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上海市徐汇、金山、松江区2016届高三第二学期学习能力诊断考试 数学文-100教育


2015 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学
一.

文科试卷

2016.4

填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分)
2

1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是_____________. 2.若集合 A ? x 3x ? 1 ? 0 , B ? x x ?

1 ? 2 ,则 A

?

?

?

?

B =_______________.

3.若 d ? ? 3, 2 ? 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小为________________(结果用反三角 函数值表示) . 4.若复数 z 满足

1? i ? ?i, 其中 i 为虚数单位,则 z ? ________________. z

3 2 5.求值: 3 arctan 3 arcsin

2
=________________弧度.

3

6.已知 AB ? 3AP ,设 BP ? ? PA ,则实数 ? =__________________. 7.函数 y ?

x2 ? 2 ?
7

1 x ?2
2

的最小值=__________________.

1? ? 8.试写出 ? x ? ? 展开式中系数最大的项________________. x? ? 9.已知三个球的表面积之比是 1 : 2 : 3 ,则这三个球的体积之比为________________.

?x ? y ? 2 ? 3 10.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? ? x ? y 的最大值为 2 ?0 ? y ? 3 ?
a n ? 2bn 11.若不等式 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为 ? a, b ? ,则 lim n =_________. n ?? 3a ? 4bn
2



12. 从集合 A ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10? 中任取两个数, 欲使取到的一个数大于 k , 另一个数小于 k(其 中 k ? A) 的概率是 , 则 k ? __________________.

2 5

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13.有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清,具体如下: “在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c. 已知 a ? 3, B ? 450 , ______________, 求角 A . ” 经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示 A ? 600 , 试将条件补充完整.

?log 1 ( x ? 1), x ? ? 0,1? , ? 2 14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ), 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ? ,
则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为________________(结果用 a 表示) .

二.

选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分)
2

15.已知非零向量 a 、 b , “函数 f ( x) ? (ax ? b) 为偶函数”是“ a ? b ”的- - - - - - - ( (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件



16.如图所示的几何体的左视图是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (



?
(A) 17.函数 y= ? (B) (C) (D) )

?2 x, x ? 0, 的反函数是------------------------------------------------------------------( 2 ?? x , x ? 0

?x ?x ? ? ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ,x ?0 ? ,x ?0 (A) y ? ? 2 (B) y ? ? 2 (C) y ? ? (D) y ? ? ? ? ?? ? x , x ? 0 ? ?x, x ? 0 ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?
18.设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 ? mx ? m 2 ? m ? 0 的两个不相等的实数根,那么过两点 A( x1 , x1 ) 、
2 B( x2 , x2 ) 的直线与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 的位置关系是- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (
2 2

2

)

(A)相离

(B)相切

(C)相交

(D)随 m 的变化而变化

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三.

解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分)

19. (本题满分 12 分)
0 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,且异面直线 A1 B 与 C1C 所成的角等

于 45 ,设 AA1 ? a .求 a 的值和三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积.
0

A1 B1

C1

A B
20. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x .
2

C

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 图像向右平移

? 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求方程 g ( x ) ? 1 的解. 4

21. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x ) ? 6 的解集为 ? ?1,3? ,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在 x0 ? R, 使 f ( x0 ) ? t ? f (? x0 ) ,求 t 的取值范围.

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22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 8 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ?1,0 ? ,且点 P (1, ) 在椭圆 C 上. 2 a b
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当点 P ( x, y ) 在椭圆 C 的图像上运动时,点 Q ? 1 程,并指出该曲线是什么图形; ( 3 )过椭圆 C1 :

? 3x 2 y ? ? 3 , 3 ? ? 在曲线 S 上运动,求曲线 S 的轨迹方 ? ?

x2 y2 ? ? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 作曲线 S 的两条切线,切点分别为 a 2 b2 ? 5 3
1 1 ? 2 是否 2 3m n

M , N ( M , N 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 m, n, 试问:
为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 7 分) 按 照 如 下 规 则 构 造 数 表 : 第 一 行 是 : 2 ; 第 二 行 是 : 2 ? 1,

2 ? 3 ;即 3,5,第三行是:

3 ? 1, 3 ? 3, 5 ? 1, 5 ? 3

即 4,6,6,8; (即从第二行起将上一行的数的每一项各项加 1 写出,

再各项加 3 写出) 2 3,5 4,6,6,8 5,7,7,9,7,9,9,11 …………………………………… 若第 n 行所有的项的和为 an . (1)求 a3 , a4 , a5 ; (2)试求 an ?1 与 an 的递推关系,并据此求出数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 Sn ?

a3 a ? 4 ? a1a2 a2 a3

an ? 2 n ? N * ? ,求 S n 和 lim S n 的值. ? n ?? an an ?1

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2015 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科(文科)参考答案及评分标准
2016.4 三. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. (1,0) 2. ? ? ,3 ?

? 1 ? 3

? ?
35 x

3. arctan

2 3

4. 1 ? i

5.

2? 3

6.2

7.

3 2 2
1 2

8.

9. 1: 2 2 : 3 3

10. ?

3 2

11.

12.4 或 7

13. c ?

