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平面解析几何(总结)


一、直线与方程
(1)倾斜角与斜率 1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 α 的范围是 0 ≤ α < π . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k = tan θ . 如果知道 y ? y1 直线上两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) ,则有斜率公式 k = 2 . 特别地是,当 x1 = x2 , y1 ≠ y2 时, x2 ? x1 直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ≠ x2 , y1 = y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当α=90° 时, 斜率 k=0; 0° < α < 90° 时, 当 斜率 k > 0 , 随着α的增大, 斜率 k 也增大; 90° < α < 180° 当 时,斜率 k < 0 ,随着α的增大,斜率 k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题. (2)两条直线平行与垂直的判定 2 1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k2 ,有: (2) l1 ⊥ l2 ? k1 ? k2 = ?1 . (1) l1 // l2 ? k1 = k2 ; 2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴;…. 直线的点斜式方程 1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y = kx + b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的 倾斜角为 90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 = 0 , 或 x = x0 . 4. 注 意 :
y ? y0 = k 与 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 是 不 同 的 方 程 , 前 者 表 示 的 直 线 上 缺 少 一 点 x ? x0

P0 ( x0 , y0 ) ,后者才是整条直线. (3)直线的两点式方程

1. 两点式:直线 l 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,其方程为 1

y ? y1 x ? x1 = , y2 ? y1 x2 ? x1 x y 2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 + = 1 . a b 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. x + x y + y2 4. 线段 P P2 中点坐标公式 ( 1 2 , 1 ). 1 2 2

(4)直线的一般式方程 1. 一般式:Ax + By + C = 0 , 注意 A、 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax + By + C = 0 ( B ≠ 0) B A C A C 化为斜截式方程 y = ? x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B 2 与 直 线 l : Ax + By + C = 0 平 行 的 直 线 , 可 设 所 求 方 程 为 Ax + By + C ' = 0 ; 与 直 线
Ax + By + C = 0 垂直的直线,可设所求方程为 Bx ? Ay + C ' = 0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写为 A( x ? x0 ) + B( y ? y0 ) = 0 .

经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A( x ? x0 ) + B( y ? y0 ) = 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) = 0 .

3. 已 知 直 线 l1 , l2 的 方 程 分 别 是 : l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ( A1 , B1 不 同 时 为 0 ) ,
l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 ( A2 , B2 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别:

(1) l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ;

(2) l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0, A1C2 ? A2 B1 ≠ 0 ;

(3) l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0, A1C2 ? A2 B1 = 0 ; (4) l1 与 l2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 . A B C A B C 如果 A2 B2 C2 ≠ 0 时,则 l1 // l2 ? 1 = 1 ≠ 1 ; l1 与 l2 重合 ? 1 = 1 = 1 ; l1 与 l2 相 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A B 交? 1 ≠ 1 . A2 B2 (5)两条直线的交点坐标 ? A x + B1 y + C1 = 0 1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ? 1 . 若方程 ? A2 x + B2 y + C2 = 0 组有惟一解, 则两条直线相交, 此解就是交点的坐标; 若方程组无解, 则两条直线无公共点, 此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 λ ( A1 x + B1 y + C1 ) + ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其 定点就是 A1 x + B1 y + C1 = 0 与 A2 x + B2 y + C2 = 0 的交点. (6)两点间的距离 1. 平面内两点 P ( x1 , y1 ) , 2 ( x2 , y2 ) , P 则两点间的距离为: P P2 |= ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 )2 . | 1 1 特别地,当 P , P2 所在直线与 x 轴平行时,| P P2 |=| x1 ? x2 | ;当 P , P2 所在直线与 y 轴平 1 1 1 行时, | P P2 |=| y1 ? y2 | ;当 P , P2 在直线 y = kx + b 上时, | P P2 |= 1 + k 2 | x1 ? x2 | . 1 1 1 2. 坐标法解决问题的基本步骤是: (1)建立坐标系,用坐标表示有关量; (2)进行有 关代数运算; (3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系. (7)点到直线的距离及两平行线距离 | Ax0 + By0 + C | 1. 点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离公式为 d = . A2 + B 2 2. 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 可 以 推 导 出 两 条 平 行 直 线 l1 : Ax + By + C1 = 0 ,
l2 : Ax + By + C2 = 0 之间的距离公式 d = | C1 ? C2 | A2 + B 2

