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江苏省2013年普通高校单招文化统考数学试卷(合答案)


江苏省 2013 年普通高校对口单招文化统考



学 试 卷
3

本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分。第Ⅰ卷 1 页至 2 页,第Ⅱ卷 页至 8 页。两卷满分 150 分。考试时间 150 分钟。

第Ⅰ卷(共 48 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。 2. 2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑。 用 答案不涂写在答题卡上无效。 一 单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在下列每小题中,选出一个正 确答案,请在答题卡上将所选的字母标号涂黑) 1. 若集合 M ? { x | x ? 2 ? 0 } , N ? { x | x ? 3 ? 0 } ,则 M ? N 等于 ( C ) A. (-∞,-2) B. (-∞,3) C. (-2,3) ( B )
0

D. (3,+∞)

2.如果向量 a ? ( 2 , ? 3 ) , b ? ( 3 , 2 ) ,那么 A. a // b B. a ? b
1 2

C. a 与 b 的夹角为 60 ”是“ A ? 30 ”的
0

D. | a | ? 1

3.在△ABC 中, sin A ? “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

( B )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

4.若实数 a , b , c 成等比数列,则函数 y ? ax A.0 B.1 C.2 5.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. 3 ? 3
a b

? bx ? c 的图像与 x 轴的交点个数是 ( A )

D.1 或者 2 ( A )
?a ?a

B.

1 a

?

1 b

C. 3

? 4

D. ( ) ? ( )
a

1

1

b

4

4

6.若直线 l 的倾斜角是直线 y ?

3 x ? 2 倾斜角的 2 倍,且过点(0,5),则直线 l 的方程是

( B ) A. 3 x ? y ? 5 ? 0 C. 3 x ? 3 y ? 15 ? 0 7.如果 sin( ? ? ? ) ? A. ?
16 25 3 5

B. 3 x ? y ? 5 ? 0 D. 3 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,那么 cos 2 ? 等于
7 25

( D D.
2

)

B. ?
2

C.

16 25

7 25

8.若抛物线 y

? 2 px

( p ? 0 ) 的准线与圆 ( x ? 3 )

? y

2

? 16 相切,则 p 的值为( C )

1

A.

1 2

B.1
1 x

C.2

D.4

9.在二项式 ( 2 x ?
3

) 的展开式中,常数项等于
7

(

D

)

A.-42 B.42 C.-14 D.14 10.如果一个圆锥的侧面展开图是半圆,那么其母线与底面所成角的大小是 ( C ) A. 30
0

B. 45

0

C. 60
?
3 )

0

D. 75

0

11.如函数 f ( x ) ? 2 sin( wx ? A.关于点 ( C.关于点 (
?
3 , 0 ) 对称 , 0 ) 对称

( w ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图像 (

A)

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?
2

?
4

对称 对称

?
4

?
3

12.已知点 M 的坐标为 ( 3 , 2 ) , F 为抛物线 y
| PM | ? | PF | 的值最小时,点 P 的坐标为

? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动。当


9

D ) D. ( 2 , 2 )

A. ( 0 , 0 )

B. ( ,1 )
2

1

C. ( , 3 )
2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13.若 a , b 是方程 x ? 30 x ? 100 ? 0 的两个实根,则 lg a ? lg b ?
2

2
? 3 5

。 。

14.已知角 ? 的终边过点 P ( ? 3 , m ) ,且 sin ? ?
?1 ?0 x ? 0 x ? 0

4 5

,则 cos ? ?

15.若函数 f ( x ) ? ?

,则 f ( f ( x )) ?

1

16. a ? 当

2 ?1

时, 直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a ) ? ( y ? 2 ) ? 4 ( a ? 0 )
2 2

截得的弦长为 2 3 。
x a
2 2

17.设 a , b ? {1, 2 , 3 , 4 } ,事件 A ? {方程
3 8
x 18.已知函数 f ( x ) ? ( ) 的反函数是 f

?

y b

2 2

? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆} ,那么

P ( A) ?


1
?1

( x ) ,若 f

?1

(a ) ? f

?1

( b ) ? ? 2 ,则

1 a
2

?