6? 2 2

14. 1 ? 2

a

二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.C 16.B 17.B 18.C

A1 B1

四. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)

C1

? ?BA1 A 就是异面直线 A1 B 与 CC1 所成的角,
即 ?BA1 A ? 45 ,
0

【解答】? CC1 // AA1 ,

? AA1 ? 1? a ? 1 --------------4 分
B

A

C

连接 B1C , A1C

则三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积等于三棱锥 C ? A1 B1 B 的体积, VB1 ? A1BC ? VC ? A1B1B --------8 分

?A1 B1 B 的面积 S ?
所以 VC ? A1B1B

1 , 又 CA ? A1 A, CA ? AB,? CA ? 平面 A1 B1 B , 2 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ,所以 VB ? A BC ? .-------------------------------------------(12分) 6 3 2 6
1 1

另解:由于顶点 B1 到平面 A1 BC 的距离与顶点 A 到平面 A1 BC 的距离相等 所以 VB1 ? A1BC ? VA? A1BC ?

1 1 1 ? ? 1? 1? 1 ? . 3 2 6

20. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 【解答】 (1) f ( x) ?

2 sin( 2 x ?

?
4

) ? 1 , --------------3 分

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由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 得:

3? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) ;--6 分 f ( x ) 的单调递增区间是 ?k? ? 8 8? ?
(2)由已知, g ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1, -------------10 分 4? ?
? ?

由 g ( x) ? 1 ,得 2 sin ? 2 x ?

?? ? ? 0, 4?

?x ?

k? ? ? , (k ? Z ) . -----------------------14 分 2 8

21. (本题满分 16 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 【解答】 (1) f ( x) ? 2 x ? a ? a ? 6, 即 2 x ? a ? 6 ? a.

?a ? 6, ?6 ? a ? 0, 即? -----------------------------------------3 分 ?? ??6 ? a ? 2 x ? a ? 6 ? a, ?a ? 3 ? x ? 3,

?a ? 6, ? ? ?a ? 3 ? ?1,即a ? 2. ----------------------------------------------------------------------6 分 ?3 ? 3, ?
(2) a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2. 若存在 x0 ? R, 使 f ( x0 ) ? t ? f (? x0 ), 即 t ? f ( x0 ) ? f (? x0 ), ---------------------8 分 则 t ? ? f ( x) ? f (? x)?min . -----------------------------------------------------------------10 分

f ( x) ? f (? x) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 4 ? (2 x ? 2) ? (2 x ? 2) ? 4 ? 8,
当 x ? ? ?1,1? 时等号成立? t ? 8, 即 t ? ?8, ?? ? . ----------------------------------------14 分 22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 8 分) 【解答】 (1)由题意得, c ? 1. 所以 a ? b ? 1,
2 2

又点 P (1, ) 在椭圆 C 上,所以

3 2

1 9 ? 2 ? 1, 解得 a 2 ? 4, b2 ? 3, 2 a 4b

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. ----------------------------------------3 分 4 3
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? x? ? ? ? (2)设 Q ? x?, y?? ,则 ? ? y? ? ? ?

3x ? x ? 3 x? 3 ,于是 ? ? 3 ,--------------------5 分 2y y ? y? ? ? 2 3

由于点 P ( x, y ) 在椭圆 C 的图像上, 1

所以

x2 y 2 ? ? 1. 即 4 3
2 2

?

3x? 4

?

2

? 3 ?? ? y? 2 ? ?? ? 1. 3

2

4 ,--------------------------------------------------------------7 分 3 4 2 2 所以曲线 S 的轨迹方程为 x ? y ? 3
整理得 x? ? y ? ? 曲线 S 的图形是一个以坐标原点为圆心,

2 3 为半径的圆。-------------8 分 3

(3)由(1)知, C1 :

x2 3 y 2 ? ? 1, 设点 Q( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ), 4 4
4 , 3
① ②-------------------------------------10 分

则直线 QM 的方程为 x2 x ? y2 y ? 直线 QN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 , 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? ? 3 把点 Q 的坐标代入①②得 ? , ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? 所以 x1 ?

4 , -----------------------------------------13 分 3

4 4 , 令 x ? 0, 得 n ? , 3 x1 3 y1

4 4 , y1 ? , 又点 Q 在椭圆 C1 上, 3m 3n 4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4, 即 2 ? 2 ? , 为定值.--------------------------16 分 所以 ( 3m 3n 3m n 4

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23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 7 分) 【解答】 (1) a3 ? 24, a4 ? 64, -------------------------------------------------2分

a5 ? 160 .---------------------------------------------------------------------------4 分
(2)由题意,第 n 行共有 2n ?1 项, 于是有 an ?1 ? an ? 2

?

n ?1

? ? ?a

n

? 3 ? 2n ?1 ? ? 2an ? 2n ?1 ---------------------8 分

等式两边同除 2n?1 ,得 即?

an ?1 an ? ? 1, 2n ?1 2n

a ? an ? 为等差数列,公差为 1 ,首项为 1 ? 1 n ? 2 ?2 ?
an ? n ,即 an ? n ? 2n ? n ? N * ? .----------------------------------------11 分 2n

所以

? 1 ? k ? 2 ? ? 2k ? 2 ? ak ? 2 1 ? ? 4 ? (3)因为 ? ? k ? 2k ? k ? 1? ? 2k ?1 ? ? ak ak ?1 k ? 2k ? ? k ? 1? ? 2k ?1 ? ?

? k ? 1, 2,3,..., n ? ----------------------------------------------------------------------14 分
所以

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? S n ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? 1 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
以 Sn ? 4 ? ?

? 1 ?? 1 ?? ? n n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ?? 所 ? ?? ?

?1

?2

? 1 1 ? 2? ? n ? N * ? ,---------------16 分 n ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n?1

lim S n ? 2 .---------------------------------------------------------------------------18 分
n ??

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