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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第15章 坐标系与参数方程


掌门 1 对 1 教育 高中数学 【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第十五章 坐标系与参数方程

第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题
一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))在极坐标系中,

圆 p =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R)和?cos=2 C. ? = 答案:B 在极坐标系中,圆心坐标 ? ? 1,? ? 0,半径 r ? 1.故左切线为 ? ? B. ? =





?
2

(? ? R )和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R)和?cos=1

?
2



3? 2

右切线满足cos? ?
所以选 B
二、填空题

2

?

? ? cos? ? 2.即切线方程为: ? ?

?
2

和? cos? ? 2.

2 .(2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知圆的极坐标方

? ?? 程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ______. ? 3?

答案: 2 3 由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,即 x ? y ? 4 x ,所以 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆心 C (2, 0) 。点
2 2 2 2

P

? ? ?? 的 极 坐 标 为 ? 4, ? , 即 ? ? 4, ? ? , 所 以 x ? ? c o?s ? 3 ? 3?

4 c? o s, 3

?

2

y ? ? sin ? ? 4sin

?
3

? 2 3, 即 P(2, 2 3) ,所以 CP ? 2 3 .

3 .(2013 年高考上海卷(理))在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1 的公共点到

极点的距离为__________ 答案:

1? 5 . 2

【解答】联立方程组得 ? ( ? ? 1) ? 1 ? ? ?

1? 5 1? 5 ,又 ? ? 0 ,故所求为 . 2 2
? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于 6

4 .( 2013 年高考北京卷(理))在极坐标系中,点(2,

_________. 答案:1 在极坐标系中,点 方程为 y=2, ( 化为直角坐标为( ,1) ,到 y=2 的距离 1, 即为点 ,1) ,直线 ρsinθ=2 化为直角坐标 到直线 ρsinθ=2 的距离 1。

5 .(2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在直角坐标系 xOy

中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 答案: 16 【命题立意】 本题考查极坐标方程, 参数方程与普通方程的转化。 极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线的普通方程为 x ? 4 。参数方程化为普通方程为 y ? x ,当 x ? 4 时,解得 y ? ?8 ,
2 3
2 ? ?x ? t ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? ______ 3 y ? t ? ?

即 A(4,8), B(4, ?8) ,所以 AB ? 8 ? (?8) ? 16 。
6 .(2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版))(坐标系与参数

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t ( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的 方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?
切线为 l ,以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 _____________.

答案:

? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2 4?

? sin ? ? ?

? ?

??

2 2 ? ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 2 ,其在点 ?1,1? 处的切线 l 的方程为 4?

?? ? x ? y ? 2 ,对应的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,即 ? sin ? ? ? ? ? 2 . 4? ?
7 .(2013 年高考陕西卷(理))C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的

倾斜角 ? 为参数, 则圆 x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .
y

P θ

O

x

? x ? cos2 ? 答案: ? ,? ? R ? y ? cos? ? sin ?

1 1 1 圆的方程 ? (x ? ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ? 圆的半径 r ? 2 2 2

? OP ? cos? ? 2r ? cos? ? x ? OP ? cos? ? cos2 ? , y ? OP ? sin ? ? cos? ? sin ? 。
? x ? cos2 ? 所以圆的参数方程为 ? ,? ? R ? y ? cos? ? sin ?
8 . (2013 年高考江西卷 (理) ) (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t
2 ?y ? t

(t

为参数),若以直角坐标系的原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,则曲线 c 的极坐标方程为__________ 答案: ? cos
2

? ? sin ? ? 0
o s ? ?x ? ? c i n ? ?y ? ? s

本题考查参数方程与极坐标方程的转化。 曲线 C 的普通方程为 y ? x2 。 将? 代入 y ? x ,得 ? sin ? ? ? cos
2 2 2

? ,即 ? cos2 ? ? sin ? ? 0 。所以曲线 c 的极坐标方

程为 ? cos

2

? ? sin ? ? 0 。

9 .(2013 年高考湖南卷(理))在平面直角坐标系 xoy 中,若

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?
(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
答案:3 本题考查参数方程与普通方程的转化。直线的普通方程为 y ? x ? a 。椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右顶点为 (3, 0) ,所以点 (3, 0) 在直线 y ? x ? a 上,代入解得 a ? 3 。 9 4

10 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) ) 在 直 角 坐 标 系

xOy 中 , 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单 ? ? y ? b sin ?
位 , 且以原点 O 为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中 , 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点 , 且与 ?? 4? 2

圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为___________. 答案:

6 3
x2 y 2 ? ? 1 。由 a 2 b2

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化。椭圆的标准方程为

? sin(? ?

