当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年温州中学奥赛数学评估二(必修四)试题卷、答题卷及参考答案


命题者 前进工作室
注:不得使用任何电子产品,检测范围:主要考察必修四

2016.6

奥赛班 数学能力评估二 试题卷
[ MATHEMATICS ] (本卷满分:150分 考试时间:120分钟) 第一部分(共2小题,每题15分,计30分) I.设实数 x1,x2,?,xn 满足-1≤ x1,x2,?,xn ≤1 且 ? xi3 ? 0 .
i ?1 n

求证: ? xi ?
i ?1

n

n .前进工作室 3

II.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是 AB 上两点,P,Q 分别是 ?OAC 与 ?OBD 的外心.证明:CP·CQ=DP·DQ.前进工作室

第 II 题

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 1 页 共 11 页

命题者 前进工作室 第二部分(共 3 大题,计 120 分)

一、单项选择题(共 6 小题,每题 6 分,计 36 分) . sinx - 1 ?0 ? x ? 2? ?的值域是 1. 函数 f ?x ? ? 3 - 2 cos x - 2sinx ? 2 ? , 0? A. ?? B. ?? 1, C. ? 2, 0? 0 ? 2 ? cos6 x 2. 函数 y ? x 的图像大致为 2 ? 2?x

( D. ? 3, 0 (

)

?

?

?

?
)

C. D. 1 i 3. 设函数 f1 ?x? ? x 2 , f 2 ?x? ? 2 x ? x 2 , f 3 ? x ? ? sin 2?x , ai ? , 3 99 i ? 0,1,2, ? ? ?, 99 ,记 I k ? f k ?a1 ? ? f k ?a0 ? ? f k ?a2 ? ? f k ?a1 ? ? ? ? ? ? f k ?a99 ? ? f k ?a98 ? ,

A.

B.

?

?

k ? 1,2, 3 .则

( B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

)

A. I1 ? I 2 ? I 3

4. ?ABC 内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延 长后分别交此圆于A1、B1、C1, 则 A B C AA ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 1 ? cos 2 2 2 sin A ? sin B ? sin C 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 5. 设函数 f (x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得a f (x)+b f (x-c)=1对任意实 b cos c 数x恒成立, 则 的值等于 ( ) a 1 1 A. ? B. C.?1 D. 1 2 2 6. 在一个10× 10的方格表中有一个由4n个1× 1的小方格组成的图形,它既可被n 个“ ”型的图形覆盖,也可被n个“ ”或“ ”型(可以旋转)的图 形覆盖. 则正整数n的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 二、填空题(共 8 小题,第 7~11 题每题 6 分,第 12~14 题每题 8 分,计 54 分) . ? ? ? 1? ,如果满足 a ? k a ? b ,则有 7. 设 k ? R ,对任意的向量 a , b 和实数 x ? ?0, ? ? ? ? a ? xb ? ? a ? b 成立,那么实数 ? 的最小值为 .前进工作室
奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 2 页 共 11 页

命题者 前进工作室 8. 已知函数 f ? x ? ?
b? sinx ? ?? ? sinx ? 在区间 ? 0, ? 上是减函数,若0<x≤1, a ? ? ? , x ? 2? ? x ?
2

sinx sinx 2 , c ? 2 ,则a,b,c的大小关系为 .前进工作室 x x 9. 设a、b为实数,满足对于任意实数x,都有: acos2 x ? b cos x ? 1,则a+b的最 大值为 .前进工作室 10. 设A、B为实数,记 M ? A,B ? 为函数 F ?x? ? cos2x ? sin 2x ? Ax ? B 在

? 3? ? . x ? ?0, ? 上的最大值.则A、B变化时, M ? A,B ? 的最小值为 ? 2? 11. M =cos 23° +cos 95° +cos 167° +cos 239° +cos 311° 的值为 . 12. 设函数 f ?x ? ? asinx ? b cos x?a,b ? Z? 满足 ?x f ?x? ? 0?? ?x f ? f ?x?? ? 0?,则a

的最大值为 .前进工作室 ? 13. 设 ai ? R ?i ? 1 , 2, ? ? ?,n?,?,?,? ? R ,且 ? ? ? ? ? ? 0 ,则对 ?x ? R ,

? ? 1 1 1 ? ?= ? ? ? (? ? ? ) x ?x ( ? ?? ) x ?x (? ?? ) x ?x ? ? 1 ? a ? a 1 ? a ? a ? ai i ?1 1 ? ai i i i i ? ? 14. O为 ?ABC 所在平面内一点,A,B,C为 ?ABC 的角,若
n



则点O为 ?ABC 的

sinA ? OA + sin B ? OB + sinC ? OC ? 0 , 心.前进工作室

三、解答题(本大题分 2 小题,共 30 分) . 2 15. (本题满分15分)已知函数 f ?x? ? a sin x ? b sin x ? c ,其中a、b、c∈R,甲 乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a、b、c(如果甲令b=1,乙令a=-2,甲 再令c=3)后,如果对于任意实数x, f ?x ? ? 0 ,那么甲得胜;如果存在实数x, f ?x ? ? 0 ,那么乙得胜.甲先选数,试问:他是否有必胜策略?前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 3 页 共 11 页

命题者 前进工作室 16. (本题满分15分)给定实数a,b,a>b>0,将长为a宽为b的矩形放入一个正方形 内(包含边界),问正方形的边至少为多长?前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 4 页 共 11 页

班级 姓名 考号 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 装订线 装订线 装订线

n n i ?1

求证: ? xi ? 第一部分(共2小题,每题15分,计30分)

i ?1

奥赛班 数学能力评估二 答题卷

n .前进工作室 3

I.设实数 x1,x2,?,xn 满足-1≤ x1,x2,?,xn ≤1 且 ? xi3 ? 0 .

