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2012高考数学理专题突破课件第二部分第四讲


第二部分 应试高分策略

第二部分 应试高分策略

第四讲 解答题的解法

高考题型概述

在高考数学试题中, 在高考数学试题中 , 解答题的题量虽然比不上 选择题, 但是其占分的比重最大, 选择题 , 但是其占分的比重最大 , 足见它在试 卷中地位之重要. 卷中地位之重要 . 解答题也就是通常所说的主 观性试题, 这种题型内涵丰富, 观性试题 , 这种题型内涵丰富 , 包含的试题模 式灵活多变. 其基本构架是: 式灵活多变 . 其基本构架是 : 先给出一定的题 即已知条件), 设 (即已知条件 , 然后提出一定的要求 即要达 即已知条件 然后提出一定的要求(即要达 到的目标),再让考生解答,而且“题设” 到的目标 , 再让考生解答 , 而且 “ 题设 ” 和 “ 要求”的模式多种多样. 要求”的模式多种多样.

考生解答时,应把已知条件作为出发点, 考生解答时,应把已知条件作为出发点,运用 有关的数学知识和方法,进行推理、 有关的数学知识和方法,进行推理、演绎或计 算,最后达到所要求的目标,同时要将整个解 最后达到所要求的目标, 答过程的主要步骤和过程,有条理、合逻辑、 答过程的主要步骤和过程,有条理、合逻辑、 完整地陈述清楚. 完整地陈述清楚.

1.新课程高考解答题的新特点 . (1)从近几年看 , 解答题的出处较稳定, 一般为 从近几年看, 解答题的出处较稳定 , 从近几年看 数列、三角函数(包括解三角形 概率、 包括解三角形)、 数列、三角函数 包括解三角形 、概率、立体几 与向量整合)、 何(与向量整合 、函数与导数及不等式、解析几 与向量整合 函数与导数及不等式、 何等. 何等. (2)解法灵活多样,入口宽,得部分分易,得满 解法灵活多样,入口宽,得部分分易, 解法灵活多样 分难,几乎每题都有坡度,层层设关卡, 分难,几乎每题都有坡度,层层设关卡,能较 好地区分考生的能力层次. 好地区分考生的能力层次.

(3)侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学 侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学 应用的融合, 如函数与导数、 数列结合, 应用的融合 , 如函数与导数 、 数列结合 , 向量 与解析几何内容的结合等. 与解析几何内容的结合等. (4)运算与推理互相渗透,推理证明与计算紧密 运算与推理互相渗透, 运算与推理互相渗透 结合,运算能力强弱对解题的成败有很大影 结合, 响.在考查逻辑推理能力时,常常与运算能力 在考查逻辑推理能力时, 结合考查,推导与证明问题的结论, 结合考查,推导与证明问题的结论,往往要通 过具体的运算;在计算题中, 过具体的运算;在计算题中,也较多地掺进了 逻辑推理的成分,边推理边计算. 逻辑推理的成分,边推理边计算.

(5)注重探究能力和创新能力的考查 . 探索性试 注重探究能力和创新能力的考查. 注重探究能力和创新能力的考查

题是考查探究和创新能力的好素材, 题是考查探究和创新能力的好素材 , 因此在试

卷中占有重要的作用; 卷中占有重要的作用 ; 同时加强了对应用性问

题的考查. 题的考查.

2.高考数学解答题的基本题型 . 我们认真分析近几年各省市高考数学试题, 我们认真分析近几年各省市高考数学试题,虽 略有差别, 略有差别,但总体上高考五至六个解答题的模 式基本不变,分别为三角函数、平面向量型解 式基本不变,分别为三角函数、 答题,立体几何型解答题,排列组合、 答题,立体几何型解答题,排列组合、二项式 定理及概率型解答题,函数与不等式型解答题, 定理及概率型解答题,函数与不等式型解答题, 解析几何型解答题,数列型解答题. 解析几何型解答题,数列型解答题.这是高考 数学的重头戏,这部分内容包含的知识容量大、 数学的重头戏,这部分内容包含的知识容量大、 解题方法多、综合能力要求高,它们突出了中 解题方法多、综合能力要求高, 学数学的主要思想和方法, 学数学的主要思想和方法,考查了考生的创新 能力和创新意识. 能力和创新意识.

