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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第1讲 直线方程和两直线的位置关系(含解析)新人教A版


第九章

解析几何

第 1 讲 直线方程和两直线的位置关系
一、选择题 1 1.已知直线 l 的倾斜角 α 满足条件 sinα +cosα = ,则 l 的斜率为( 5 A. 4 3 3 B. 4 4 C.- 3 3 D.- 4 )

解析 α 必为钝角,且 sinα 的绝对值大,故选 C. 答案 C 3π

2.经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y=( 4 A.-1 B.-3 = C.0 2y+4 =y+2, 2 D.2 ).

2y+1- - 解析 由 4-2 得:y+2=tan 答案 B

3π =-1.∴y=-3. 4

3.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取 值范围是 π π? A.? ?6,3? π π? C.? ?3,2? 解析 π π? B.? ?6,2? π π? D.? ?6,2? ( ).

如图,直线 l:y=kx- 3,过定点 P(0,- 3),又 3 π ,则直线 PA 的倾斜角为 ,满足条件的直 3 6

A(3,0),∴kPA=

π π? 线 l 的倾斜角的范围是? ?6,2?. 答案 B 4.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( A.x-2y+4=0 C.x-2y+3=0 B.2x+y-7=0 D.x-2y+5=0 ).

解析 由题意可设所求直线方程为:x-2y+m=0,将 A(2,3)代入上式得 2-2×3+m=0, 即 m=4,所以所求直线方程为 x-2y+4=0. 答案 A
1

5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ +3=0(θ ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( A.[0,π ) B.? D.?

).

? π ,π ? ? ?4 2? ?π ,π ?∪?π ,3π ? ? ? 4 ? ?4 2? ?2 ?

?π 3π ? C. ? , ? 4 ? ?4

π 解析 (直接法或筛选法)当 cos θ =0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 2 1 当 cos θ ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- . cos θ ∵cos θ ∈[-1,1]且 cos θ ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞). ∴tan α ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),

?π π ? ?π 3π ? 又 α ∈[0,π ),∴α ∈? , ?∪? , ?. 4 ? ?4 2? ?2 ? π 3π ? 综上知,倾斜角的范围是? , ?. 4 ? ?4
答案 C 6.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n= ( A.4 B.6 34 C. 5 ). 36 D. 5

解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线, 即直线 y=2x-3, 它也是点 3+n 7+m =2× -3, ? 2 ? 2 (7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 ?m-7=-2, ?

?m=5, 解得? 31 ?n= 5 .
答案 C 二、填空题

3

34 故 m+n= . 5

1 7.若 A(-2,3),B(3,-2),C( ,m)三点共线,则 m 的值为________. 2 -2-3 m+2 1 解析 由 kAB=kBC,即 = ,得 m= . 3+2 1 2 -3 2

2

答案

1 2

8. 直线过点(2, -3), 且在两个坐标轴上的截距互为相反数, 则这样的直线方程是________. x y 3 解析 设直线方程为为 - =1 或 y=kx 的形式后,代入点的坐标求得 a=5 和 k=- . a a 2 3 x y 答案 y=- x 或 - =1 2 5 5 9.已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直,则实数 a=________. 3 解析 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,解得 a= . 5 答案 3 5

c+2 2 13 10.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 的值为________. 13 a 3 -2 -1 解析 由题意得, = ≠ ,∴a=-4 且 c≠-2, 6 a c c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2

?c+1? 2 13 ?2 ? 由两平行线间的距离,得 = , 13 13
c+2 解得 c=2 或 c=-6,所以 =± 1. a 答案 ± 1

三、解答题 11.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 为原点,是否 存在使△ABO 面积最小的直线 l?若存在,求出;若不存在,请说明理由. 解 存在.理由如下.

? 1 ? 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A?2- ,0?,B(0,1-2k), ?
k

?

1 ? 1? 1? ? 1?? 1 △ AOB 的面积 S= (1-2k)?2- ?= ?4+ -4k +?- ??≥ (4+4)=4. 2 ? k? 2? ? k?? 2 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立, k 2 1 故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 12.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.

3



(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-

2λ)y-5=0, ∴ |10+5λ-5|
2

?2+λ? +?1-2λ?

2=3.解得

1 λ=2 或 λ= . 2

∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
?2x+y-5=0, ? (2)由? 解得交点 P(2,1), ? ?x-2y=0,

如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10. 13.已知直线 l 过点 P(2,3),且被两条平行直线 l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0 截得的 线段长为 d. (1)求 d 的最小值; (2)当直线 l 与 x 轴平行,试求 d 的值. 解 (1)因为 3×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0,所以点 P 在两条平行直线 l1,l2 外.

过 P 点作直线 l, 使 l⊥l1, 则 l⊥l2, 设垂足分别为 G, H, 则|GH|就是所求的 d 的最小值. 由 两平行线间的距离公式,得 d 的最小值为|GH|= |8-?-7?| =3. 32+42

(2)当直线 l 与 x 轴平行时,l 的方程为 y=3,设直线 l 与直线 l1,l2 分别交于点 A(x1,3), B(x2,3), 则 3x1+12-7=0,3x2+12+8=0, 所以 3(x1-x2)=15, 即 x1-x2=5, 所以 d=|AB| =|x1-x2|=5. 14.已知直线 l1:x-y+3=0,直线 l:x-y-1=0.若直线 l1 关于直线 l 的对称直线为 l2,求 直线 l2 的方程. 解 法一 因为 l1∥l,所以 l2∥l,

设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). 直线 l1,l2 关于直线 l 对称, 所以 l1 与 l,l2 与 l 间的距离相等. |3-?-1?| |m-?-1?| 由两平行直线间的距离公式得 = , 2 2 解得 m=-5 或 m=3(舍去). 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 法二 由题意知 l1∥l2,设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). 在直线 l1 上取点 M(0,3), 设点 M 关于直线 l 的对称点为 M′(a,b),
4

3 ×1=-1, ?b- a 于是有? a+0 b+3 ? 2 - 2 -1=0,

? ?a=4, 解得? 即 M′(4,-1). ?b=-1, ?

把点 M′(4,-1)代入 l2 的方程,得 m=-5, 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0.

5

6


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