?
4

)?

2 2 2 m得 ( ? sin ? ? ? cos ? ) ? m ,即直线方程为 x ? y ? m ? 0 。由 2 2 2

? ? b , 得 ? 2 ? b2 , 即 x 2 ? y 2 ? b 2 , 所 以 圆 的 标 准 方 程 为 x 2 ? y 2 ? b 2 。 因 为 直 线
x ? y ? m ? 0 过椭圆的焦点,代入得 m ? ? c 。直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切,


m 2

? b ,即 m ? 2b 。所以 c ? 2b ,解得 a ? 3b ,所以离心率 e ?

c 2b 6 。 ? ? a 3 3b

三、解答题 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) (纯 WORD 版含答案) ) 选修 4—4;

坐标系与参数方程 已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

12.(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))选修 4-4:坐标系

与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a , b 的值. ? y ? t ?1 ? 2

13.(2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版))坐标系与参数

方程:在平面直角坐标系中 ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系 .已 知点 A 的极坐标为 ( 2,

?

) ,直线的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上. 4 4

?

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ? 解:(Ⅰ)由点 A( 2,

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

14. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]本小题满分 10 分. 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ( t 为参数),曲线 C 的参数方 ? y ? 2t

? x ? 2 tan2 ? 程为 ? ( ? 为参数),试求直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点 y ? 2 tan ? ?
的坐标. C 解 :∵ 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ?

?x ? t ? 1 ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 ? y ? 2t

2x ? y ? 2 ? 0 ①
同理得曲线 C 的普通方程为 y ? 2 x
2



①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ( 2,2) , ( ,?1)
15.(2013 年高考新课标 1(理))选修 4—4:坐标系与参数方程

1 2

已知曲线 C1 的参数方程

为?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , ? y ? 5 ? 5sin t

曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? .

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 将?

? x ? 4 ? 5cos t 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ?
2 2

即 C1 : x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 , 将 ? 得,

? x ? ? cos ? 2 2 代 入 x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? ? 8 ? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ;
2

(Ⅱ) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 解得 ? 或? ,∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分 2 2 ? ?y ?1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

别为( 2,

?
4

), (2,

?
2

).

2012 年高考题
?x=2pt2, ? 1. [2012· 天津卷] 已知抛物线的参数方程为? (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准 ?y=2pt ?

线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p= ________. 答案:2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质,考查运算求解能力及转化思
?x=2pt2, ? 想,中档题.将参数方程 ? ? ?y=2pt

p ? 化为普通方程为 y2 = 2px(p>0) ,并且 F ? ?2,0? ,

p p ? E? ?-2,± 6p?,又∵|EF|=|MF|=|ME|,即有 3+2= p=± 2(负值舍去),即 p=2.

?p-?-p??2+?± 6p-0?2,解之得 ?2 ? 2??

π 2. [2012· 上海卷] 如图 1-1 所示,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α= , 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)=________.

图 1-1

1 答案: π ? sin? ?6-θ?

[解析] 考查极坐标方程,关键是写出直线的极坐标方程,再按要求化简.

π 由已知得直线方程为 y=(x-2)tan ,化简得 x- 3y-2=0,转化为极坐标方程为: 6 ρcosθ- 3ρsinθ-2=0,解得 ρ= 2 1 = ,所以 π ? cosθ- 3sinθ -θ sin? ?6 ?

f(θ)=

1 . π -θ? sin? ?6 ?

3.[2012· 陕西卷]直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为________. 答案: 3 [解析 ] 本题考查了极坐标的相关知识,解题的突破口为把极坐标化为直角坐 标.由 2ρcosθ=1 得 2x=1①,由 ρ=2cosθ 得 ρ2=2ρcosθ,即 x2+y2=2x②,联立①②得 y 3 =± ,所以弦长为 3. 2 4. [2012· 辽宁卷]在直角坐标系 xOy.圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以 O 为极 点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.
?ρ=2, ? π π π 2, ?,?2,- ?. 解? 得 ρ=2,θ=± .故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? 3 3? ? ? ? 3 ? ?ρ=4cosθ

注:极坐标系下点的表示不唯一.
?x=ρcosθ, ? (2)(解法一)由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρsinθ ? ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t ? ?x=1, ? ? ?y=y

(或参数方程写成? (解法二)

- 3≤y≤ 3)

?x=ρcosθ, ? 在直角坐标系下求得弦 C1C2 的方程为 x=1(- 3≤y≤ 3). 将 x=1 代入? 得 ?y=ρsinθ ? ? ?x=1, 1 π π .于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - ≤θ≤ . cosθ 3 3 ?y=tanθ, ?

