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导数、简易逻辑、概率统计练习2


成都市实验外国语学校(西区)数学测试题
——————————简易逻辑、导数、概率统计 1、如果一个函数的瞬时变化率处处为 0,则这个函数的图象是( A.圆 B.抛物线 C.椭圆 ) D.直线 8、已知命题 ,使 命题 ,都有 给出下列结论: 7、 连续抛掷 3 枚硬币, 至少有一枚出现正面的概率是 ( ) A. B. C. D.

2、若命题

/>
为假命题,则







命题“

”是真命题

② 命题“

”是假命题

A.

、 中至少有一个为真命题

B.

、 中至多有一个为真命题



命题“

”是真命题; ④ 命题“ ) C. ③ ④

”是假命题

C.

、 均为真命题

D.

、 均为假命题 )

其中正确的是( A.② ④

B.② ③

D. ① ② ③

3、甲、乙两人做“石头 、剪刀、布”游戏,两 人平局的概率为(

9、函数 A. B. C. D. 的解集为(

在定义域( )

)内的图象如图所示,记

的导函数为

,则不等式

4、设条件 p: A.充分不必要条件 C.充要条件

,条件 q:

,则



的(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A. B. )

5、在一球内有一边长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为(

C. A. B. C. D. 10、三次函数

D.

6、某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测,则检测出至 少有一听不合格饮料的概率是( )



存在极大值点,则 的范围是

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

11、 f(x)、 (x)是 R 上的可导函数, 设 g <0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)>f(b)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) )



分别为 f(x)、 (x)的导函数, g 且满足

g(x)+f(x)

三、解答题 2 2 17、设命题 p: (4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范 围.?

B.f(x)g(a)> f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

12、设函数 为 的图像是( )

,若

为函数

的一个极值点,则下列图像不可能

18、从某学校高三年级 A. 二、填空题 13、已知函数 f(x)=ax+4,若 f′(2)=2,则 a 等于______. 14、已知函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数为 11,则 li m →
Δx 0

名学生中随机抽取

名测量身高,据测量被抽取的学生的身高全部介于

B.

C.

D. 和 之间,将测量结果按如下方式分成

f(x0-Δx)-f(x0) =________; Δx f(x)-f(x0) =________. 2(x0-x) .

lix→x m

0

15、设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=

16、为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如 图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 2 小组的 频数为 12,则报考飞行员的学生人数是 . 八组:第一组 .第二组 ;?第八组 ,上图是按上述分组方法得到的条形图. (1)

根据已知条件填写下面表格: 组别 样本数 2 1 2 4 3 10 4 10 5 15 6 4 7 8

(2)估计这所学校高三年级

名学生中身高在

以上(含

)的人数;

(3)在样本中,若第二组有 人为男生,其余为女生,第七组有 人为女生,其余为男生,在第二组和第七组中 各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多少?

20、已知函数



(Ⅰ)当

时,证明函数

只有一个零点;

(Ⅱ)若函数

在区间

上是减函数,求实数 的取值范围.

19、、已知集合



.

(1)在区间

上任取一个实数 ,求“

”的概率;

(2)设 “

为有序实数对,其中 是从集合 ”的概率.

中任取的一个整数, 是从集合

中任取的一个整数,求

21、已知定义在

上的函数

,其中 为常数.

(1)若

是函数

的一个极值点,求 的值.

(2)若函数

在区间

上是增函数,求 的取值范围.

22、已知 x=4 是函数 f(x)=alnx+x -12x+11 的一个极值点. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

2

条形图得第七组频率为 ∴第七组的人数为 3 人. 第八组的人数为 2 人,即

. 4、 (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 差为 ,由 =100,解得 . 人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公

组别 样本数 --------4 分

1 2

2 4

3 10

4 10

5 15

6 4

7 3

8 2 ∴各班被抽取的学生人数分别是 18 人,19 人,20 人,21 人,22 人. (2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.

(2)由条形图得后三组频率为(0.08+0.06+0.04)=0.18,估计这所学校高三年级身高在 180cm 以上(含 180cm)的 人数 800×0.18=144(人). ---------8 分

5、解:(Ⅰ)当

时,

,其定义域是

(3)基本事件有 12 个,恰为一男一女的事件有共 7 个,因此实验小组中,恰为一男一女的概率是 分

.---12



????2 分

3、(Ⅰ)由已知

,???????2 分



,即

,解得





设事件“

”的概率为



,∴

舍去.

这是一个几何概型,则

.???????5 分



时,

;当

时,



(2)因为

,且



∴ 函数

在区间

上单调递增,在区间

上单调递减

所以, 基本事件共 12 个: , , .



















∴ 当 x =1 时,函数

取得最大值,其值为



???????9 分



时,

,即



设事件

为“

”,则事件

中包含 9 个基本事件,???????11 分

∴ 函数

只有一个零点.

????????6 分

事件

的概率

.???????12 分

(Ⅱ)显然函数

的定义域为

(2)①当 ∴ ???7 分

时,

在区间

上是增函数,∴

符合题意. ???4 分

②当 ① 当 时, 在区间 上为增函数,不合题意??8 分 当 ② 当 时, 等价于 ,即 当 此时 的单调递减区间为 . ∴

时,

,令



时,对任意

,恒有

,∴

符合题意;

时,当

时,

,∴

符合题意. 综上所述,

???8 分

(3) 依题意,得 解之得 . ???10 分



.





时,

等价于

,即 令 ,即

此时

的单调递减区间为



显然有

,设方程

的两个根为

.

由 ∴ 得 所以 综上,实数 的取值范围是 ????12 分 当 6、解:(1) , . 所以

式得

,不妨设

, 当

时,

为极小值,



上的最大值只能为



???10 分

时, 由于



上是单调递减函数, 所以最大值为

, 又已知



处取得最大值,





的一个极值点, ∴

,



. ???3 分 即 ,解得 , 又因为 ,所以 . ???13 分

7、(1)∵f′(x)=

+2x-12,

∴f′(4)= 因此 a=16

+8-12=0 ????????????????????????????3 分

(2)由(1)知,

f(x)=16lnx+x2-12x+11,x∈(0,+∞)

f′(x)=
当 x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)>0

??????????????5 分

当 x∈(2,4)时,f′(x)<0??????????????????????????7 分 所以 f(x)的单调增区间是(0,2),(4,+∞)

f(x)的单凋减区间是(2,4) ??????????????????????????8 分
(3)由(2)知,f(x)在(0,2)内单调增加,在(2,4)内单调减少,在(4,+∞)上单调增加,且当 x= 2 或 x=4 时,f′(x)=0 所以 f(x)的极大值为 f(2)=16ln2-9,极小值为 f(4)=32ln2-21 因此 f(16)=16ln16+16 -12×16+11>16ln2-9=f(2)
2

f(e-2)<-32+11=-21<f(4)
所以在 f(x)的三个单调区间(0,2),(2,4) ,(4,+∞)内,直线 y=b 与 y=f(x)的图象各有一个交 点, 当且仅当 f(4)<b<f(2)成立??????????????????????13 分 因此,b 的取值范围为(32 ln2-21,16ln2-9).??????????????14 分


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