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新课标高中数学必修1必修四公式大全


数学必修 1 必修 4 常用公式及结论
一、集合 1、含义与表示: (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性 (2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法 2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A ,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B 真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于

A,则 A 是 B 的真子集, 记作 A ? B 集合相等:若: A ? B, B ? A ,则 A ? B 3. 元素与集合的关系:属于 ?
?

不属于: ?

空集: ?

4、集合的运算:并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集,记为 A B 交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A B 补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集,记为 CU A 5.集合 {a1 , a2 ,

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;
*

6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 二、函数的奇偶性 1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域) 2、性质: (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形; (3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 二、函数的单调性 1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,且 x1 < x2 ① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数 y = ax2 +bx + c( a ? 0 )的性质 1、顶点坐标公式: ? ??

?

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? ? x ? ? , 对称轴: ,最大(小)值: , 2a 4a 4a ? ? 2a ?
(1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2 2

2.二次函数的解析式的三种形式 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则:

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;(3)两根式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .

(1)a m ? a n = a m + n , (2) a ? a ? a
m n

m?n

, (3)( a m ) n = a m n (4)( ab ) n = a n ? b n
n
n

? 1 1 an ?a? ?n m n (5) ? ? ? n (6)a 0 = 1 ( a≠0)(7) a ? n (8) a m ? a (9) a m ? m a b ?b? an

n

2、根式的性质

(1) ( n a )n ? a .
n n

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? 4、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞) Y a>1 1 0 X

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

(2)图象过定点(0,1) Y 0<a<1 1 0 X
1

5.指数式与对数式的互化: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 五、对数与对数函数 1 对数的运算法则: log N (1)a b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1(4)log a a b = b(5)a a = N (6)log a (MN) = log a M + log a N (8)log a N b = b log a N (10)推论 log a m b ?
n

(7)log a (

M ) = log a M -- log a N N

(9)换底公式:log a N =

logb N logb a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
(12) 常用对数: lg N = log 10 N (13) 自然对数: ln A = log e A(其中 e = 2.71828?)

(11) log a N =

1 log N a

2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R Y 0 1 a >1 X

(2)图象过定点(1,0) Y 1 0 0<a<1 X

六、幂函数 y = x a 的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . a>1 0<a<1 a<0

1

例如: y = x 2

y ? x ? x2

y?

1 ? x ?1 x

七.图象平移:若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 规 律:左加右减,上加下减 八 . 平均增长率的问题 : 如果原来产值的基础数为 N ,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有

y ? N (1? p)x .
九、函数的零点:1.定义:对于 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的 X 叫 y ? f ( x) 的零点。即

y ? f ( x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。
2. 函 数 零 点 存 在 性 定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b? 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 有 3.二分法求函数零点的步骤: (给定精确度 ? )

f ( a)? f ( b)? 0 ,那么 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,C 就是零点。
a?b 2 (3)计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是零点;②若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则零点 x0 ? ? a, x1 ? ③若
(1)确定区间 ? a, b? ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ;(2)求 ? a, b ? 的中点 x1 ? (4)判断是否达到精确度 ? ,若 a ? b ? ? ,则零点为 a 或 b 或 ? a, b ? 内任一值。否则重复(2)到(4) 基本三角函数
2

f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则零点 x0 ? ? x1 , b ? ;



?

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ
? ?Ⅲ

?

? 2
? Ⅰ、Ⅲ

?
? ?

2

2
2 2

? Ⅰ、Ⅲ
? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ

? ?Ⅳ

Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合:

?? ? ? ??,? ? z?

? 终边落在 y 轴上的角的集合:

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? , ? ? z ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ? , ? ? z ? 2 2 ? ? ? ?
l ? ? r

3 60度 ? 2? 弧度 1? ?

?

?
1 80 .

S ?

1 1 l r ? ? r2 2 2

弧度 1 80

1 弧度 ?

?



? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1 80? ? ? 弧度

tan? cot? ? 1 ?倒数关系: Sin?Csc? ? 1 Cos?Sec? ? 1

tan2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系: Sin2? ? Cos 2? ? 1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

1 ? Cot 2? ? Csc 2? 乘积关系: Sin? ? tan ?Cos ? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , k ? z Cos?? ? 2k? ? ? Cos? , k ? z t an?? ? 2k? ? ? t an? , k ? z

?

角?与角 ? ?关于x轴对称

Sin?? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? Cos? t an?? ? ? ? ? t an?
Sin?? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? ? t an?

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

3

tan ?

