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第1讲 角的概念的推广、弧度制及任意角


第四章 三角函数、解三角形
第 1 讲角的概念的推广、弧度制及任意角 的三角函数
一、选择题 1.下列各选项中,与 sin(2 191° )的值最接近的数是( 1 A.2 1 C.-2 2 B. 2 2 D.- 2 )

解析 sin(2 191° )=sin(6×360° +31° )=sin 31° .故选 A. 答案 A 2.角 α

的终边过点 P(-1,2),则 sin α=( 5 A. 5 5 C.- 5 ) 2 5 B. 5 2 5 D.- 5

y 2 2 5 解析 r= ?-1?2+22= 5.∴sin α=r = = 5 . 5 答案 B 3.若一扇形的圆心角为 72° ,半径为 20 cm,则扇形的面积为 A.40π cm2 解析 答案 B.80π cm2 C.40cm2 D.80cm2 ( ).

2π 1 1 2π 72° = 5 ,∴S 扇形=2αR2=2× 5 ×202=80π(cm2). B

4.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cosθ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ( ).

由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内

角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由 π 5π π 5π 于 sin 6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;当 θ=π,cosθ=-1<0 时 既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A )

4 5.已知角 α 的终边 过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cosα=-5,则 m 的值为( 1 A.-2 3 C.- 2 解析 r= 64m2+9,∴ cosα= ∴ 1 B.2 3 D. 2 -8m 4 =-5,∴m>0. 2 64m +9

4m2 1 1 1 =25,∴m=± . ∵ m >0 ,∴ m = 2 2 2. 64m +9

答案 B 6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按 逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长 为 d,则函数 d=f(l)的图像大致为( )

解析如图,

取 AP 的中点 为 D,设∠DOA=θ, 则 d=2Rsin θ=2sin θ,l=2θ R=2θ, l ∴d=2sin2,故选 C. 答案 C 二、填空题 7.函数 y= sin x+ 1 2-cos x的定义域是________.

sin x≥0, ? ? 解析由题意知?1 -cos x≥0, ? ?2 sin x≥0, ? ? 即? 1 cos x≤2. ? ? π ∴x 的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z 3 ?π ? 答案?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z) ? ? α? α α ? 8.设角 α 是第三象限角,且?sin 2?=-sin 2,则角2是第________象限角. ? ? 解析 3π π α 3π 由 α 是第三象限角,知 2kπ+π<α<2kπ+ 2 (k∈Z),kπ+2<2<kπ+ 4 (k

α? α α α α ? ∈Z),知2是第二或第四象限角,再由?sin 2?=-sin 2知 sin 2≤0,所以2 只 ? ? 能是第四象限角. 答案 四

9.设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 解析 1 由题意得 S=2(8-2r)r=4,整理得 r2-4r+4=0,解得 r=2.又 l=4,

l 故|α|=r=2(rad). 答案 2

|sin α| |cos α| 10.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 sin α - cos α =________. 解析因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,所以角 α 是第二象限角,因 此 sin α>0,cosα<0,[来源:学|科|网 Z|X|X|K] |sin α| |cos α| sin α -cos α 故 sin α - cos α =sin α- cos α =1+1=2. 答案 2 三、解答题 tan?-3? 11. (1)确定cos 8· tan 5的符号; (2)已知 α∈(0,π),且 sin α+cosα=m(0<m<1),试判断式子 sin α-cosα 的符 号. 解(1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0, ∴原式>0. π (2)若 0<α<2,则如图所示,在单位圆中,OM=cosα,MP=sin α, ∴sin α+cosα=MP+OM>OP=1. π 若 α=2,则 sin α+cosα=1. ?π ? 由已知 0<m<1,故 α∈?2,π?. ? ? 于是有 sin α-cosα>0. 12.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cosθ. 解 ∵θ 的终边过点(x,-1),

1 ∴tan θ=-x, 又∵tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sin θ=- 2 ,cosθ= 2 ; 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- 2 ,cosθ=- 2 . 13.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长

AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, ?r=1, 解得? ?l=2.

1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4,

l ∴圆心角 α=r=2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm). 14.如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二 象限,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为 ?3 4? ?5,5?,△AOB 为正三角形. ? ? (1)求 sin∠COA;(2)求 cos∠COB. 解 4 (1)根据三角函数定义可知 sin∠COA=5.

(2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 =5· 2-5·2 = 10 .


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