ρcosθ=1,从而 ρ=

? ?x=2cosφ, 5. [2012· 课标全国卷]已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数), 以坐标原点为极点, ? ?y=3sinφ

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都

π? 在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为? ?2,3?.(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标;(2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π π π π π π π π 解:(1)由已知可得 A2cos ,2sin ,B2cos + ,2sin + ,C2cos +π,2sin +π, 3 3 3 2 3 2 3 3 π 3π π 3π D2cos + ,2sin + , 3 2 3 2 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. π? 3 ? π? 6. [2012· 江苏卷]在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4?,圆心为直线 ρsin?θ-3?=- 2 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. π 3 θ- ?=- 中令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). 解:在 ρsin? ? 3? 2 π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?,所以圆 C 的半径 PC= 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ.
? ?x=t+1, 7. [2012· 湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲线 C2: ?y=1-2t ? ?x=asinθ, ? ? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. ? ?y=3cosθ

π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 4

3 答案: [解析] 考查直线与椭圆的参数方程,此类问题的常规解法是把参数方程转化为普 2 通方程求解,此题的关键是,得出两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交
? ?x=t+1, 点,化难为易.曲线 C1:? ?y=1-2t ?

(t 为参数)的普通方程是 2x+y-3=0,曲线 C2 的普

3 ? x2 y2 通方程是 2+ =1,两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交点? ?2,0?,代 a 9

入曲线 C2,得

?3?2 2 ?2? 0
a2

3 + =1,解得 a= . 9 2

8. [2012· 湖北卷]在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. 已
? ?x=t+1, π 知射线 θ= 与曲线? 2 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标 4 ?y=?t-1? ?

为________. 5 5? 答案:.? ?2,2?

?x=t+1, [解析] 曲线? ?y=(t-1)2

π 化为直角坐标方程是 y=(x-2)2,射线 θ= 化为 4

?y=(x-2)2, 直角坐标方程是 y=x(x≥0).联立? ?y=x(x≥0),

消去 y 得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2 5 5? x1+x2 y1+y2? ,即? , ?2,2?. 2 ? ? 2 2 3 π? ,圆 C 的参数方程为 ? 3 ,2?

=4.所以 y1=1,y2=4.故线段 AB 的中点的直角坐标为?

9.[2012· 福建卷]在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.已知直线 l 上两点 M ,N 的极坐标分别为 (2,0) ,?

?x=2+2cosθ, (θ 为参数). (1)设 P 为线段 MN 的中点, 求直线 OP 的平面直角坐标方程; ? ?y=- 3+2sinθ
(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 2 3? 解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ,又 P 为线段 MN 的中点, 3 ? ? 从而点 P 的平面直角坐标为?1,

?

3 3? ,故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3 3?

2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ,所以直线 l 的平面直角 3 ? ? 坐标方程为 3x+3y-2 3=0.又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2,圆心到直线 l 的 |2 3-3 3-2 3| 3 距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 3+9 π 10. [2012· 安徽卷] 在极坐标系中, 圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离是________. 6 答案: 3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化,圆的方程,点到直线的距离.
? ?x=ρcosθ, 应用极坐标与直角坐标的互化公式? ?y=ρsinθ ?

将圆 ρ=4sinθ 化为直角坐标方程为 x2+ 3

(y-2)2=4,直线 θ=6化为直角坐标方程为 y= 3 x.因为 x2+(y-2)2=4 的圆心为(0,2),
所以圆心(0,2)到直线 y=

π

|2×(-3)| 3 x,即 3x-3y=0 的距离为 d= = 3. 3 ( 3)3+32

?x=2+t, ?x=3cosα, ? ? 11. [2012· 北京卷] 直线? (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交点个数为 ?y=-1-t ?y=3sinα ? ?

________. 答案:2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系,考查参数方程和普通方程之间的转化 等基础知识,考查数形结合思想的运用.方程转化为普通方程,直线为 x+y=1,圆为 x2+ |1| 1 y2=9,法一:圆心到直线的距离为 d= = <3,所以直线与圆相交,答案为 2. 2 2
?x2+y2=9, ? 法二:联立方程组? 消去 y 可得 x2-x-4=0,Δ>0,所以直线和圆相交, ? x + y = 1 , ?

