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必修三互斥对立事件


互斥对立事件 知识点(1) A ? B :事件 A, B 至少有一个发生,A 或 B 发生. (2) A ? B :事件 A, B 同时发生. (3)互斥事件: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . (4)对立事件: P( A) ? P( A) ? 1. 与集合的相互联系. 例 1.投掷一个骰子 A:向上点数为奇数.

例 2.(1)从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件 是 ( ) A.至少有 1 个白球;都是白球 B.至少有 1 个白球;至少有一个红球 C.恰有一个白球;恰有 2 个白球 D.至少有一个白球;都是红球 (2)如果事件 A、B 互斥,那么 ( ) A.A+B 是必然事件 C. A 与 B 一定互斥 B. A ? B 是必然事件 D. A 与 B 一定不互斥

(3)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩 具)先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( ) 5 A. 216 25 B. 216 31 C. 216 91 D. 216

(4)某家庭在家中有人时,电话响第 1 声时被接到的概率为 0.1,响第 2 声被接的概率为 0.3,响第 3 声时被接的概率为 0.4,响第 4 声时被接的概率为 0.1,那么电话在响前 4 声内没有被接到的概率为 . (5)甲、乙两人进行击剑比赛,甲获用的概率是 0.41,两人战平的概率是 0.27,那甲不输 的概率 ;甲不获胜的概率为 。 例 3. 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得。第 1000 张奖券为一个开 奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个。设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A) ,P(B) ,P(C) ; (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。 例 4. 在 1,2,3,4,5 条线路汽车经过的车站上,有位乘客等候着 1,3,4 路车的到来。 假如汽车经过该站的次数平均来说 2,3,4,5 路车是相等的,而 1 路车是其他各路车次数 的总和。试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率。 例 5.现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1 , A2 , A3 通晓英语, B1 , B2 , B3 通晓俄语, C1 , C2 通晓德语.从中各选出一名通晓英语,俄语,德语的志愿者各 1 名,组成一个小组.

(1)求 A 1 被选中的概率; (2)求 B1 , C1 被选中的概率; (3)求 B1 , C1 不全被选中的概率; (4)求 B1 , C1 全不被选中的概率; 例 6. 历史上有这样一个著名的概率问题:A,B 两人做游戏,掷一枚钱币,若正面出现则 A 得 1 分,反面出现则 B 得 1 分,先得 10 者胜,胜者获得全部赌金。现在 A 已得 8 分,B 已 得 7 分,而游戏因故中断,问赌金应如何分配才合理? 析:不妨考虑甲胜的情形。 掷两次甲胜,则概率 P1= ?

1 1 1 ? ; 2 2 4

1 1 1 1 ? ; 2 2 2 4 1 3 掷四次甲胜,则前三次中甲只胜了一次,最后一次甲胜,P3= 3 ? ( )4 ? 。 2 16 1 1 3 11 注意到以上事件两两互斥,故甲胜的概率为 ? ? ? 。 4 4 16 16 11 5 由于甲胜与乙胜的事件互为对立,故乙胜的概率为 1 ? ? 。 16 16
掷三次甲胜,则前两次必是一胜一负,最后一次甲胜,概率 P2= 2 ? ? ? 故赌金的分配应是 11∶5(甲∶乙)比较合理。 思考:甲、乙两选手在同样条件下击中目标的概率分别为 0.4 与 0.5(这里击中与否互不影 响对方) ,则命题: “至少有一人击中目标的概率为 P=0.4+0.5=0.9”正确吗?为什么?(这 里只需要能回答为什么即可,而不需要指出概率的大小) 练习 1. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上 抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数 不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则 ( ) A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 2. 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

1 1 5 ,乙获胜的概率是 ,则 是 ( 2 3 6



A.乙胜的概率 B.乙不输的概率 C.甲胜的概率 D.甲不输的概率 3. 如果 A、B 是互斥事件,则下列式子中正确的是 ( ) A.P(A+B)=P(A)·P(B) B.P(A+B)=P(A)+P(B) C.P(AB)=P(A)·P(B) D.P(A)+P(B)=1 4. 某人在打靶中,连续射击 3 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_________,该 互斥事件是对立事件吗?答: . (填“是”或“不是” ) 5. 设 A、B 为互斥事件,且 P(A)=0.1,P(B)=0.8,并记“AB”表示事件 A、B 同时发生, 则 P( A ? B )= ,P(AB)= .

6. 某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布如下表:
分数段 人数 [0,80) 2 [80,90) 5 [90,100) 6 [100,110) 8 [110,120) 12 [120,130) 6 [130,140) 4

则分数不满 110 分的概率为 。 7. 把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 ?ax ? by ? 3 数为 b,试就方程组 ? 解答下列问题: ?x ? 2 y ? 2 (1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正整数解的概率.


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