,推导过程为:在直线 l2 上任取一点

P ( x0 , y0 ) , 则 Ax0 + By0 + C2 = 0 , 即 Ax0 + By0 = ?C2 . 这 时 点 P ( x0 , y0 ) 到 直 线 l1 : Ax + By + C1 = 0 的距离为 d = | Ax0 + By0 + C1 | A +B
2 2

=

| C1 ? C2 | A2 + B 2

二、圆与方程
、 (一) 圆的方程 1、圆的标准方程: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2 、 圆 的 一 般 方 程 : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 , 其 中 圆 心 为 ______________ 半 径 为 _____________ 3、圆的一般方程的特点: ①x 和 y 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.
2 2

③化成一般式 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 后,满足 D +E -4F>0
2 2

4、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的关系的判断方法:
2 2 2

(1) ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) > r 2 ,点在圆外
2 2 2 2 2 (2) ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) = r ,点在圆上

(3) ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) < r 2 ,点在圆内
2 2

、 (二) 直线与圆的位置关系 1、几何方法:设直线 l : ax + by + c = 0 ,圆 C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,圆的半径为 r , D E 圆心 (? , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2 ①当 d > r 时,直线 l 与圆 C 相离;②当 d = r 时,直线 l 与圆 C 相切;③当 d < r 时,直线 l 与 圆 C 相交; 2.代数方法:联立直线与圆的方程组,消去 x 或 y,得到一个一元二次方程,求出其△, ①当△>0 时,直线 l 与圆 C 相交;②当△=0 时,直线 l 与圆 C 相切;③当△<0 时,直线 l 与 圆 C 相离; 3.弦长公式:几何法: | AB |= 2 ? r 2 ? d 2 代数方法:联立直线与圆的方程组,消去 x 或 y,得到一个一元二次方程,求出两根和与两 根积,代入公式 | AB |= 1 + k 2 ? ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 1 +

1 ? ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 , k2

其中 x1 , x 2 是直线 AB 与圆的交点 A、B 的横坐标,k 是直线 AB 的斜率。 (三) 圆与圆的位置关系 、 设两圆的连心线长为 d,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d > r1 + r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 d = r1 + r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |< d < r1 + r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 d =| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 d <| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; (四) 空间直角坐标系 、 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y , z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴 上的坐标 2.空间两点间的距离公式 空 间 里 点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到 点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 之 间 的 距 离 : R

P1 P2 = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 + ( z1 ? z 2 ) 2
O P

M Q M' y

x

三、圆锥曲线
知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:

一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未 知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨 迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是 寻找与动点坐标有关的方程(等量关系) ,侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条 件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究
? | PF | ? (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集: ?P | = e, e > 0? ,其中 F 为 d ? ?

定点,d 为 P 到定直线的?距离,F ? ?,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当 0<e<1 时,点 P 轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 轨迹是双曲线;当 e=1 时,点 P 轨迹 是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2 为定点}, 双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2 为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改 变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 ②定量:

椭 焦 距 2a

圆 2c

双 曲 线

抛 物 线

长轴长 实轴长 短轴长 焦点到对应 准线距离 通径长 离心率 基本量关系

—— 2a 2b P=2
b2 c b2 a
c a

——

p


e=

2p 1 C =a +b
2 2 2

a =b +c

2

2

2

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在 x 轴上的方程如下: 椭 标准方 程
x2 a2 + y2 b2


=1

双 曲 线
x2 a2 ? y2 b2 =1
2

抛 物 线

y =2px(p>0)