答案为 2. 12.[2012· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参

?x= 2cosθ, ?x=t, 数方程分别为? (t 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标 ?y= t ?y= 2sinθ
为________. 答案:(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化,突破口是把参数方程 转化为直角坐标方程,利用方程思想解决,C1 的直角坐标方程为:y2=x(x≥0),C2 的直角
2 ? ? ?y =x, ?x=1, ? 坐标方程为:x +y =2,联立方程得: 2 2 解得? 所以交点坐标为(1,1). ?x +y =2, ? ? ?y=1, 2 2

13. [2012· 江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0, 以 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________. 答案:(1)ρ=2cosθ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化;解题的突破口是利用点 P 的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)的关系转化.由于 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,因此 x2+y2-2x =0 的极坐标方程为 ρ=2cosθ.
? 3 3 ? - ≤x≤ ? (2)?x? 2 ? ? ? 2

[解析] 考查绝对值不等式的解法,以及分类讨论思想;解题的突

1 破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号,将不等式转化为一般不等式(组)求解.当 x> 时, 2 3 1 3 1 原不等式可化为 2x-1+2x+1≤6,解得 x≤ ,此时 <x≤ ;当 x<- 时,原不等式可化为 2 2 2 2 3 3 1 1 1 -2x+1-2x-1≤6,解得 x≥- ,此时- ≤x<- ;当- ≤x≤ 时,原不等式可化为 1- 2 2 2 2 2 3 3? 1 1 2x+2x+1≤6,解得 x∈R,此时- ≤x≤ .综上,原不等式的解集为? ?-2,2?. 2 2

?x=2+tcosα, 14.在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l:? (t 为参数)与曲线 C: ?y= 3+tsinα
? ?x=2cosθ, π ? (θ 为参数)相交于不同两点 A,B.(1)若 α= ,求线段 AB 中点 M 的坐标;(2) 3 ?y=sinθ ?

若|PA|· |PB|=|OP|2,其中 P(2, 3),求直线 l 的斜率. x2 解:设直线 l 上的点 A,B 对应参数分别为 t1,t2.将曲线 C 的参数方程化为普通方程 +y2 4

?x=2+2t, π =1.(1)当 α= 时,设点 M 对应参数为 t .直线 l 方程为? 3 3 ?y= 3+ 2 t
0

1

(t 为参数).

t1+t2 x2 28 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得 13t2+56t+48=0,则 t0= =- , 4 2 13 所以,点 M 的坐标为? 12 3? . ,- 13 13 ? ?

?x=2+tcosα, x2 (2)将? 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得(cos2α+4sin2α)t2+(8 3sinα 4 ?y= 3+tsinα
+4cosα)t+12=0,因为|PA|· |PB|=|t1t2|= 12 12 2 =7. 2 ,|OP| =7,所以 2 cos α+4sin α cos α+4sin2α
2

5 5 得 tan2α= .由于 Δ=32cosα(2 3sinα-cosα)>0,故 tanα= . 16 4

所以直线 l 的斜率为

5 . 4

2011 年高考题
1. (2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中,点 ( ?, 为

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离

(A)2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

【命题意图】 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化, 属于容易题. 【答案】D

? 3 2 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,其圆心为(1,0),
∴所求两点间距离为 (1 ? 1) ? ( 3 ? 0) = 3 ,故选 D.
2 2

【解析】 极坐标系中的点 (2, ) 化为直角坐标系中的点为 ( 1, 3 ) ; 极坐标方程 ? ? 2cos ?

2. (2011 年高考安徽卷理科 3)在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, )

? 2

B. (1, ? )

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化,是简单题. 【解析】: ? ? ?2sin ? ? x ? ( y ? 1) ? 1 ,圆心直角坐标为(0,-1),极坐标为 (1, ?
2 2

? ), 2

选 B。

1.(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ? 率

? x ? 8t 2 , ? y ? 8t.

( t 为参数),若斜

坐标方程为 答案: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 。
2 2

解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点:1、 x ? ? ? cos ? , y ? ? ? sin ? ,2、

? 2 ? x 2 ? y 2 即可。根据已知
? ? 2 sin ? ? 4 cos ? = 2 ?
所以解析式为:

y

?

?4

x

?

, 化简可得:? 2 ? 2 y ? 4 x ? x 2 ? y 2 ,

x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 0

3. (2011 年高考湖南卷理科 9)在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (? ? y ? 1 ? sin ?

为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴) 中, 曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 , 则 C1 与 C2 的交点个数为 答案:2 解析:曲线 C1 : x ? ( y ?1) ? 1 , C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离
2 2



d?

| 0 ? 1 ? 1| ? 0 ? 1 ,故 C1 与 C2 的交点个数为 2. 2

4. (2011 年高考广东卷理科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
【解析】 (1,

.