3.高考数学解答题的答题策略 . (1)审题要慢 , 解答要快. 审题是整个解题过程 审题要慢, 解答要快 . 审题要慢 基础工程” 题目本身是“ 怎样解题” 的 “ 基础工程 ” 题目本身是 “ 怎样解题 ” 的信 息源, 必须充分搞清题意, 综合所有条件, 息源 , 必须充分搞清题意 , 综合所有条件 , 提 炼全部线索,形成整体认识. 炼全部线索,形成整体认识. (2)确保运算准确,立足一次成功. 确保运算准确,立足一次成功. 确保运算准确

(3)讲究书写规范 , 力争既对又全 . 这就要求考 讲究书写规范, 力争既对又全. 讲究书写规范 生在面对试题时不但会而且要对, 对而且全, 生在面对试题时不但会而且要对 , 对而且全 , 全而规范. 全而规范. (4)面对难题,讲究策略,争取得分.会做的题 面对难题,讲究策略,争取得分. 面对难题 目当然要力求做对、做全、得满分,而对于不 目当然要力求做对、做全、得满分, 能全部完成的题目应:①缺步解答;②跳步解 能全部完成的题目应: 缺步解答; 解题过程卡在其一中间环节上时, 答.解题过程卡在其一中间环节上时,可以承 接中间结论,往下推, 接中间结论,往下推,或直接利用前面的结论 做下面的(2)、 问 做下面的 、(3)问.

解题方法例析

平面向量与三角函数(正、余弦 平面向量与三角函数 正 定理) 定理
这是综合考查知识点, 这是综合考查知识点, 特别是向量与三角函数 的结合是近几年高考的热门知识点. 的结合是近几年高考的热门知识点 . 平面向量 具有代数形式与几何形式的“ 双重身份” 具有代数形式与几何形式的 “ 双重身份 ” , 与 三角函数有机地结合起来. 这一结合综合性强, 三角函数有机地结合起来 . 这一结合综合性强 , 创新力度大, 创新力度大 , 能有效地沟通知识之间的广泛连 处理好题目之间的联系, 接 . 处理好题目之间的联系 , 巧妙地应用向量 解决三角函数问题及正余弦定理, 解决三角函数问题及正余弦定理 , 要求我们熟 记三角函数公式, 诱导公式、 记三角函数公式 , 诱导公式 、 三角变换公式及 向量的有关计算公式. 向量的有关计算公式.

例1 已知点 A,B,C 的坐标分别为 A(4,0), , , ,

B(0,4),C(3cos α,3sin α). , , . → → (1)若 α∈(-π,0),且 |AC|=|BC|,求角 α 的值; 的值; 若 ∈- , , = , 2sin2α+sin 2α + → → (2)若AC·BC=0,求 的值. 若 , 的值. 1+tan α +

【 解】

→ AC= (3cos α-4,3sin α), - ,

→ BC= (3cos α,3sin α-4). , - . → → (1)由|AC|=|BC|, 由 = , 得 (3cos α-4)2+ 9sin2 α=9cos2α+(3sin α-4)2, - = + - ∴ sin α= cos α. = 3 ∵ α∈(-π,0),∴ α=- π. ∈- , , =- 4

2sin α+ sin 2α + (2)∵ ∵ 1+ tan α + 2sin αcos α( cos α+ sin α) ( + ) = = 2sin αcos α, , cos α+ sin α + → → 又 ∵AC·BC= 0, , ∴ 3cos α(3cos α-4)+3sin α(3sin α-4)=0. - + - = 3 两端平方, ∴ sin α+cos α= .两端平方, 得 2sin αcos α=- + = 两端平方 =- 4 7 , 16 2 2sin α+ sin 2α + 7 ∴ =- . 16 1+ tan α +

2

统计与概率
统计与概率是高考必考内容, 统计与概率是高考必考内容,它是以实际应用 为载体,以概率统计等知识为工具, 为载体,以概率统计等知识为工具,考查古典 概型、几何概型、抽样方法、样本频率计算、 概型、几何概型、抽样方法、样本频率计算、 频率分布直方图等主要内容.命题热点是: 频率分布直方图等主要内容.命题热点是:抽 样方法、样本的频率分布、概率计算, 样方法、样本的频率分布、概率计算,并将统 计的数字特征、直方图与概率相结合, 计的数字特征、直方图与概率相结合,更注重 事件的过程分析. 事件的过程分析.

例2

(2011年高考湖南卷 某商店试销某种商品 年高考湖南卷)某商店试销某种商品 年高考湖南卷

20天,获得如下数据: 天 获得如下数据: 日销售量(件 日销售量 件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律 不变),设某天开始营业时有该商品3件 不变 ,设某天开始营业时有该商品 件,当天营 业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当 业结束后检查存货,若发现存量少于 件 天进货补充至3件 否则不进货, 天进货补充至 件,否则不进货,将频率视为概 率.

