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第十四讲 函数的周期性与对称性(一)


★高中数学

第十四讲 函数的周期性与对称性(一)
基础知识精析
1、函数的对称性 ⑴ 我们先用二次函数来推出一般函数关于某条直线对称所具有的特点。 例如:已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 ,其关于直线 x ? ?2 对称,思考下面几 个问题. ①求出 f (?4 ? x) , f (?4 ? x) 与 f ( x) 是什么关系; ②求出 f ( x ? 2) 和 f (?6 ? x) ,两者是什么关系;

小结:

函数关于直线 x ? a 对称,其特点是“将括号中的代数式求和,变

量 x 可以正负抵消”,且“和值除以 2”,得到的结果恰好是函数的对称轴. 函数关于 x ? a 对称的充要条件有多种写法,但都必须满足上面所述特点。写法 有: f ( x) ? f (2a ? x) 、 f ( x ? a) ? f (a ? x) 、 f ( x ? 3a) ? f (5a ? x) ┈ ┈等 ⑵ 探讨函数关于点对称所具有的特点。 1 例如:已知函数 f ( x ) ? 2 ? ,求出该函数的对称中心,完成下面的问题. x ?1 ①求 4- f (2 ? x) 解析式,比较 4- f (2 ? x) 与 f ( x) 的大小;

②求 f ( x ? 2) 和 4 ? f (? x) 的解析式,并比较两者的大小。

小结:

函数关于点成中心对称,其特点是:①“=”两端函数式的括号

中求和可以将变量 x 消去,且和值除以 2 得到的结果恰是对称中心的横坐标; ②将函数式移到“=”的同一端,两个函数式的“和”是一个定值,这个值除以 2 得到的结果恰是对称中心的纵坐标。(依据中点坐标公式求得)
1

函数关于点 ?a, b ? 对称,写法有: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 、 f ( x ? a) ? 2b ? f (a ? x) 等等。

2、练习 ⑴ 如果函数满足以下条件,判断该函数是轴对称图形还是中心对称图形,并求 出相应的对称轴和对称中心。 ①?(x+a)=?(a-x) 分析: ②?(x+a)=?(b-x) 分析: ③?(x+a)=-?(b-x) 分析: ④?(x+a)=-?(a-x) 分析: ⑤?(x+a)=3b-?(5a-x) 分析: . . . . .

小结:

上面推出的结论是同一个函数所具有的对称性质。再次总结如下:
( x ? a) ? (b ? x) a ? b ? 对称 2 2

⑴ f ( x ? a) ? f (b ? x) ? y ? f ( x)图象关于直线 x ?

推论 1: f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ⑵ f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c ? y ? f ( x) 图象关于点(
a?b , c )对称 2

推论 1、 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ⑶回头想想我们学过的“奇偶函数”的表达形式,你明白为什么这样写吗?
①偶函数 f (? x) ? f ( x) 图象关于 y 轴对称 ②奇函数 f (? x) ? ? f ( x) 图象关于原点 O (0,0) 对称

2

3、复合函数的奇偶性 定义: 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数 y=f[g(x)]为偶函数。 定义 2:若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函 数 y=f[g(x)]为奇函数。 说明: (1)若复数函数 y=f[g(x)]为偶函数,则有 f[g(-x)]=f[g(x)],千万不是 f[-g(x)]=f[g(x)];类似的,若复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则有 f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是 f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为 奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x) (3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴 对称(或关于点(a,0)中心对称)(提示:从平移角度解释) 4、两个不同的函数的图象对称所具有的特点
说明:已知函数 y ? f ( x) ,经过不同的变形得到不同的函数,下面就是这些不同的

函数的对称特点 .
⑴ y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称,即它们关于 y ? 0 对称;

说明:点( x , y )和点( x ,- y )关于直线 y ? 0 对称 . ⑵ y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称,即它们关于 x ? 0 对称; 说明:点( x , y )和点(- x , y )关于直线 x ? 0 对称 . ⑶ y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于 x ? a 轴对称。 说明:点( x , y )和点( 2a ? x , y )关于直线 x ? a 对称 . ⑷ y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。 说明:点( x , y )和点( x , 2a ? y )关于直线 y ? a 对称 . ⑸ y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点( a ,b)对称。 说明:点( x , y )和点( 2a ? x , 2b ? y )关于点( a ,b)对称 . a?b ⑹ y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ? 对称。 2 a?b 说明:点( a ? x , y )和点( x ? b , y )关于直线 x ? 对称 . 2
3

