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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理(1)学案 新人教A版选修1-2


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理(1)学案 新 人教 A 版选修 1-2
【学习目标】 1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义; 2. 能利用归纳 进行简单的推理, 体会并认识归纳推理 在数 学发现中的 作用. 【学习内容】 一、课前预习(预习教材第 70-71 页,找出疑惑之处) 在 日常生活中 我们常常遇到这样的现象: (1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂 蚁搬家,推断天要下雨; (2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、课堂互动探究:典例精析 变式训练 归纳推理 问题 1:哥德巴赫猜想:观察 6 =3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??, 50=13+37, ??, 100=3+97,猜想: . 问题 2:由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出 . 新知:归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理,或者由 的推理.简言之,归纳推理是由 的推理. 典型例题 例 1 观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+ 7=16= 4 , 1+3+5+7+9=25= 5 , ?? 你能猜想到一个怎样的结论?
2
2 2

2

变式:观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+ 8+27=36, 1+8+27+64=100, ?? 你能猜想到一个怎样的结论? 例 2 已知数列 ?an ? 的第一项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 项公式.

an (n ? 1, 2,3...) ,试归纳出这个数列 的通 1 ? an

1

变式:在数列{ a n }中, a n ?

1 1 (a n ?1 ? ) ( n ? 2 ) ,试猜想这个数列的通项公式. 2 a n?1

动手试试 练 1. 应用归纳推理猜测 111?1 ? 222?2 的结果.

练 2. 在数列{ a n }中, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an ( n ? N * ),试猜想这个数 列的通项 公式. 2 ? an

练 3.观察下面的“三角阵” : 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 45 1 1 1 1 10 1

?? 1 10 45 ?? 试找出相邻两行数之间的关系。

学习小结: 1.归纳推理的定义: 2. 归纳推理 的一般步骤:①通过观察个别情况发现 某些相同的性质;②从已知的相同性质 中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 知识拓展 1.费马猜想:法国业 余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 ,
0

F1 ? 22 ? 1 ? 5 , F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察 ,发现其结
果都是素数,提出猜想:对所有的自然数 n ,任何形如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数. 后来瑞士 数学家欧拉发现 F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想. 2. 四色猜想: 1852 年, 毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色 工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界 的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿 佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子 计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿 逻辑判断,完成证明. 三.课堂练习及课后作业 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ). A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出 的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳 推理 具 有由具体到抽象的认识功能 2.若 f (n) ? n2 ? n ? 41, n ? N ,下列说法中正确的是( ). A. f (n) 可以为偶数 B. f (n) 一定为奇数 C. f (n) 一定为质数 D. f (n) 必为合数
5
n

1

2

3

4

2

3.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( f ( x) ? 2

).

4 2 B. f ( x) ? 2x ? 2 x ?1 1 2 C. f ( x) ? D. f ( x) ? x ?1 2x ? 1 1 1 1 3 5 7 4. f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? N? ) , 经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 2 3 n 2 2 2 猜测当 n ? 2 时,有__________________________. 5. 从 1 ? 12 , 2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中 得 出 的 一 般 性 结 论 是 _________ ____ . 6. 对于任意正整数 n,猜想 (2n ? 1) 与 (n ? 1)2 的大小关系.

1 2 ? 2 ? an (n ? 2) , 7. 已知数列{ a n }的前 n 项和 Sn ,a1 ? ? , 满足 Sn ? 计算 S1 , S2 , S3 , S4 , 并 Sn 3

猜想 Sn 的表达式.

3


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