(a>b>0) 点 点 线 心 |x|≤a |y|≤b (±a,0) (0,±b) (±c,0) X=±
a2 c

(a>0,b>0) (±a,0) (0,0) (
p ,0) 2

顶 焦 准 中

x= ?

p 2

(0,0) |x|≥a x≥0

有界性

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2 分别为左、右焦点 P 在右支时: |PF1|=a+ex0 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 |PF2|=-a+ex0 P 在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+
p 2

总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结 合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2、直线和圆锥曲线位置关系 (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0) 。 其中直线和曲线只有一个公共点, 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两 种情形;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两 种情况;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法。 4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方 法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。 例题研究 例1、 根据下列条件,求双曲线方程。

(1)与双曲线 (2)与双曲线 分析: 分析:

x 2 y2 ? = 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) ; 9 16

x 2 y2 ? = 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) 。 16 4

法一: (1)双曲线

x 2 y2 4 ? = 1 的渐近线为 y = ± x 9 16 3

令 x=-3,y=±4,因 2 3 < 4 ,故点(-3, 2 3 )在射线 y = ? 轴之间, ∴ 双曲线焦点在 x 轴上
x2 a2 ? y2 b2 =1, (a>0,b>0)

4 x (x≤0)及 x 轴负半 3

设双曲线方程为

?b 4 ?a = 3 ? ? 2 2 ? (?3) ? (2 3 ) = 1 ? a2 b2 ?

? 2 9 ?a = 解之得: ? 4 ?b 2 = 4 ?

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? =1 9 4 4 x2 a2 ? y2 b2 = 1 (a>0,b>0)
x 2 y2 ? =1 12 8

(2)设双曲线方程为

?a 2 + b 2 = 20 ?a 2 = 12 ? ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 解之得: ? ?b 2 = 8 ? 2 =1 ? ? b ? a2

∴ 双曲线方程为

法二: (1)设双曲线方程为 ∴
( ?3) 2 ( 2 3 ) 2 ? =λ 9 16

x 2 y2 ? = λ (λ≠0) 9 16

∴ λ=

1 4

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? =1 9 4 4

(3)设双曲线方程为

?16 ? k > 0 ? y2 x2 ? =1 ? ?4 + k > 0 ? ? 16 ? k 4 + k ? ?



(3 2 ) 2 22 ? =1 16 ? k 4+k x2 a2 ? y2 b2

解之得:k=4

∴ 双曲线方程为
x2 a2 x2 a2 ? ?

x 2 y2 ? =1 12 8 = λ (λ≠0) ,当λ>0 = 1 共焦点的双曲线为

评注:与双曲线

= 1 共渐近线的双曲线方程为

y2 b2 y2 b2

时,焦点在 x 轴上;当λ<0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线
x2 a +k
2

?

y2 b ?k
2

= 1 (a +k>0,b -k>0) 。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高
2 2

解题质量, 特别是充分利用含参数方程的几何意义, 可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2、设 F1、F2 为椭圆
x 2 y2 + = 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一 9 4
| PF1 | 的值。 | PF2 |

个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 解题思路分析:

当题设涉及到焦半径这个信息时,通常联想到椭圆的两个定义。
?| PF1 | + | PF2 |= 6 ? 法一:当∠PF2F1=90 时,由 ?| PF1 | 2 =| PF2 | 2 +(2c) 2 ? 2 ?c = 5
0

得:

| PF1 |=

14 4 , | PF2 |= 3 3
0



| PF1 | 7 = | PF2 | 2

当∠F1PF2=90 时,同理求得|PF1|=4,|PF2|=2
| PF1 | =2 | PF2 |



法二:当∠PF2F1=90 , x P = 5 ∴ y P = ±
0

4 3

∴ P( 5 , ±

4 ) 3

又 F2( 5 ,0)