? x ? 5 cos? 2 5) ? (0≤? ? ? ) 消去参数后的普通方程为 5 ? y ? sin ?

5 ? 4 ?x ? t 2 x2 2 2 ? y ? 1(? 5 ? x ? 5 ,0 ? y ? 1) , ? 4 消去参数后的普通方程为 y ? x 联 5 5 ? ?y ? t 2 5 ,所以它们的交点坐标为 立两个曲线的普通方程得 x ? ?5(舍)或x ? 1, 所以 y ? 5 2 (1, 5 ). 5
5. (2011 年高考湖北卷理科 14)如图, 直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ? , 直角坐标系 x ' oy ' Oy (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在平面为 ? , ?xox ' ? 45? (Ⅰ)已知平面内有一点 P (2 2, 2) ,则点 P ' 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为 (Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '? 2)2 ? 2 y '2 ? 2 ? 0 ,则曲线
C ' 在平面 ? 内的射影 C 的方程是



.

答案:(2,2) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 解析: 设P为 (a, b) ,因为 y 轴与 y' 轴重合, 故 P' 到 y 轴距离为 2 2 , 到 x 轴距离为 2,又因为∠xox'=45°,则 b=2,a= 2 2 ? sin 45? ? 2, 故 P(2,2).设面 β 内任意一点 P(x,y)其在 ? 内射影为 P?( x?, y?) ,由平面图形可知, x ? x? ? sin 45? ,
y ? y ? ,即 x? ? 2 x , y ? ? y ,故方程为 ( 2 x ? 1)2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? 0 .

6.(2011 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 : ? 参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 【答案】3 【解析】:由 ?

? x ? 3 ? cos ? (? 为 ? y ? 4 ? sin ?

? x ? 3 ? cos ? 得圆心为 C1 (3, 4), r1 ? 1 ,由 ? ? 1 得圆心为 C2 (0,0), r1 ? 1, ? y ? 4 ? sin ?

由平几知识知当 A、B 为 C1C2 连线与两圆的交点时 AB 的最小值,则 AB 的最小值为

| C1C2 | ?2 ? (3 ? 0) 2 ? (4 ? 0) 2 ?2 ? 5 ? 2 ? 3 .
7. (2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中, 直线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与直线 ? cos ? ? 1 的夹角大小为 【答案】 arccos 。

2 5 5

1.(2011 年高考辽宁卷理科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)曲线 C2 的参数 ? y ? sin ? ,

方程为 ?

? x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐 ? y ? b sin ? ,
π 2

标系中, 射线 l: θ = ? 与 C1, C2 各有一个交点.当 ? =0 时, 这两个交点间的距离为 2, 当? = 时,这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

π π 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1, 4 4

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解:(I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两 点间的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?

2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两

点重合,所以 b=1. (II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 9

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2

x? ?

3 10 . 10

当? ? ? 此,

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因

四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

…………10 分

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程在 直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM ,(1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ;(2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点 A,B 求 AB 解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与曲线 C1 ,C 2 交于不同于原点的

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos ? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。 3 3
射线 ? ? 所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t
解析: 考察参数方程与普通方程的互化、 椭圆的基本性质、 直线方程、 两条直线的位置关系,

中档题。椭圆的普通方程为

? x ? 4 ? 2t x2 y 2 ? ? 1, 右焦点为(4,0),直线 ? ( t 为参数) 25 9 ?y ? 3?t
1 1 ;所求直线方程为: y ? ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2

的普通方程为 2 y ? x ? 2 ,斜率为:

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) . ? y ? sin ? ? ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解析:本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想。满分 7 分。 解:(I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

) 化为直角坐标,得 P(0,4)。

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
由此得,当 cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 , 6 2

?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2.

2010 年高考题
一、选择题

? x ? ?1 ? t 1.(2010 湖南文)4. 极坐标 p ? cos ? 和参数方程 ? (t 为参数)所表示的图形分 ? y ?2?t
别是 A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线

【答案】 D

2.(2010 重庆理)(3) lim ?
x ?2

1 ? ? 4 ? ?= 2 ? x ?4 x?2?
1 4
C.

A.

—1

B.



1 4

D. 1

【答案】 B 解析: lim ?
x ?2

2? x ?1 1 1 ? ? 4 ? lim ?? ? ? = lim ( 2 2 4 ? x ? 4 x ? 2 ? x?2 ( x ? 4)(x ? 2) x ?2 x ? 2

3.(2010 北京理)(5)极坐标方程(p-1)( ? ? ? )=(p ? 0)表示的图形是 (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 【答案】C 4.(2010 湖南理)5、 A、 ?2 ln 2 (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

?

