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数学(理)一轮教学案:第四章第3讲 三角恒等变换 Word版含解析


第 3 讲 三角恒等变换 考纲展示 命题探究 考点 三角函数的化简与求值 1 两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(Sα+β) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(Sα-β) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(Cα+β) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β) tanα+tanβ tan(α+β)= ;(Tα+β) 1-tanαtanβ tanα-tanβ tan(α-β)= .(T - ) 1+tanαtanβ α β 2 二倍角公式 sin2α=2sinαcosα;(S2α) cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α) 2tanα tan2α= .(T ) 1-tan2α 2α 3 公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ); tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ). (2)升幂公式 α α 1+cosα=2cos22;1-cosα=2sin22. (3)降幂公式 1-cos2α 1+cos2α 2 sin2α= ; cos α = . 2 2 (4)其他常用变形 2sinαcosα 2tanα sin2α= 2 ; 2 = sin α+cos α 1+tan2α cos2α-sin2α 1-tan2α cos2α= 2 = ; cos α+sin2α 1+tan2α α? ? α cos2?2; 1± sinα=?sin2± ? ? 1-cosα α sinα tan2= = sinα . 1+cosα 4 辅助角公式 asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ), 其中 cosφ= a b . 2,sinφ= 2 a +b a +b2 2 5 角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β), α=(α+β)-β=(α-β)+β, π? π ?π ? π ? α=?4+α?-4=?α-3?+3. ? ? ? ? (2)互余与互补关系 ?π ? ?3π ? 例如,?4+α?+? 4 -α?=π, ? ? ? ? ?π ? ?π ? π ? +α?+? -α?= . ?3 ? ?6 ? 2 (3)非特殊角转化为特殊角 例如,15° =45° -30° ,75° =45° +30° . 注意点 先看角,再求值 在求值的题目中, 一定要注意角的范围, 要做到“先看角的范围, 再求值”. 1.思维辨析 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sinα+sinβ 成立.( (3)公式 tan(α+β)= ) ) tanα+tanβ 可以变形为 tanα+tanβ=tan(α+ 1-tanαtanβ ) ) β)(1-tanαtanβ),且对任意 α,β 都成立.( (4)存在实数 α,使得 tan2α=2tanα.( 有关.( 答案 1 A.2 1 C.-2 1-tan275° (2) tan75° 的值为( A.2 3 C.-2 3 答案 解 析 (1)A (2)C ) 2 3 B. 3 ) (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (5)公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值 2.(

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