∴ |PF2|=

4 3

14 ∴ |PF1|=2a-|PF2|= 3

?x 2 + y 2 = ( 5 ) 2 ? 0 当∠F1PF2=90 ,由 ? x 2 y 2 得: + =1 ? 4 ? 9

P( ±

3 4 5, ± 5) 。下略。 5 5

评注:由|PF1|>|PF2|的条件,直角顶点应有两种情况,需分类讨论。 ,N(1,0)的距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴的距离之比为 2, 例 3、设点 P 到 M(-1,0) 求 m 取值范围。 分析: 分析: 根据题意,从点 P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m ∴ 点 P 轨迹为双曲线,方程为 又 y=±2x(x≠0) ①②联立得: x 2 = 将此式看成是 范围。 ②
m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2 x2 m2
?

y2 1 ? m2

= 1 (|m|<1) ①

m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

关于 x 的二次函数式,下求该二次函数值域,从而得到 m 的取值

根据双曲线有界性:|x|>m,x >m ∴
m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m
2

2

2

> m2

又 0<m <1

2

∴ 1-5m >0

2

∴ | m |<

5 且 m≠0 5

∴ m ∈ (?

5 5 , 0) ∪ (0, ) 5 5

评注:利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步,当题目条件有等量关系时,一般考 虑利用函数思想,建立函数关系式。
2 2 2 2

例 4、已知 x +y =1,双曲线(x-1) -y =1,直线?同时满足下列两个条件:①与双曲线 交于不同两点;②与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线?方程。 分析: 分析: 选择适当的直线方程形式,把条件“?是圆的切线” “切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关于 参数的方程组。 法一:当?斜率不存在时,x=-1 满足; 当?斜率存在时,设?:y=kx+b ?与⊙O 相切,设切点为 M,则|OM|=1 ∴
|b| k +1
2

=1

∴ b =k +1

2

2



? y = kx + b 由? 得: 2 2 ?( x ? 1) ? y = 1

(1-k )x -2(1+kb)x-b =0 ,B(x2,y2) ,则中点 M(x0,y0) , 当 k≠±1 且△>0 时,设 A(x1,y1)
x1 + x 2 = 2(1 + kb) 1? k
2

2

2

2

, x0 =

1 + kb 1? k2

∴ y0=kx0+b=
2

k+b 1? k2
2

∵ M 在⊙O 上
2 2

∴ x0 +y0 =1

2

2

∴ (1+kb) +(k+b) =(1-k ) 由①②得: ?
? 3 ?k = 3 ? ?b = ? 2 ? 3 ?


? k =? 3 3 3

? 或 ? 3

? ?b = 2 ? 3 ?

∴ ?: y =

3 2 3 2 x? 3或y=? + 3 3 3 3 3

法二:设 M(x0,y0) ,则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时,x0=±1,显然只有 x=-1 满足; 当 y0≠0 时, y = ? 代入(x-1) -y =1 得:(y0 -x0 )x +2(x0-y0) x-1=0 ∵ y0 +x0 =1
2 2 2 2 2 2 2 2

x0 1 x+ y0 y0

∴ 可进一步化简方程为:(1-2x0 )x +2(x0 +x0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得: x 0 = ?
1 2

2

2

2

x0 + x0 ?1
2

1 ? 2x 0

2

∴即 2x0 -x0 -2x0+1=0

3

2

解之得:x0=±1(舍),x0=

∴ y 0= ±

3 。下略 2

评注:不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件( “相切”和“中点” )转化为关于 参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例 5、A、B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线 AB 过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求△AOB 面积的最小值; (5)O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程。 分析: 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) (1) k OA =
2 2

y1 y , k OB = 2 x1 x2
2

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1
y1 2 y 2 2 ? + y1 y 2 = 0 2p 2p
2