4

2

1 dx 等于 x
C、 ? ln 2 D、 ln 2

B、 2 ln 2

5.(2010 湖南理)3、极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? 图形分别是 A、圆、直线 C、圆、圆 B、直线、圆

? x ? ?1 ? t ( t 为参数)所表示的 ? y ? 2 ? 3t

D、直线、直线

6.(2010 安徽理)7、设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数),直线 l 的方 ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为 10
D、4

程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 【答案】B B、2

C、3

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ,圆心 (2, ? 1) 到直线

x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2 ? 3 ? (?1) ? 2 | 7 ? 10 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行 10 10

的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 符合要求,所以选 B.

7 10 7 10 ? 3? ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点 10 10

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 ? 3? ,进而得出结论. 10 10
二、填空题

cos
1.(2010 上海文)3.行列式

?
6

sin cos

?
6

sin
【答案】 0.5

?
6

?
6

的值是



cos
解析:考查行列式运算法则

?
6

sin cos

?
6

sin

?
6

?
6

= cos

π π π π ? 1 cos ? sin sin ? cos ? 6 6 6 6 3 2

2.(2010 陕西文)15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题评分) A.(不等式选做题)不等式 2 x ?1 <3 的解集为. 【答案】 x ?1 ? x ? 2 。

?

?

解析: 2x ? 1 ? 3 ? ?3 ? 2x ? 1 ? 3 ? ?1 ? x ? 2 B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以

AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD=
【答案】

cm.

16 5 16 5

解析:? CD ? AB ,由直角三角形射影定理可得

BC 2 ? BD ? BA, 又BC ? 4, BA ? 5, 所以 BD ?
C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)化成普通方程为 ? y ? 1 ? sin ?

【答案】x +(y-1) =1. 解析: x ? ( y ? 1) ? cos
2 2 2

2

2

? ? sin 2 ? ? 1

3.(2010 北京理)(12)如图, ? O 的弦 ED,CB 的延长线交于 点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3,则 DE= = 【答案】5 。 ;CE

2 7

4.(2010 天津文)(11)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 PB=1,PD=3,则 【答案】

BC 的值为 AD



1 3

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于容易题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?DAB ? ?PCB, ?CDA ? ?PBC ,因为 ? P 为公共角,所以 ⊿PBC∽⊿PAB,所以

BC PB 1 = = AD PD 3

【温馨提示】 四点共圆时四边形对角互补, 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容,也是考查的热点。 5.(2010 天津理)(14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若

BC PB 1 PC 1 = , = ,则 的值为 AD PA 2 PD 3



【答案】

6 6

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角 形的性质,属于中等题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?DAB ? ?PCB, ?CDA ? ?PBC ,因为 ? P 为公共角,所以

⊿PBC∽⊿PAB,所以

PB PC BC x y 6y ? ? .设 OB=x,PC=y,则有 ,所以 ? ?x? PD PA AD 3 y 2x 2

BC x 6 ? ? AD 3 y 6
【温馨提示】 四点共圆时四边形对角互补, 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容,也是考查的热点。 6.(2010 天津理)(13)已知圆 C 的圆心是直线 ? C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

? x ? 1, 与 x 轴的交点,且圆 (t为参数) ? y ? 1? t

本题主要考查直线的参数方程,圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识,属于容易题。 令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

?x ? t 与 x 轴的交点为(-1.0) ? y ? 1? t
| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 2

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 7.(2010 广东理)15、 (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 (ρ ,θ ) (0 ≤ θ <2π ) 中,曲线 ρ = 2 sin ? 【答案】 ( 2, 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______.

3? ). 4

由极坐标方程与普通方程的互化式 ?

? x ? ? cos ? , 知,这两条曲线的普通方程分别为 ? y ? ? sin ?

? x ? ?1, ? x ? ? cos ? , 3? ). 由? 得点(-1,1)的极坐标为 ( 2, x2 ? y 2 ? 2 y, x ? ?1.解得 ? 4 ? y ? 1. ? y ? ? sin ?
8.(2010 广东理)14、(几何证明选讲选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条 弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD= 【答案】

2a ,∠OAP=30°,则 CP=______. 3

9 a 8

因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知, OP ? AB . 在 Rt ?OPA 中, BP ? AP ? a cos 30 ?
?

3 a .由相交线定理知, 2

BP ? AP ? CP ? DP ,即

9 3 3 2 a? a ? CP ? a ,所以 CP ? a . 8 2 2 3

9.(2010 广东文)15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲 线 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1的交点的极坐标为 .