(1)求当天商店不进货的概率; 求当天商店不进货的概率; 求当天商店不进货的概率 (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X 记 为第二天开始营业时该商品的件数, 为第二天开始营业时该商品的件数 的分布列和数学期望. 的分布列和数学期望.

当天商店不进货)= 当天商品销售 【 解】 (1)P(当天商店不进货 =P(当天商品销售 当天商店不进货 1 5 量为 0 件 )+P(当天商品销售量为 1 件 )= + = + 当天商品销售量为 = 20 20 3 . 10 (2)由题意知, X 的可能取值为 2,3. 由题意知, 由题意知 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件 )= = ; = = 当天商品销售量为 = 20 4

P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件 )+P(当天商品 = = 当天商品销售量为 + 当天商品 1 9 销售量为 2 件 )+P(当天商品销售量为 3 件 )= + + 当天商品销售量为 = 20 20 5 3 + = . 20 4 的分布列为: 所以 X 的分布列为: X 2 3 1 3 P 4 4 1 3 11 故 X 的数学期望为 E(X)=2× + 3× = . = × × 4 4 4

数列与推理
数列的通项公式、 数列的通项公式、前n项和及它们之间的关系是 项和及它们之间的关系是 高考的热点, 高考的热点 , 利用函数的性质和方程思想研究 数列的单调性、 最值也是命题的切入点 . 复习 数列的单调性 、 最值也是命题的切入点. 时要关注用提示性方式出现的递推数列. 时要关注用提示性方式出现的递推数列 . 对于 把合情推理、 把合情推理 、 演绎推理与数列融合在一起的问 在复习时也要引起重视. 题,在复习时也要引起重视.

例3

(2011 年高考辽宁卷 已知等差数列{an}满 年高考辽宁卷)已知等差数列 已知等差数列 满

=-10. 足 a2= 0, a6+a8=- , (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. 求数列 项和. ? ?

(1)设等差数列 n}的公差为 d, 设等差数列{a 的公差为 , 设等差数列 ?a1+ d=0, = , ? 由已知条件可得? =-10, ? =- ?2a1+ 12d=- , 【 解】
?a1= 1, , ? ? =-1. ?d=- ? =-

解得

故数列{a 的通项公式为 故数列 n}的通项公式为 an=2-n. - ? an ? (2)设数列?2n- 1?的前 n 项和为 Sn, 设数列 ? ? a2 an 即 Sn=a1+ + …+ n- 1, 2 2

Sn a1 a2 an 故 S1=1, = + + …+ n. , 2 2 4 2 所以, 所以,当 n>1 时 , a2- a1 an- an- 1 an Sn = a1+ +… + n- 1 - n 2 2 2 2 1 - ?1+1+ …+ n- 1 ?-2- n = 1- 2 4 - 2 ? 2n ?

1 - ?1- n- 1 ?-2- n= nn. = 1- -2 - ? ? 2n 2 所以 Sn= n- 1. 2
? an ? n 综上, 综上,数列?2n- 1 ?的前 n 项和 Sn= n- 1. 2 ? ?

n

立体几何型

对识图与视图的考查是立体几何的核心, 对识图与视图的考查是立体几何的核心 , 其中大 题是以多面体为依托, 考查线、 面基本位置关系, 题是以多面体为依托 , 考查线 、 面基本位置关系 , 空间角、 面积、 体积等度量关系, 注重作图、 空间角 、 面积 、 体积等度量关系 , 注重作图 、 证 明与计算相结合, 明与计算相结合 , 常常通过设未知数或未知量来 解决问题. 解决问题.

年高考重庆卷) 例4 (2011 年高考重庆卷 如图, 如图,在四面体 ABCD 中 , 平面 ABC⊥平面 ACD, ⊥ , AB⊥BC,AD=CD,∠ CAD=30°. ⊥ , = , = (1)若 AD=2,AB=2BC,求四面体 ABCD 的体积; 的体积; = , = ,

(2)若二面角 C-AB-D 为 60°,求异面直线 AD 与 BC ,
所成角的余弦值. 所成角的余弦值.