∴ x1x2+y1y2=0

∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∵ y1≠0,y2≠0
2 2



∴ y1y2=-4p

∴ x1x2=4p

2

(2)∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∴ (y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴ k AB = ∴ y=
2p y1 + y 2



y1 ? y 2 2p = x 1 ? x 2 y1 + y 2 2p (x ? x 1 ) y1 + y 2

∴ 直线 AB: y ? y1 = ∴ y= ∴ y=

2px 1 2px + y1 ? y1 + y 2 y1 + y 2 y1 y 2 = ?4p 2

y 2 ? 2px 1 + y1 y 2 2px + 1 y1 + y 2 y1 + y 2
2px ? 4p 2 + y1 + y 2 y1 + y 2

∵ y1 2 = 2px 1 , ∴ y= 0)

2p ( x ? 2p) ∴ AB 过定点 (2p, , M 0) 设 (2p, y1 + y 2

(3)设 OA∶y=kx,代入 y =2px 得:x=0,x= ∴ A(
2p 2p , ) k2 k

2

2p k2

1 ? 2 ? x 0 = p( k + 2 ) 1 ? 2 k 同理,以 ? 代 k 得 B(2pk ,-2pk) ∴ ? k ? y = P( 1 ? k ) ? 0 k ?

∵ k2 +
2

1 k = ( ? )2 + 2 k k k
2
2

1



x0 y = ( 0 )2 + 2 p p
2 2

即 y0 =px0-2p

∴ 中点 M 轨迹方程 y =px-2p

(4) S ?AOB = S ?AOM + S ?BOM =

1 | OM | (| y1 | + | y 2 |) = p(| y1 | + | y 2 |) 2

≥ 2p | y 1 y 2 | = 4p 2 当且仅当|y1|=|y2|=2p 时,等号成立 评注:充分利用(1)的结论。 (5)法一:设 H(x3,y3) ,则 k OH = ∴ AB: y ? y 3 = ? 即x =?
x3 (x ? x 3 ) y3
2

y3 x3

∴ k AB = ?

x3 y3

y3 2py 3 2p 2 ( y ? y 3 ) + x 3 代入 y =2p 得 y 2 + y ? 3 ? 2px 3 = 0 x3 x3 x3
2

由(1)知,y1y2=-4p


2

2py 3 + 2px 3 = 4p 2 x3

2

整理得:x3 +y3 -2px3=0

2

2

∴ 点 H 轨迹方程为 x +y -4x=0(去掉(0,0) ) 法二:∵ ∠OHM=90 ,又由(2)知 OM 为定线段 ∴ H 在以 OM 为直径的圆上 例 6、设双曲线 x 2 ? ∴ 点 H 轨迹方程为(x-p) +y =p ,去掉(0,0)
2 2 2 0

2

y2 = 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

(1)求直线 AB 方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什 么? 分析: 分析: (1)法一:显然 AB 斜率存在 设 AB:y-2=k(x-1)
? y = kx + 2 ? k ? 2 2 2 由 ? 2 y2 得:(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0 =1 ?x ? 2 ?

当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∴ k=1,满足△>0

则? =

x 1 + x 2 k (2 ? k) = 2 2 ? k2

∴ 直线 AB:y=x+1

? 2 y1 2 =1 ?x 1 ? ? 2 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? 2 ? 2 y2 x2 ? =1 ? 2 ?

两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= ∵ x1≠x2 代入 x 2 ? ∴

1 (y1-y2)(y1+y2) 2

y1 ? y 2 2( x 1 + x 2 ) = x1 ? x 2 y1 + y 2

k AB =

2 ×1 =1 2

∴ AB:y=x+1

y2 = 1 得:△>0 2

评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处 理。在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所 有条件。 本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦, 故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
?y = x + 1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4) =1 ?x ? 2 ? ?y = ?x + 3 ? 2 由 ? 2 y2 得:x +6x-11=0 =1 ?x ? 2 ?