小结:

我们发现所谓的两个函数实质是一个函数变形而来,而且它们

“不一定相等”.我们还发现如果两个变量只有一个发生了变化,则是关于 “轴”对称,如果两个变量都发生了变化,则是关于“点”对称。
x1 ? x 2 就大错 2 特错了,我们可以由函数 y ? f ( x) 的平移变换和对称来探讨对称点和对称轴的求

怎么求对称轴和对称点呢?如果你是根据中点坐标公式: x o ?

法(证明过程略),直接求法简记为:让括号中的变量相等,然后解出 x 即可. 炸弹总结:如果一个函数关于某点的对称,且该点满足它的定义域,那么它 的图象一定通过该点,也就是说它在该点的函数值为“0” 5、例题精讲 例 1 已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则一定是函数 y ? f (2 x) 图象的对称轴的直 线是( A、 x ? ?
1 2

) B、 x ? 0 C、 x ?
1 2

D、 x ? 1
答案:C

例 2 已知定义为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? ,且函数 f ? x ? 在区间

?2,??? 上单调递增,如果 x1 ? 2 ? x2 ,且 x1 ? x 2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的
值是( ) B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负. A.恒小于 0

答案:A

6、练习 ⑴在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减 函数,则 f ( x) 满足( ) A.在区间 [-1,0]上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [?2, ?1] ,[-1,0]上是减函数,在区间[2,3], D.在区间 [?2, ?1] , 上是增函数,在区间[2,3], 上是增函数 上是减函数
答案:B

4

⑵定义在实数集上的奇函数 f ( x) 恒满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 x ? ?? 1,0? 时,有 1 f ( x ) ? 2 x ? ,则 f (log2 20) = . 5

⑶已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 图象关于

对称.

⑷函数 y ? f ( x ? 1) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于关于

对称.

⑸设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则 y ? f ( x) 的图象 关于 对称。

⑹设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则 y ? f ( x ? 1) 的 图象关于 对称; y ? f ( x) 图象关于 对称 .

⑺设 y ? f ( x) 的定义域为 R,且对任意
y ? f (2 x) 图象关于

,有 f (2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 对称 .

对称, y ? f ( x) 关于

5

⑻已知函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 满足 f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 有 5 个实根,则这 5 个实根之和为( A、5 B、10 C、15 ) D、18

⑼设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,则下列命题中, ①若 y ? f ( x) 是偶函数,则 y ? f ( x ? 2) 图象关于 y 轴对称; ②若 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 y ? f ( x) 图象关于直线 ③若 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,则函数 y ? f ( x) 图象关于直线 ④ y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 图象关于直线 其中正确命题序号为 . 对称 . 对称; 对称;

⑽函数 y ? f ( x) 定义域为 R,且恒满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 和 f ( x ? 6) ? f (6 ? x) , 1 当 2 ? x ? 6 时, f ( x) ? 2 ? x ,求 f ( x) 解析式. 2

6

⑾已知偶函数 y ? f ( x) 定义域为 R,且恒满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,若方程
f ( x) ? 0 在[0,4] 上只有三个实根,且一个根是 4,求方程在区间(-8,10] 中

的根.

7

附参考答案:
⑴-1 ⑸①y 轴 ⑺C ⑵(1,0) ②x ?1 ⑻② ④ ⑶x ?1 ⑹① x ?
1 4

⑷y 轴(也可填 x ? 0 ) ②x ?
1 2

?1 ( x ? 8k ) ? ?2 ⑼ f ( x) ? ? ?? 1 ( x ? 8k ) ? 2 ? ? 2

(8k ? 2 ? x ? 8k ? 2, k ? Z ) (8k ? 2 ? x ? 8k ? 6, k ? Z )

⑽方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 个根.

8


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