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1961年第三届IMO试题(不含答案)


第三届(1961 年) 匈牙利 维斯普雷姆(Veszpré m,Hungary)
1. 设 a,b 为常数,解方程组
? x? y?z ?a ? 2 2 2 2 ? x ? y ? z ? b ,并给出 a 和 b 满足什么条件时才能使 x、y、z 为互不相同的 ? xy ? z 2 ?

正数。 (匈牙利) 2. 设 a、b、c 为三角形

的三条边,其面积为 S。证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 3S 并说明何 时取等号。 (波兰) 3. 解方程 cosn x ? sin n x ? 1 ,n 是自然数。 (保加利亚) 4. 设 P 是三角形 P1P2P3 内一点。直线 P1P,P2P,P3P 分别与其对边相交于 Q1, Q2,Q3。证明数字 (民主德国) 5. 作三角形 ABC 满足 AC=b,AB=c,且∠AMB=ω,其中 M 是线段 BC 的中点 且 ω<90° 。证明:当且仅当 b tan 立。 (捷克斯洛伐克) 6. 三个不共线的点 A、 B、 C 在平面 ε 的同一侧; 假设平面 ABC 不与平面 ε 平行。 在平面 ε 上任取三个点 A’、B’、C’。设 L、M、N 分别为线段 AA’,BB’,CC’的 中点,G 为三角形 LMN 的重心(不考虑使 L、M、N 不能构成三角形的情况) 。 问:当 A’、B’、C’各自变化时,G 的轨迹是什么?(罗马尼亚)
P PP PP 1P , 2 , 3 至少有一个不大于 2,也至少有一个不小于 2。 PQ1 PQ2 PQ3

?
2

? c ? b 时可作出此三角形,并说明何时等号成


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