又 CD 方程:y=-x+3

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) 则 x0 =
x3 + x4 = ?3, y 0 = ? x 0 + 3 = 6 2 1 |CD|= 2 10 2

∴ M(-3,6)

∴ |MC|=|MD|=

又|MA|=|MB|= 2 10

∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评注: 充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰, 在复习中必须引起足够重 视。 圆与方程 2.2 圆与方程 考纲要求:①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 考纲要求 ②能根据给定直线、圆的方程.判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断 两圆的位置关系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

2.2.1 圆的方程 重难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程;了解圆的一般方程的代 重难点 数特征,能实现一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F. 经典例题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和 经典例题 圆心坐标. 当堂练习: 当堂练习 1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1 或 a>1 D.a= 1 2.点 P(m2,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 3.方程(x+a)2+(y+b)2=0 表示的图形是( ) A.点(a,b) B.点(-a,-b) C.以(a,b)为圆心的圆 D.以(-a,-b)为 圆心的圆 4.已知一圆的圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方 程是( ) A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2) 2+(y-3)2=52 5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2 与两坐标轴都相切的充要条件是( ) D.以上皆对 A.a=b=r B.|a|=|b|=r C.|a|=|b|=|r| 0 6.圆(x-1)2+(y-3)2=1 关于 2x+y+5=0 对称的圆方程是( ) A.(x+7)2+(y+1)2=1 B.(x+7)2+(y+2)2=1 C.(x+6)2+(y+1)2=1 D.(x+6 )2+(y+2)2=1 7.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( ) A. (-1,1) B. (1,-1) C. (-1,0) D. (0,-1) 8.圆 x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0 在直角坐标系中的位置特征是( ) A. 圆心在直线 y=x 上 B.圆心在直线 y=x 上, 且与两坐标轴均相切 C. 圆心在直线 y=-x 上 D.圆心在直线 y=-x 上, 且与两坐标轴均相切 9.如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则( ) A.D=0,E=0,F 0 B.E=0,F=0,D 0 C.D=0,F=0,E 0 D.F=0,D 0, E 0 10.如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有 ( ) A.D=E B.D=F C.E=F D.D=E=F 11.方程 x4-y4-4x2+4y2=0 所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两条平行直线 C.两条平行直线和一个圆 D.两条相交直 线和一个圆 12.若 a 0, 则方程 x2+y2+ax-ay=0 所表示的图形( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 x-y=0 对称 D.关于直线 x+y=0 对称 13.圆的一条直径的两端点是(2,0)(2,-2) 、 ,则此圆方程是( ) A.x2+y2-4x+2y+4=0 B.x2+y2-4x-2y-4=0 C.x2+y2-4x+2y-4=0 D.x2 +y2+4x+2y+4=0 14.过点 P(12,0)且与 y 轴切于原点的圆的方程为 __________________.

15.圆(x-4)2+(y-1)2=5 内一点 P(3,0) ,则过 P 点的最短弦的弦长为 _____,最短弦所在 直线方程为___________________. 16.过点(1,2)总可以向圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 作两条切线,则 k 的取值范围是 _______________. 17.已知圆 x2+y2-4x-4y+4=0,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________,距 离最远的点的坐标是________________. 18.已知一圆与直线 3x+4y-2=0 相切于点 P(2,-1) ,且截 x 轴的正半轴所得的弦的长为 8, 求此圆的标准方程.

19.已知圆 C:x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程.

20.已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆, (1)求 t 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围. 21.已知曲线 C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 (1)求证不论 m 取何实数,曲线 C 恒过一定点; (2)证明当 m≠2 时,曲线 C 是一个圆,且圆心在一条定直线上; (3)若曲线 C 与 y 轴相切,求 m 的值.

参考答案: 参考答案: 经典例题: 解:设所求的圆的方程为: ∵ 方程,可以得到关于 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的 的三元一次方程组,

即 解此方程组,可得: ∴所求圆的方程为:

; 或将 出圆的半径

得圆心坐标为(4,-3). ,从而求

左边配方化为圆的标准方程, ,圆心坐标为(4,-3)

当堂练习: 1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36;

15. 2

,

x+y-3=0; 16.

