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2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式


第2课时 数列的通项公式与递推 公式

1.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任
意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项的特征 写出它的一个通项公式;(重点)

2.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;
会根据数列的递推公式写出数列的前几项.(难点)

1.数列的定义:

按照一定顺序排列的一列数称为数列. (数列具有有序性、可重复性、确定性)

2.数列与函数的关系:

数列的通项公式



我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. 注:数列与函数的关系 函数值 y=f(x) 自变量



an

(正整数集N﹡或它的有限子 通项公式 集{1,2,3, …,n})

n

例1

写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是

下列各数: 通项公式不唯 一
.

解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,

并且奇数项为正,偶数项为负,所以,它的一个通项公
式为 .

(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇数项是2, 偶数项是0,所以,它的一个通项公式为 . 思考:1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯 一吗?请举例说明. 不一定唯一.

2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗?请举例说 明. 不一定能写出. 如:

解:列表: n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9

图象如下:
10 9 8 7 6 5 4 3

an=2n-1

图象是一群 孤立的点

2
1

O

1

2

3

4

5

6

7

n

例3

图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角

形.在下图四个三角形图案中,着色的小三角形的个数依 次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公 式,并在直角坐标系中画出它的图象.

(1)

(2)

(3)

(4)

解:如图,这四个三角形图案中着色的小三角形的个数

依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指
数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是 . 在直角坐标系中的图象如图所示.

30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

1

2

3

4

数列的递推公式 1.观察以下数列,并写出其通项公式:

思考:除用通项公式外,还有什么办法可以确定这些数
列的每一项?

2.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下
, , , , ,



模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,

对于上述所求关系,若知其第n-1项,即可求出其 他项,看来,这一关系也较为重要.



递推公式也是数列的一种表示方法.

例4

设数列{an}满足

写出这个数列的前5项. 解:由题意可知

解:

1.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

解:

; ; ;


.

2.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项, 并归纳出通项公式. N*); N*); N* ).





1. 通项公式、递推公式的概念; 2. 递推公式与数列的通项公式的区别是: (1)通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推 公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系. (2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或 前几项),才可依次求出其他项.

一日一钱,十日十钱。绳锯木断,水滴石

穿。

——班固


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