,或者二组交叉 对应剩下一个对应自身。 故方法数是 1+C52+C54*C42/2=26

(8)f(f(x))=f(x)的映射个数。
为 了 体 现 和 那 高 考 题 的 不 同 , 我 假 设 n 〈 m, (n>m)同样做法还简单点〉

由题,f[f(x)]=f(x)的话,那么,B 中的再通过 f 的作用就一定是 B 中元素本身。如 1—1 2—2……,现在的问题就是 B 中用去多少个元素对应成了本身的问题。下就按这个分类 若 B 中用去 k 个元素,那么相当于 A 中的 1---n 要选出 k 个来对应本身,剩下的 m-k 个就要全部对应到选出来那 k 个元素里去。方法数为 Cn k k m?k 故所有方法数为 (9)

?C
k ?1

n

k

n

k m? k

(10)一个数矩形的排列组合

以包含这两个五星的为例,注意那个正方形。只要矩形包含那个正方形即可。但是不能包住剩下那颗星。 那么考虑矩形的对角线的顶点,其中一个顶点只能取右上方得 5 个点,另外一个顶点只能取左下方得 9 个 点。所以 9*5=45 个。同理包含剩下两个星的情况类似可得有 28 个

。故总数 73 个。

(11) 常见的组成多少条直线的问题,要出去重复计数

按照成比例的倍数分类,2 倍 3 倍 4 倍 C(12,3)-C(6,3)-C(4,3)-1=195


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