10.(2010 广东文)14.(几何证明选讲选做题)如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥AB,CB ? AB ,AB=AD= a ,CD= 点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 【答案】

a , 2

a 2

解:连结 DE,可知 ?AED 为直角三角形。则 EF 是 Rt ?DEA 斜边上的中线,等于斜边的一 半,为

a . 2

三、解答题 1.(2010 辽宁理)(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E (I)证明: ?ABE

?ADC

(II)若 ?ABC 的面积 S ? 证明:

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2

(Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB=?ACD 故△ABE∽△ADC. (Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以 ……5 分

AB AD ? ,即 AB·AC=AD·AE. AE AC 1 1 又 S= AB·ACsin ?BAC ,且 S= AD·AE,故 AB·ACsin ?BAC = AD·AE. 2 2
则 sin ?BAC =1,又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC =90°. 2.(2010 辽宁理)(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ……10 分

已知 P 为半圆 C:

( ? 为参数,0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0),

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

? ? , ). 3 3

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3
……5 分

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

?
6

,

3? ),A(0,1),故直线 AM 的参数方程为 6

? ? x ? 1 ? ( ? 1)t ? 6 ? (t 为参数) ? ? y ? 3? t ? 6 ?

……10 分

3.(2010 辽宁理)(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c 均为正数, 证明:a ? b ? c ? (
2 2 2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时, a b c

等号成立。 证明:(证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3(abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ? 3(abc) 3 a b c

2



所以 ?

2 ? ? 1 1 1? ? ? ? ? 9(abc) 3 ?a b c?

2



……6 分

故a ?b ?c ?( ?
2 2 2

1 a

2 2 ? 1 1 2 ? ) ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . b c

又 3(abc) ? 9(abc) 所以原不等式成立.

2 3

?

2 3

? 2 27 ? 6 3

③ ……8 分
2 ? 2 3

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立。当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc) 成立。
1

时,③式等号

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。 (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得

……10 分

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ac
所以 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac
2 2 2

① ② ……6 分

同理

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 2 故a ?b ?c ?( ? ? ) a b c

? ab ? bc ? ac ? 3 ?6 3

1 1 1 ?3 ?3 ab bc ac



所以原不等式成立.

……8 分

当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立, 当且仅当 a=b=c,(ab)2 ? (bc)2 ? (ac)2 ? 3 时,③式等号成立。
1

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。

……10 分

4.(2010 福建理)21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题 做答,满分 14 分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把 所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M= ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ?,N ?? ? ,且 MN ? ? ?, ?b 1? ?0 d ? ? ?2 0 ?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值;(Ⅱ)求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方 程。 (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数)。在极坐标系(与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ) 求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、 B, 若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围。 (1)选修 4-2:矩阵与变换

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力。

?c ? 0 ? 2 ?a ? ?1 ?2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 【解析】(Ⅰ)由题设得 ? ,解得 ? ; ?bc ? 0 ? ?2 ?c ? 2 ? ? ?2b ? d ? 0 ?d ? 2
(Ⅱ)因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线 y ? 3x 上的 两(0,0),(1,3), 由?

? 1 ?1? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?1? ? 1 ? ? ?2 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? 得:点(0,0),(1,3)在矩阵 M 所对 ? ?1 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 1 ? ? 3 ? ? 2 ?

应的线性变换下的像是(0,0),(-2,2),从而 直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y ? ? x 。 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基 础知识,考查运算求解能力。 【解析】(Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

? ?t ? t2 ? 3 2 , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: t t ? 4 ? ?12

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 (3)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】 本小题主要考查绝对值的意义、 绝对值不等式等基础知识, 考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 ,又已知不等式 f ( x) ? 3 的 解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

? ?2 x ? 1,x < ? 3 ? g (x)=|x-2|? | x ? 3| = ?5, ? 3 ? x ? 2 ,所以 ? 2 x ? 1,x >2 ?
当 x<-3 时, g(x)>5 ;当 -3 ? x ? 2 时, g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。 5.(2010 江苏卷)21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应 ....... .... 的答题区域内作答 。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或 ........ 演算步骤。 A. 选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证 能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=30 ,∠DOC=60 , 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=90 ,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=90 。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。
0 0 0 0

D

A O

B

C

B. 选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵

M= ?

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? 点 A、 B、 C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、 B1、 C1, △A1B1C1 ? ?, ? 0 1? ?1 0 ?