1 b
2



3

最小值是

2 9



2

三、解答题(本大题 7 小题,共 78 分) 19. 分)已知复数 ? ? ( m ? 1 ) ? (| 2 m ? 1 | ? 2 ) i ( m ? R ) 在复平面上对应的点位于第三象 (6 限,求 m 的取值范围。 解 由题意得 ? 由①得 由②得 由上得
?
?m ? 1 ? 0 ? ? 2m ? 1 ? 2 ? 0 ?

-----------------------2 分 -----------------------1 分

m ?1
?2 ? 2 m ? 1 ? 2, 1 2 ?m ? 1 ? 1 2 ? m ? 3 2

-----------------------2 分 -----------------------1 分

20 . 10 分 ) 已 知 ? ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 应 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若 (
tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19

求: (1)角 C 的值; 解 (1)由题意得
ta n ( A ? B ) ? ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ? ta n B

(2) ? ABC 的面积 S

?

3 ?

3 ta n A ? ta n B

1 ? ta n A ? ta n B

?

3

-----------------------2 分 ---------------------2 分

又 0? A? B ??,
2 2

所以 A ? B ?
2

?
3

,

C ? 2? 3

2? 3

(2)因为 ( 1 9 ) ? 2 ? b ? 2 ? 2 ? b ? c o s 解得 b ? 3,
1

, b ? 2b ? 15 ? 0
2

----------------3 分 -------------------1 分

b ? ? 5 (舍去)

S ?

2? ? 2 ?3 ?s i n 2 3

3 ? 2

3

-------------------2 分

21. (10 分)已知 { a n } 是各项为正数的等比数列,若 a 2 ? a 3 ? 8 a 1 (1)求 a 4
lg (2) b n ? o 设
2

an , { ①求证: b n } 是等差数列; 设 b 1 ? 9 , ② 求数列 { b n } 的前 n 项和 S
a4 ? 8

n

解(1)由题意得 a 2 ? a 3 ? 8 a 1 ? a 1 ? a 4 , a 1 ? 0 , (2)设数列 { a n } 的公比为 q ? 0 ,则
b n ? 1 ? b n ? lo g 2 a n ? 1 ? lo g 2 a n ? lo g 2 a n ?1 an

--------------------------4 分

? lo g 2 q 是一个常数,

3

所以数列 { b n } 是等差数列

-----------------------------3 分

因为 b 4 ? lo g 2 a 4 ? lo g 2 8 ? 3 ,又 b 1 ? 9 , 设数列 { b n } 的公差为 d 则 b 4 ? b1 ? 3 d ,
Sn ? 9n ?
d ? ?2

------------------------------1 分
2

n ( n ? 1) 2

? (?2) ? ? n ? 10n

-----------------------------2 分

22. (12 分)设二次函数 f ( x ) ? ax (1)求 a , b 的值 (2)解不等式 ( )
2 1
f (x)

2

? ( b ? 2 ) x ? 2 b ? 3 a 是定义在 [ ? 6 , 2 a ] 上的偶函数

? 2

?2x



(3)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? mx ? 4 的最小值为 ? 4 ,求 m 的值
?b ? 2 ? 0 ? ?2a ? 6 ? 0
a ? 3
3x ?
2

解 (1)由题意得

-----------------------3 分

解得

b ? 2 ,

----------------------1 分
5 ,于是有
2

(2)由(1)知
( 1 2 )
3 x ?5
2

f ( x )?
?2x

? 2

? (
5 ? 3

1 2

)

2x

,

3x

? 5 ? 2x

-----------------------2 分 ----------------------2 分

解得

?1 ? x

(3)由题意得 g ( x ) ? 3 x ? m x ? 1,
2

?12 ? m 12

2

? ?4,

--------------------2 分 -------------------2 分

m ? ?6

23. (14 分)某职业学校毕业生小王参加某公司招聘考试,共需回答 4 个问题。若小王答对 每个问题的概率均为
2 3

,且每个问题回答正确与否互不影响

(1)求小王答对问题个数 ? 的数学期望 E ? 和方差 D ? ; (2)若每答对一题得 10 分,答错或不答得 0 分,求小王得分? 的概率分布; (3)若达到 24 分被录用,求小王被录用的概率。 解 (1) E ? ? 4 ?
2 3 ? 8 3

-----------------------2 分

4

D? ? 4 ?