[ MATHEMATICS Answer question volume] (满分:150 分 时间: 120 分钟)

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 5 页 共 11 页

命题者 前进工作室

命题者 前进工作室 II.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是 AB 上两点,P,Q 分别是 ?OAC 与 ?OBD 的外心.证明:CP·CQ=DP·DQ.

第 II 题

第二部分(共 3 大题,计 120 分) 一、单项选择题(共 6 小题,每题 6 分,计 36 分) .

题目 答案

1

2

3

4

5

6

二、填空题(共 8 小题,第 7~11 题每题 6 分,第 12~14 题每题 8 分,计 54 分) . 7、 9、 12、 10、 13、 8、 11、 14、
前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 6 页 共 11 页

命题者 前进工作室 三、解答题(本大题分 2 小题,共 30 分) . 15、(本题满分15分)已知函数 f ?x? ? a sin 2 x ? b sin x ? c ,其中a、b、c∈R, 甲乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a、b、c(如果甲令b=1,乙令a=-2,甲再 令c=3)后, 如果对于任意实数x,f ?x ? ? 0 , 那么甲得胜; 如果存在实数x,f ?x ? ? 0 , 那么乙得胜.甲先选数,试问:他是否有必胜策略?前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 7 页 共 11 页

命题者 前进工作室 16、(本题满分15分)给定实数a,b,a>b>0,将长为a宽为b的矩形放入一个 正方形内(包含边界),问正方形的边至少为多长?前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 8 页 共 11 页

命题者 前进工作室

奥赛班 数学能力评估二试卷 参考答案
[ MATHEMATICS Examination paper reference answer] (本卷满分: 150 分) 第一部分(共2小题,每题15分,计30分) I. 证明
n

设 xi ? sin ? i ?i ? 1 , 2, ? ? ?,n?,前进工作室
n

则 ? xi3 ? ? ? i3 ? 0 . ?????????????????????(5 分)
i ?1 i ?1

由三倍角公式: sin 3? ? 3 sin ? - 4 sin 3 ? ,前进工作室

? sin3? ? ? 3sin? - ? 4sin ?
3 i ?1 i i ?1 i i ?1

n

n

n

i

; ???????????????(10 分)

? ? sin? i ?
i ?1

n

1 n n ?????????????????(15 分) 3sin? i ? . ? 3 i ?1 3

II.

????(5 分)

???(10 分)

???(15 分)
奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 9 页 共 11 页

命题者 前进工作室 第二部分(共 3 大题,计 120 分) 一、单项选择题(共 6 小题,每题 6 分,计 36 分) . [ 1~6 ] B D B A C B

二、填空题(共 8 小题,第 题 每 题 分, 第 题每题 分 ,计 54 分) . .7~11 . . . . . . .6 . .. .12~14 . . . . . ...8 . . 7、
k ? 1? | k ? 1 | 2

8、 a < b ≤ c 10、 13、 n

9、 2 12、 3

2

11、 0 14、 内

三、解答题(本大题分 2 小题,共 30 分) . 15、(15 分)(可能有多种解法)前进工作室 解 ① 若 a、b、c 是非零实数,甲胜.甲先选 b=1,无论乙选 a 或 c,甲可 再选 c 或 a.使 1-4ac<0,从而方程 f ?x ? ? 0 无解.(5 分)前进工作室 ② 若 a、b、c 是任意实数,乙胜.甲先选 a 或 b,乙可选 c=0;(3 分) 甲选 c≠0,乙可选 a=-c.
? ? ? ?? ? f ? - ? ? f ? ? ? ?a ? b ? a ??a ? b ? a ? ? ?b 2 ? 0 ,(7 分)前进工作室 ? 2? ?2? ? ? ?? 因此在 ?- , ? 必有实根. ? 2 2?