Sec ?Csc?

Cos? Sin ? Cot?

?

角? ? ?与角?关于原点对称 Sin??

? ? ? ? ? Sin? Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? t an?

?角

?
2

? ?与角 ?关于 y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? 2 ? ? ?? ? Cos? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? cot? ?2 ?

?

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ?? ? Cos? ? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? ? cot? ?2 ?

上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限 三角函数的性质 性 质

y ? Sin x
R

y ? Cos x
R

定义域 值 域

?? 1,1?
2?
奇函数

?? 1,1?
2?
偶函数

周期性 奇偶性 单调性

? ?? ? ?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 增函数 ? ? ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数 ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 减函数 ? ?

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4

对称轴

?
2

,k ? z



5

3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6





y ? tan x

y ? cot x

定义域

? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?

?x x ? ??,? ? z?
4





R

R

周期性 奇偶性 单调性

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z, 增函数 2 2? ?

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数
? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?

对称中心 对称轴

?k? ,0?, k ? z

10 8

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

?

怎样由y ? Sinx变化为y ? ASin??x ? ? ? ? k
振幅变化: y ? Sinx



y ? ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y ? ASin?x
上下平移变化

y ? ASin(?x ? ? )

y ? ASin(?x ? ? ) ? k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a, a ? 0 , b, 如果有

?

?

一个实数 ?, 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果 b与a是共线向量 那么又且只有一个实数 ?, 使得b ? ? a.
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比的定义式P 1P ? ? PP 2 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

? ?

x?

x1 ? ?x2 1? ? y ? ?y 2 y? 1 1? ?

?

. OP ?

OP1 ? ? OP 2 1? ?
? 当? ?1时
线段中点向量公式
5

? 当? ?1时
线段中点坐标公式

. OP ? OP1 ? OP 2 2

x?

x1 ? x2 2
y1 ? y 2 2

y?



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?a ? 0?

? 推广
平面向量基本定理:
? 其中e1 , e 2 为该平面内的两个 ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

? 推广
a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e3 ,
空间向量基本定理:

? 其中e1 , e 2 , e3为该空间内的三个? ? ? ? 不共面的向量 ? ? ?

Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y2 ? x2 y1 ? 0 反过来,如果 x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅹ 一 般 地 , 对 于 两 个 非 零 向 量 a, b 有

a ? b ? a b Cos? , 其 中 θ 为 两 向 量 的 夹 角 。

Cos? ?

a ?b ab

?

x1 x2 ? y1 y2 x1
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅺ

2

2

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y 1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
若正 n边形 A1 A2 ? ? ? An的中心为 O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0
三角形中的三角问题 ?
A? B ?C ?? , A? B ?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? ? ? Cos? ? ? 2 ? ?2?



Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

? 正弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC
6

余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC
CosA ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab
三角公式以及恒等变换

变形:

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
, S (? ? ? ) , S (? ? ? )

? 两角的和与差公式: Sin ?? ? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ? Sin ?? ? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ?

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
? 二倍角公式: 变形:
t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an ? ? t an? t an ? t an ? 其中? , ? , ?为三角形的三个内角

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

Sin2? ? 2Sin?Cos? Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? 2 t an? t an 2? ? 1 ? t an2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
2

Cos

?
2

tan

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

? 降幂扩角公式: Cos 2? ? 1 ? Cos 2?
Sin?Cos? ?

, Sin 2? ?

1 ? Cos 2? 2

1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 ? 积化和差公式: Cos?Sin? ? ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 Cos?Cos? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 1 Sin?Sin? ? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2 Sin? ?Cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2Cos? ? Sin? ? ? 和差化积公式: 2 ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? 2Cos? ?Cos? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? ?2 Sin? ? Sin? ? 2 ? ? 2

S ? S ? 2 SC

( S ? S ? 2CS
? ? ? ? ? ?
C ? C ? 2CC C ? C ? ?2 SS



7

Sin? ?

2 t an

?
2
2

1 ? t an

?
2

? 万能公式:

Cos? ?

1 ? t an

2

? ?
2 2

t an? ?

2 t an

?
2

1 ? t an

2

1 ? t an2

?
2

? 三倍角公式: Sin3? ? 3Sin? ? 4Sin ? Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?
3

t an3? ?

3 t an? ? t an3 ? 1 ? 3 t an2 ?

“三四立,四立三,中间横个小扁担” 补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

2.

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

?

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin(
3

?

? ? ) sin( ? ? ) . 3 3

?

b ). a

cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

4.三角形面积定理:(1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2

8


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