如图① 的中点, 【 解】 (1)如图①, 设 F 为 AC 的中点, 连接 DF, , 由于 AD=CD,所以 DF⊥AC.故由平面 ABC⊥平面 = , ⊥ 故由平面 ⊥ ACD,知 DF⊥平面 ABC, , ⊥ , 上的高, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高 ,且 DF= = ADsin 30°=1, = , AF= AF=ADcos 30°= 3. 30°= 在 Rt△ABC 中 ,因为 AC=2AF=2 3,AB=2BC, △ = = , = , 2 15 4 15 由勾股定理易知 BC= = , AB= = , 5 5

1 故四面体 ABCD 的体积 V= ·S△ ABC·DF = 3 1 1 4 15 2 15 4 = × × × × 1= . = 3 2 5 5 5 (2)法一:如图①,设 G,H 分别为边 CD,BD 的 法一:如图① , , 中点, 中点,连接 FG,FH,HG,则 FG∥AD,GH∥ , , , ∥ , ∥ BC,从而∠ FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角 ,从而∠ 或其补角. 或其补角. 的中点, 设 E 为边 AB 的中点 ,连接 EF,DF, , , 则 EF∥BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB. ∥ , ⊥ , ⊥ 又由(1) 有 DF⊥平面 ABC, ⊥ ,

故由三垂线定理知 DE⊥AB. ⊥ 所以∠ 的平面角, 所以∠ DEF 为二面角 C-AB-D 的平面角, 由题设知∠ 由题设知∠ DEF=60°. = a 设 AD=a,则 DF=AD·sin∠CAD= . = , = ∠ = 2 a 3 3 在 Rt△ DEF 中 , EF=DF·cot∠ DEF= · = △ = ∠ = 2 3 6 a, , 1 3 从而 GH= BC=EF= a. = = = 2 6 因为 Rt△ADE≌Rt△BDE,故 BD=AD=a, △ ≌ △ , = = ,

1 a 从而, 从而,在 Rt△BDF 中 , FH= BD= . △ = = 2 2 1 a 从而在△ 又 FG= AD= , = = 从而在△ FGH 中 , FG=FH, 因 = , 2 2 FG2+ GH2- FH2 由余弦定理得 cos∠FGH= ∠ = 2FG·GH GH 3 = = . 2FG 6 3 因此, 因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 . 6

法二:如图 ② 法二:如图②,过 F 作 FM⊥ AC,交 AB 于 M. ⊥ , 已知 AD= CD,平面 ABC⊥ 平面 ACD,易知 FC, = , ⊥ , , FD,FM 两两垂直,以 F 为原点,射线 FM,FC, 两两垂直, 为原点, , , , FD 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴,建立空间 轴的正半轴, 直角坐标系 F-xyz. 不妨设 AD= 2,由 CD= AD,∠ CAD= 30°,易知 = , = , = , 点 A, C, D 的坐标分别为 A (0,- 3, 0) , , , ,- , , , C(0, 3, 0), D(0, 0, 1), , , → 则AD = (0, 3, 1). , ,

的法向量. 显然向量 k=(0,0,1)是平面 ABC 的法向量. = , , 已知二面角 C-AB-D 为 60°,故可取平面 ABD 的 , 使得〈 , 〉= 〉=60°, 单位法向量 n=(l, m, n), 使得〈 n,k〉= , = , , 1 从而 n= . = 2 3 → 由 n⊥AD , 有 3m+n=0,从而 m=- . ⊥ + = , =- 6 6 由 l +m + n =1,得 l=± . , = 3
2 2 2

→ → → , , 设点 B 的坐标为(x, y,0) ,由AB⊥BC,n⊥AB, ⊥ x2+ y2= 3, , ? ? 6 取 l= , 有? 6 = 3 3 - , + ? 3 x- 6 (y+ 3)= 0, ?

? ? 解得? 7 3 ?y= 9 , ?=

4 6 x= = , 9

= , ?x=0, 或? (舍去). ?y=- 3 =-

6 易知 l=- 与坐标系的建立方式不合,舍去. =- 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3

?4 6 7 3 ?. 因此点 B 的坐标为 , ,0 9 ? 9 ? → ?4 6 2 3 ?, 所以CB 所以 = ? 9 ,- 9 , 0?
→ → AD·CB → → 从而 cos〈AD ,CB〉= 〈 → → |AD||CB |

? 2 3? 3× - × ? 9 ?
= 3+1 +

3 =- . 6 ?4 6 ? 2+ ? 2 3? 2 - ? 9 ? ? 9 ?

