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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性课件 理


§3.2 导数的应用

课时1 导数与函数的单调性

内容 索引

题型一 不含参数的函数的单调性 题型二 含参数的函数的单调性 题型三 利用函数单调性求参数 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分

题型一 不含参数的函数的单调性

题型一

不含参数的函数的单调性

ln x 例1 求函数 f(x)= 的单调区间. x
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞).

1-ln x ln x 因为 f(x)= ,所以 f′(x)= . 2 x x
当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增; 当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,+∞).
思维升华 解析答案

跟踪训练1
1 2 (0,1] 函数 y=2x -ln x 的单调递减区间为_______.
解析
2 x -1 ?x-1??x+1? 1 2 1 y=2x -ln x,y′=x-x= x = (x>0). x

令y′≤0,得0<x≤1,
∴递减区间为(0,1].

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题型二 含参数的函数的单调性

题型二

含参数的函数的单调性

例2 已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; 解 函数f(x)的定义域为R.
ex 由已知得 f′(x)= x -a. e +1 ∵函数y=f(x)的导函数是奇函数,

∴f′(-x)=-f′(x),

ex 1 即 -x -a=- x +a,解得 a=2. e +1 e +1 e
解析答案

-x

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性.

解析答案

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题型三 利用函数单调性求参数

题型三

利用函数单调性求参数
1 3 a 2 设函数 f(x)=3x -2x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切

例3

线方程为 y=1. (1)求 b,c 的值;
解 f′(x)=x2-ax+b,
? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ? ? ?f′?0?=0, ?b=0.

解析答案

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间; 解 由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0; 当x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).

解析答案

(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间, 求实数a的取值范围. 解 g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1), 使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 2 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+x)max=-2 2, 2 当且仅当 x=x即 x=- 2时等号成立.
所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2).
解析答案

引申探究
在本例3(3)中, 1.若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解?

解析答案

2.若g(x)的单调减区间为(-2,-1),求a的值. 解 ∵g(x)的单调减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即a=-3.

解析答案

3.若g(x)在(-2,-1)上不单调,求a的取值范围. 解 由引申探究1知g(x)在(-2,-1)上为减函数,a的范围是(-∞,-3], 若g(x)在(-2,-1)上为增函数,

2 可知 a≥x+ 在(-2,-1)上恒成立, x 2 又 y=x+x 的值域为(-3,-2 2 ],
∴a 的范围是[-2 2,+∞),

∴函数 g(x)在(-2, -1)上单调时, a 的取值范围是(-∞, -3]∪[-2 2, +∞),

故 g(x)在(-2,-1)上不单调,实数 a 的取值范围是(-3,-2 2).
思维升华 解析答案

跟踪训练3
已知函数 f(x)=exln x-aex(a∈R). 1 (1)若 f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线 y= x+1 垂直, 求 a 的值; e

1 1 x x 解 f′(x)=e ln x+e · - a e = ( - a + ln x )e , x x 1 f′(1)=(1-a)e,由(1-a)e· e=-1,得 a=2.
x x

解析答案

(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

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思想与方法系列

思想与方法系列 5.分类讨论思想研究函数的单调性

典例

(14分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函数g(x)

的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系; (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.

思维点拨 依据g(x)的切线条件可得g′(1)=0得a,b关系,代g(x)后
消去b,对a进行分类讨论确定g′(x)的符号.

温馨提醒

思维点拨

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区

间,并注意定义域.
2.含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单

调性.
3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转

化为恒成立问题两种思路解决.

失误与防范

1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内 否则漏解. b)”的区别. 3.讨论函数单调性要在定义域内进行,不要忽略函数的间断点.

的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,

2.注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,

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(2,+∞) 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是_________. 解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex =(x-2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系, 得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增, 此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.

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2. 若函数 f(x) = 2x3 - 3mx2 + 6x 在区间 (2 ,+ ∞) 上为增函数, 5 (-∞, ] 则实数m的取值范围为__________. 2 解析 ∵f′(x)=6x2-6mx+6, 当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立, 1 2 即x -mx+1≥0恒成立, ∴m≤x+ 恒成立. x 1 1 令 g(x)=x+ ,g′(x)=1- 2, x x ∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增, 1 5 ∴m≤2+2=2.
解析答案

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3.设函数 f(x)=x-2sin x

围是_____________________.

? π π? ? ? ?2kπ- ,2kπ- ?,k∈Z 3 6? ?