(共 15 分)

16、(15 分)(可能有多种解法)前进工作室 解 设长方形为 ABCD,AB=a,BC=b,中心为 O.以 O 为原点,建立 直角坐标系,x 轴、y 轴分别与正方形的边平形.前进工作室 情形 1:线段 BC 与坐标轴不相交. 1 不妨设 BC 在第一象限内,∠BOX ≤ (90° -∠BOC) (图 1). 2 90? ? ?BOC 此时 正方形的边长≥BDcos∠BOX ≥ BD cos 2 1 1 =BD cos 45°cos ∠BOC+BD sin 45°sin ∠BOC 2 2 =
2 (a+b).前进工作室 2 2 (a+b).(6 分) 2

所以此时所在正方形边长至少为

奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 10 页 共 11 页

命题者 前进工作室

情形 2:线段 BC 与坐标轴相交.前进工作室
1 ∠COB (图 1). 2 ?COB 此时 正方形的边长 ≥ AC cos∠COX ≥ AC cos = a. 2 所以,此时所在正方形边长至少为 a.(6 分) 比较情形 1,2 中结论知:

不妨设 BC 与 x 轴相交,不妨设∠COX ≤

若a? 若a ?

?

2 ? 1 b ,则正方形的边长至少为 a.前进工作室
2 ? 1 b ,则正方形的边长至少为

?

?

?

2 ?a ? b ? .(3 分) 2

(共 15 分) 附第 5 题解析: 解 令 c=π,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x?c)=2,于是取 a ? b ?
1 ,c=π, 2

b cos c ? ?1 .前进工作室 a 一般地,由题设可得 f ( x) ? 13 sin(x ? ? ) ? 1, f ( x ? c) ? 13 sin(x ? ? ? c) ?1, π 2 其中 0 ? ? ? 且 tan ? ? ,于是 af(x)+bf(x?c)=1 可化为 2 3 13a sin(x ? ?) ? 13b sin(x ? ? ? c) ? a ? b ? 1 ,前进工作室

则对任意的 x∈R,af(x)+bf(x?c)=1,由此得

即 13a sin(x ? ? ) ? 13b sin(x ? ? ) cosc ? 13b sin c cos(x ? ? ) ? (a ? b ?1) ? 0 , 所以 13(a ? b cosc) sin(x ? ? ) ? 13b sin c cos(x ? ? ) ? (a ? b ?1) ? 0 . ?a ? b cosc ? 0 (1) ? ( 2) , 由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有 ? b sin c ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0 (3) ? 若 b=0,则由(1)知 a=0,显然不满足(3)式,故 b≠0. 所以,由(2)知 sinc=0,故 c=2kπ+π 或 c=2kπ(k∈Z).当 c=2kπ 时,cosc=1, 1 则(1)、(3)两式矛盾.故 c=2kπ+π(k∈Z),cosc=?1.由(1)、(3)知 a ? b ? , 2 b cos c ? ?1 .前进工作室 所以, a
奥赛班 数学能力评估二试题卷 第 11 页 共 11 页


赞助商链接
相关文章:
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷及参考答案(二)
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷及参考答案(二)_学科竞赛_初中教育_教育专区...二、简答题(本大题分 10 小题,每空 6 分,共 60 分) 6、 4 9、 7 ...
2017届浙江省温州中学高三2月奥赛班数学模拟评估试题卷
2017年2月 温州中学奥赛班模拟 数学评估试题 < 答题卷 > 制备人:前进者 2017 年温州中学奥赛班数学模拟评估(参考答案) 4页 [ MATHEMATICS Examination paper ...
2017年温州中学奥数班数学综合评估试卷及参考详答
2017年 奥数班综合性评估 数学试卷 < 答题卷 > ...年温州中学奥数班综合性评估 参考答案及解析一、填空...?3, 4 考点:复数 { 答案:2 } 提示(如下) 5...
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷及参考答案_图文
2016年温州中学自主招生数学模拟试卷及参考答案_学科...[ 1~5 ] C C B D C 二、简答题(本大题分...
修订解析版2016年温州中学自主招生科学模拟试卷、答题...
修订解析版2016年温州中学自主招生科学模拟试卷、答题卷及参考答案(二)_学科竞赛_初中教育_教育专区。尖子生训练 2016 年温州中学自主招生模拟科学试卷 命题者:前进...
2016年温州中学自主招生科学模拟试卷、答题卷及参考答...
2016年温州中学自主招生科学模拟试卷、答题卷及参考答案(三)_学科竞赛_初中教育_教育专区。专 2016 年温州中学自主招生模拟科学试卷 命题者:前进工作室 2016 年温州...
2016年广东省初中毕业生学业考试数学模拟试卷(一)试题...
2016年广东省初中毕业生学业考试数学模拟试卷(一)试题答题卡、参考答案及解析_数学_初中教育_教育专区。机密★启用前 2016 年广东省初中毕业生学业考试模拟考试(...
2015-2016学年度第二学期高一数学必修四第一章三角函数...
2015-2016学年度第二学期高一数学必修四第一章三角函数测试题及答案(一)_数学_...黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上...
2017年温州中学奥赛班数学模拟评估
19. 2017年2月 温州中学奥赛班模拟 数学评估试题 < 答题卷 > 制备人:前进者...年温州中学奥赛班数学模拟评估(参考答案) [ MATHEMATICS Examination paper ...
2016年益阳市中考数学试卷及参考答案
2016年益阳市中考数学试卷及参考答案_中考_初中教育_教育专区。2016年益阳市中考...按答题卡上的注意事项在答题卡上作答,答在试题卷上无效; 4.本学科为闭卷...
更多相关标签: