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2.1.2-1异面直线的有关概念和原理(1)


重庆二外

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 第一课时 异面直线的有关概念和原理

Verakin High School of Chongqing

【复习巩固】
1.下列说法是否正确的是 :

(1)经过一点和一条直线确定一个平面;
(2)经过一点的两条相交直线确定一个平面; √

(3)两两相交的三条直线确定一个平面;
(4)首尾依次相接的4条线段在同一个平面内; (5)经过三点确定一个平面. (6)两两相交,但不交于一点的三条直线确定 一个平面. √

问题提出

1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系? 2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外,还有什么位 置关系呢?

【目标定位】

1.理解直线与直线位置关系的定义.

2.会判断空间中两直线的位置关系

知识探究(一):异面直线的概念
【思考1】教室内的日光灯管所在的直线与黑板的

左右两侧所在的直线,既不相交,也不平行;天
安门广场上,旗杆所在的直线与长安街所在的直 线,它们既不相交,也不平行.你还能举出这样的 例子吗?

知识探究(一):异面直线的概念

【思考2】如图, 长方体ABCD-A'B'C'D'中,
线段A'B所在直线分别与线段CD'所在直线, 线段BC所在直线,线段CD所在直线的位置关 系如何?
D' A' D A B B' C C'

知识探究(一):异面直线的概念
D' A' D A B B' C'

C

【思考3】我们把不在任何一个平面内的两条直线 (直线A′B与直线CD)叫做异面直线,一般地,从 字面上怎样理解异面直线?

知识探究(一):异面直线的概念
【思考4】为了表示异面直线a,b不共面的特点, 作图时,通常用一个或两个平面衬托,如图.

a
a b

β

α
(1)

b

α

b
a α
(2) (3)

知识探究(一):异面直线的概念
a b 关于异面直线的定义,表述最准确的是: . A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

a

b

知识探究(一):异面直线的概念 【思考5】空间中的直线与直线之间有几种位 置关系?它们各有什么特点? 同一平面内,有且 相交直线: 只有一个公共点;

共面直线

同一平面内,没有 平行直线: 公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有 公共点

知识探究(二):三线平行公理

【思考1】设直线a//b,将直线a在空间 中作平行移动,在平移过程中a与b仍保 持平行吗 ?

a

b

知识探究(二):三线平行公理

【思考2】如图, 在长方体ABCD—A'B'C'D' 中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与 DD′平行吗 ?
D' C' B' D A

A'

C B

知识探究(二):三线平行公理

【思考3】取一块长方形纸板ABCD,E,F分别 为AB,CD的中点,将纸板沿EF折起,在空间 中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C F

D
A C E

F

B

E

A

B

知识探究(二):三线平行公理
【思考4】通过上述实验可以得到什么结论? 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行. 【思考5】公理4叫做三线平行公理,它说明空间 平行直线具有传递性,在逻辑推理中公理4有何理 论作用?

知识探究(三):等角定理 【思考1】在平面上,如果一个角的两边与另 一个角的两边分别平行,那么这两个角的大 小有什么关系?

知识探究(三):等角定理
【思考2】如图,四棱柱ABCD--A'B'C'D' 的底 面是平行四边形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与 ∠BAD的两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何 ?
C'

B' A'
B A D'

C'

B' A'
B A

D'

C
D

C D

知识探究(三):等角定理
【思考3】如图,在空间中AB// A′B′,AC// A'C',你能证明∠BAC与∠B'A'C'相等吗?

C? E? A? D? B?

C E
A D B

知识探究(三):等角定理 【思考4】综上分析我们可以得到什么定理? 【定理】空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角相等或互补.

【思考5】上面的定理称为等角定理,在等角 定理中,你能进一步指出两个角相等的条件 吗? 角的方向相同或相反

典型例题

【例1】如图是一个正方体的表面展开图,如 果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?
C G H A D B A D B G C E F

H

E

F

三、【合作探究】
【例2】如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,判
断下列直线的位置关系:

(1)直线A'B与直线D'C;
(2)直线A'B与直线B'C; (3)直线D'D与直线D'C; A' (4)直线AB与直线B'C; D' B'

C'

D

(1)平行 (2)异面
(3)垂直 (4)异面
A B

C

典型例题
【例3】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点. (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形? A H E

D
B F

G C

四、【自我小结】
(1)本节课我们学习了哪些知识点? (2)哪些知识点你觉得你还有困难?

典型例题
1.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的点,EH与GF交于点P 求证:点P在直线BD上 A

H
E D G F C

B


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