? ? π ? t , t + 是区间? ? ?上的减函数,则实数 2 ? ?

t 的取值范

解析 由题意得f′(x)=1-2cos x≤0,
1 π π 即 cos x≥2,解得 2kπ-3≤x≤2kπ+3 (k∈Z), ? π? ? ∵f(x)=x-2sin x 是区间?t,t+2? ?上的减函数, ? ? ? ? π? π π? ? ? ? ? t , t + 2 k π - , 2 k π + ∴? ??? ?, 2 3 3 ? ? ? ? π π ∴2kπ-3≤t≤2kπ-6 (k∈Z).
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4.定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若x1<x2, 则e x1 f ? x2 ? 与
x1 x2 e f x ? e f ? x1 ? ? ? e f ? x1 ? 的大小关系为________________. 2

x2

解析

f?x? 设 g(x)= ex ,

f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? 则 g′(x)= = , x x 2 e ?e ? 由题意g′(x)>0,所以g(x)单调递增,
当x1<x2时,g(x1)<g(x2), f ( x1 ) f ( x2 ) 即 x ? x , 所以 e x1 f ? x2 ? ? e x2 f ? x1 ? . e1 e2
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5.函数 f(x)在定义域 R 内可导, 若 f(x)=f(2-x), 且当 x∈(-∞, 1)时, (x-1)f′(x)<0, 1 c<a<b 设 a=f(0),b=f( ),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为_______. 2
解析 依题意得,当x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;

1 又 f(3)=f(-1),且-1<0<2<1, 1 因此有 f(-1)<f(0)<f(2), 1 即有 f(3)<f(0)<f(2),c<a<b.
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(0,1) 6.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为______.

解析 函数的定义域是(0,+∞),

1 x-1 且 f′(x)=1- = , x x 令f′(x)<0,解得0<x<1,
所以单调递减区间是(0,1).

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7.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数, 则a的取值范围是________.

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3x 8.已知函数 f(x)= -2x2+ln x(a>0).若函数 f(x)在[1,2] 上为单调函数, a 则 a 的取值范围是________.

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x a 3 9.已知函数 f(x)=4+x -ln x-2,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 1 处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值;



1 a 1 对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x,

1 3 由 f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 f′(1)=- -a=-2, 2 4 5 解得 a=4.
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(2)求函数f(x)的单调区间. 2 x -4x-5 x 5 3 解 由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2,则 f′(x)= 4x2 . 令f′(x)=0,解得x=-1或x=5. 因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.

当x∈(0,5)时,f′(x)<0,
故f(x)在(0,5)内为减函数;

当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(5,+∞)内为增函数.

综上,f(x)的单调增区间为(5,+∞),单调减区间为(0,5).
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1 10.已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax+b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式;
1 解 由已知得 f′(x)=x , 1 ∴f′(1)=1=2a,a=2. 1 又∵g(1)=0=2a+b,∴b=-1,

∴g(x)=x-1.

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m?x-1? (2)若 φ(x)= -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数 m 的取值范围. x+1
解 m?x-1? m?x-1? ∵φ(x)= -f(x)= -ln x 在[1,+∞)上是减函数. x+1 x+1
2

-x +?2m-2?x-1 ∴φ′(x)= ≤0 在[1,+∞)上恒成立. 2 x?x+1?

即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,

1 1 则 2m-2≤x+x ,x∈[1,+∞), ∵x+ ∈[2,+∞), x
∴2m-2≤2,m≤2.故实数m的取值范围是(-∞,2].
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1 2 11.设函数 f(x)= x -9ln x 在区间[ a-1,a+1] 上单调递减,则实数 a 的 2 1<a≤2 取值范围是_______.

1 2 解析 ∵f(x)=2x -9ln x, 9 ∴f′(x)=x-x(x>0), 9 当 x- ≤0 时,有 0<x≤3, x
即在(0,3]上原函数是减函数, ∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.
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12.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则下列关
系正确的是________.

①f(1)<ef(0),f(2 016)>e2 016f(0);
②f(1)>ef(0),f(2 016)>e2 016f(0);

③f(1)>ef(0),f(2 016)<e2 016f(0);
④f(1)<ef(0),f(2 016)<e2 016f(0).

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1 3 1 2 2 13.若函数 f(x)=- x + x +2ax 在[ ,+∞)上存在单调递增区 3 2 1 3 (- ,+∞) 间,则 a 的取值范围是_____________. 9
解析 对f(x)求导,
2

12 1 得 f′(x)=-x +x+2a=-(x-2) +4+2a. 2 2 2 当 x∈[3,+∞)时,f′(x)的最大值为 f′(3)=9+2a. 2 1 令9+2a>0,解得 a>-9. 1 所以 a 的取值范围是(-9,+∞).
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1 2 14.已知函数 f(x)=- x +4x-3ln x 在区间[ t,t+1] 上不单调,则 t 的 2 (0,1)∪(2,3) 取值范围是_____________.
解析 ?x-1??x-3? 3 由题意知 f′(x)=-x+4- =- , x x

由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1和3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内, 函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调, 由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.
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15.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;

a?1-x? 解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= , x 当a>0时,f(x)的增区间为(0,1),
减区间为(1,+∞);

当a<0时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1);
当a=0时,f(x)不是单调函数.

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(2)若函数 y=f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线的倾斜角为 45° , 对于任 m 意的 t∈[1,2] ,函数 g(x)=x +x · [f′(x)+ 2 ]在区间(t,3)上总不是单调
3 2

函数,求 m 的取值范围.

解析答案

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