2 3

? (1 ?

2 3

) ?

8 9

-----------------2 分 ----------------1 分 -----------------1 分

(2)由题意得? 的取值为 40,30,20,10,0
P (? ? 4 0 ) ? C 4 (
4

2 3 2 3
2 3 2 3

) ?
4 3

16 81

P (? ? 3 0 ) ? C 4 (
3

) (1 ?
) (1 ?
2

2 3
2 3

) ?
2

32 81

-----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分 -----------------1 分

P (? ? 2 0 ) ? C 4 (
2

) ?
3

24 81 8 81

P (? ? 1 0 ) ? C 4 (
1

) (1 ?
1

2 3

) ?

P (? ? 0 ) ? C 4 (1 ?
0

2 3

) ?
4

1 81

所以? 的概率分布为
?

40
16 81

30
32 81

20
24 81

10
8 81 16 27

0
1 81

P

--------------------------------1 分 (3) P (? ? 2 4 ) ? P (? ? 4 0 ) ? P (? ? 3 0 ) ? -------------------------------3 分

24.(12 分)在正三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中,底面边长为 2,侧棱长为 3 , D 是 AC 的中 点 (1) 求三棱锥 A 1 ? ABC 的体积 (2) 求证:直线 B 1 C // 平面 A 1 BD (3) 求二面角 A 1 ? BD ? A 的大小 解:(1)∵正三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 底面边长为 2 ∴ S ? ABC ? 又 A1 A1 ? ∴V A
? ABC

1 2
3

? 2 ? 2 ? sin 60

0

?

3

?

1 3

1

. S ? ABC . AA 1 ? 1

-----------------------------4 分

(2)连结 AB 1 ,交 AB 1 于 O ∵正三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 ∴ O 为 AB 1 的中点,又 D 为 AC 的中点 ∴ OD 为 ? AB 1 C 的中位线,∴ OD // B 1 C
5

又 OD ? 平面 A 1 BD ∴ B 1 C 平行平面 A 1 BD -------------------------------4 分 又 AA 1 ? 平面 ABC

(3) ∵正三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 ,∴ BD ? AD ∴ ? ADA 又 AA 1 ? 为三面角 A 1 ? BD ? A 的平面角
3

1

, AD ? 1 ,∴ ? ADA
y a
2 2

1

? 60

0

-------------------4 分

25.(14 分)设双曲线

?

x

2

3

? 1 的焦点分别为 F1 , F 2 ,离心率为 2

(1)求双曲线的标准方程及渐近线 l1 , l 2 的方程; (2)若 A,B 分别是 l1 , l 2 上的动点,且 2 A B ? 5 F1 F 2 .求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并 说明轨迹是什么曲线。 解 (1)设焦点坐标分别为 F1 ( 0 , ? c ) ,
?c ? ? 2 ?a ?a2 ? 3 ? c2 ?
F 2 ( 0 , c ) ,则

---------------------------2 分

解得 c ? 2 ,

a ?1
2

双曲线的标准方程 y ?
2

x

?1

----------------------2 分

3

渐近线 l1 , l 2 的方程分别为 x ?

3 y ? 0,

x?

3y ? 0

--------------------2 分 ---------------1 分

(2)因为 F1 F 2 ? 4 ,所以 2 A B ? 5 F1 F 2 ? 2 0 , 设 A ( 3 y 1 , y 1 ),
2

AB ? 10

B (?

3 y2 , y2 )
2

所以 3 ( y 1 ? y 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? 1 0 ① 设 AB 的中点 M ( x , y ) ,则
3 y1 ? 2 3 y2 y1 ? y 2 2

-----------2 分

x ?

,

y ?

所以 y 1 ? y 2 ?

2 3

x , y1 ? y 2 ? 2 y



-------------2 分

6

把②带人①,得

x

2

?

y

2

75

25 3

?1

------------------2 分

因此 AB 的中点 M 轨迹为椭圆。

------------------1 分

7


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