3 故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 . 6

圆锥曲线型
解析几何热点是把圆锥曲线、直线、 解析几何热点是把圆锥曲线、直线、圆融合在 一起,重点是考查解析几何的基础知识、 一起,重点是考查解析几何的基础知识、求轨 迹的方法、数形结合和整体思想, 迹的方法、数形结合和整体思想,主要融合点 为函数、方程、三角、向量、不等式, 为函数、方程、三角、向量、不等式,近几年 解析几何是稳中求稳,但在难度、 解析几何是稳中求稳,但在难度、形式上有所 变化,小题考查圆锥曲线的简单几何性质, 变化,小题考查圆锥曲线的简单几何性质,大 题设置背景还是直线与圆锥曲线的位置关系, 题设置背景还是直线与圆锥曲线的位置关系, 但考点会是定点、定值和探究性问题. 但考点会是定点、定值和探究性问题.

,-1), ,- 例5 已知椭圆的一个顶点为 A(0,- ,焦点在 x 轴上 . 轴上. = 若右焦点 F 到直线 x-y+2 2=0 的距离 - + 为 3. (1)求椭圆的方程; 求椭圆的方程; 求椭圆的方程 (2)设直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两 设直线 = + ≠ 与椭圆相交于不同的两 的取值范围. 点 M、N.当 |AM|=|AN|时,求 m 的取值范围. 、 当 = 时

【 解】

x2 2 (1)依题意,可设椭圆方程为 2+ y = 1, 依题意, 依题意 , a

则右焦点为 F( a2- 1,0). , . | a - 1+2 2| + 2 由题意, 由题意,知 = 3,解得 a = 3. , 2 x2 2 故所求椭圆的方程为 + y =1. 3
2

(2)设点 M、N 的坐标分别为 M(xM, yM)、N(xN, 设点 、 、 yN),弦 MN 的中点为 P(xP,yP). , . = + , ?y= kx+m, ? 2 2 2 2 由 ?x 得 (3k +1)x + 6mkx+3(m - 1) + 2 , ? 3 + y = 1, ? = 0. ∵ 直线 y= kx+ m(k≠0)与椭圆相交于不同的两 = + ≠ 与椭圆相交于不同的两 点, 2 2 2 × ∴ ?=(6mk) - 4(3k +1)×3(m - 1)>0 = 2 2 ? m <3k + 1,① , xM+ xN 3mk ∴ xP= =- 2 , 2 3k + 1

m 从而 yP= kxP+ m= 2 = , 3k + 1 yP+ 1 m+ 3k2+ 1 + . ∴ kAP= =- xP 3mk 又 |AM|=|AN|,∴ AP⊥MN, = , ⊥ , m+ 3k2+ 1 + 1 则- =- , 即 2m=3k2+1,② = , 3mk k

代入① 把 ②代入① ,得 m <2m,解得 0<m<2. , 2m-1 - 1 >0,解得 m> . 由 ②,得 k = , 3 2
2

2

1 综上可得, 的取值范围是 综上可得, m 的取值范 围是 <m<2. 2

函数与导数

导数及其应用热点是函数的单调性、极值与最 导数及其应用热点是函数的单调性、 导数的应用与数列综合、 值、导数的应用与数列综合、导数的应用与不 等式综合,近几年导数应用的主要热点是含参 等式综合, 的分类讨论思想、数形结合思想、 的分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思 想等. 想等.

ex 年高考安徽卷)设 = 其中 例6 (2011 年高考安徽卷 设 f(x)= 2, 1+ax + a 为正实数. 为正实数. 4 (1)当 a= 时 ,求 f(x)的极值点; 的极值点; 当 = 的极值点 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 求 a 的取值范围. 若 的取值范围. 为 上的单调函数,

【 解】

1+ax2- 2ax x + 对 f(x)求导得 f′(x)=e 求导得 ′ = ① 2 2 .① (1+ax ) +

4 (1)当 a= 时 , 若 f′(x)=0,则 4x2- 8x+3=0, 当 = ′ = , + = , 3 3 1 结合① 解得 x1= , x2= .结合① ,可知 结合 2 2

3 1 是极小值点, 是极大值点. 所以 x1= 是极小值点, x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 若 为 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 1 ′ 在 上不变号,结合① , 2 上恒成立, + ax - 2ax≥0 在 R 上恒成立 , ≥ 即 ?= 4a2- 4a=4a(a-1)≤0, = = - ≤ , 由此并结合 a>0,知 0<a≤1. , ≤ 的取值范围为{a|0<a≤1}. 所以 a 的取值范围为 ≤ .

本部分内容讲解结束
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