; 17. (2-

,2-

), (2+

,2+

); ,(1)

18. 解: 设所求圆圆心为 Q a,b)则直线 PQ 与直线 3x+4y-2=0 垂直, ( , 即 且圆半径 r=|PQ|= 由(1)(2)两式,解得 a=5 或 a= 、 (x-5)2+(y-3)2=25. ,(2)

(舍),当 a=5 时,b=3,r=5, 故所求圆的方程为

19. 解:圆 C 的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为

=1 或 y=kx,

由 x+y-a=0,d=

.

由 kx-y=0,d=

.

综上,圆的切线方程为 x+y-5

=0 或(2

)x-y=0.

20. 解: (1) 方程表示一个圆的充要条件是 D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,

即:7t2-6t-1<0, (2)r2= D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t)2+ ,

21. 解: 曲线 C 的方程可化为: (1) (x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由 , ∴不论 m 取何值时,x=4, y=-2 总适合曲线 C 的方程,即曲线 C 恒过定点(4, -2). (2)D=-4m, E=2m, F=20m-20, D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2 ∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ∴曲线 C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由

消去 m 得 x+2y=0, 即圆心在直线 x+2y=0 上. (3)若曲线 C 与 y 轴相切,则 m≠2,曲线 C 为圆,其半径 r= ,

又圆心为(2m, -m),则

=|2m|,

.

直线与方程(含直线方程、交点坐标与距离公式) 直线与方程(含直线方程、交点坐标与距离公式) 泉州模拟) 1.(2010 泉州模拟)点 P 到点 A( , 0), B ( a, 2) 及到直线 x = ? 的点恰好只有一个, 的值是( 的点恰好只有一个,那么 a 的值是( A. ) C. 或

1 2

1 的距离都相等, 的距离都相等,如果这样 2 1 2 1 2

1 2

B.

3 2

1 2

3 2

D. ? 或

【解析】选 D 解析】 泉州模拟) 的值为( 2.(2010 泉州模拟)若直线 x + 2ay ? 1 = 0与( a ? 1) x ? ay + 1 = 0平行, 则a 的值为( A. 。 )

两直线重合,不合题意; 【解析】选 A.当 a = 0 时,两直线重合,不合题意; 解析】 A.当

1 2

B.

1 或0 2

C. 0

D. ? 2

2 2 东山模拟) M(1,2)的直线 (x两点, 为圆心, 3.(2010 东山模拟)过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-2) +y =9 交于 A、B 两点,C 为圆心, 2 2

最小时, 的方程为( 当 ∠ACB 最小时,直线 l 的方程为( A.x=1 【解析】选 C 解析】 漳州模拟) 4. (2010 漳州模拟 ) 充要条件是 a= B.y=1

) C.x-2y+3=0 D. D.x-y+1=0

和 已知直线 l1 : x + ay + 6 = 0和 l2 : ( a ? 2) x + 3 y + 2a = 0, 则l1 // l2 的
答案:-1 答案:

南通模拟) 5.(2010 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x + (m + 1) y = 2 ? m 与直线 mx + 2 y = ?8 互 相垂直的充要条件是 m= .

∴? 【解析】∵两直线垂直, 解析】
答案: 答案: ?

1 m 2 ? (? ) = ?1, 解之得m = ? . m +1 2 3

2 3


→ 1 → → a = (6,), = ( ?4, ) 2 b 2 , l 过点 A(3, ?1) , 青岛模拟) 6. (2010 青岛模拟)已知向量 直线 且与向量 a + 2 b

垂直, 的方程为_______________ _______________; 垂直,则直线 l 的方程为_______________; 【解析】∵ a = (6, 2), b = ( ?4, ),∴ a + 2b = (?2,3), 又 ∵ 直线l与向量a + 2b垂直, 解析】

1 2

2 ∴ 直线l的斜率为 ,又直线过点(3, 1),所以直线方程为2 x ? 3 y ? 9 = 0. ? 3
答案: 答案: 2 x ? 3 y ? 9 = 0


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