的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? ?? ??? ? ,可知 A1(0,0)、B1(0,-2)、C1( k ,-2)。 ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: ? ? 2?cos? ,圆ρ =2cosθ 的普通方程为: x ? y ? 2x,( x ?1) ? y ? 1 ,
2 2 2 2 2

直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 的普通方程为: 3x ? 4 y ? a ? 0 ,

又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42

? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。

D. 选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 [解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]

? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]

因为实数 a、b≥0, ( a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0 所以上式≥0。即有 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 (方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )
? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。

2009 年高考题 一、填空题 1、(09 广东理 14)(坐标系与参数方程选做题)若直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 ? y ? 2 ? 3t

4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =
【解析】将 ?

.

? x ? 1 ? 2t 3 3 7 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; k ? 2? ? k ?

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ? 当 k ? 0 时,直线 y ? ? 综上可知, k ? ?6 . 答案

3 7 x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直. 2 2

?6

2、(09 广东理 15) (几何证明选讲选做题)如图 3,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4,

?ACB ? 30o ,则圆 O 的面积等于

.

图3 【解析】连结 AO,OB,因为 ?ACB ? 30 ,所以 ?AOB ? 60 , ?AOB 为等边三角形,故圆
o o 2 O 的半径 r ? OA ? AB ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r ? 16? .

答案

16?

3、(天津理 13) 设直线 l1 的参数方程为 ? 则 l1 与 l2 的距离为_______

?x ? 1? t (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4 ? y ? 1 ? 3t

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为 答案
3 10 5

|4?2| 10

?

3 10 。 5

4、(09 安徽理 12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中 取相同的长度单位。 已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? ? R) , 它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______.
2 2 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4

∴ | AB |? 2 22 ? (

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

答案 二、解答题 5、(09 海南 22)本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60 ,F 在 AC 上,
0

且 AE ? AF 。 (Ⅰ)证明:B,D,H,E 四点共圆: (Ⅱ)证明: CE 平分 ? DEF 。 解:(Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°,

开始

a ?1
a ? 2a ? 1


a ? 100 ?

故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF. 6、(09 海南 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数), C 2 : ? ( ? 为参数)。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

解:(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

7、(09 海南 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原 点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?



(Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30. (Ⅱ)依题意,x 满足 {

4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, 0 ? x ? 30.

解不等式组,其解集为【9,23】 所以

x ? [9, 23].

8、(09 江苏)A.选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD. 求证:AB∥CD. 【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识, 考查推理论证能力。满分 10 分。 证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四点 共圆, 从而∠CBA=∠CDB。 再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。 因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。 B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 求矩阵 A ? ?

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1? ?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? 则 , ? ?2 1 ? ? z w? ? ?0 1? , ? z w? ? ?? ? ? ?

【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

即?

?3x ? 2 z 3 y ? 2w? ?1 0? ?3x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2w ? 0, ? ??? ?,故 ? ? 2 x ? z 2 y ? w ? ?0 1? ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1, ? ?1 2 ? ?? ?. ? 2 ?3?

解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 , 从而 A 的逆矩阵为 A
?1

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? x ? t ? ? ? t , ( t 为参数, t ? 0 ). 已知曲线 C 的参数方程为 ? 1 ? y ? 3(t ? ) ? t ?
求曲线 C 的普通方程。 【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。

解 因为 x ? t ? ? 2, 所以 x ? 2 ? t ? ?
2 2

1 t

1 t

y , 3

故曲线 C 的普通方程为: 3x 2 ? y ? 6 ? 0 . D. 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a ≥ b >0,求证: 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

证明: 3a3 ? 2b3 ? (3a2b ? 2ab2 ) ? 3a2 (a ? b) ? 2b2 (b ? a) ? (3a2 ? 2b2 )(a ? b). 因为 a ≥ b >0,所以 a ? b ≥0, 3a ? 2b >0,从而 (3a2 ? 2b2 )(a ? b) ≥0,
2 2

即 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

9、(09 辽宁理 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 已知 ? ABC 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 ? AC 上

的点(不与点 A,C 重合),延长 BD 至 E。 (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求 ? ABC 外接圆的面积。 解(Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 . 设圆半径为 r,则 r+
3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2
0 0 0

10、 (09 辽宁理 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 ? 解(Ⅰ)由 ? cos(? ? ) ? 1得 3

?
3



? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为
1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 (0,
2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ? 11、(09 辽宁理 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | 。 (1)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 解(Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

2005—2008 年高考题 一、填空题 1.(2008 广东理)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方 程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤? ? 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 答案 .

? ?

π? ?, 2?

(2 3, ) 6
2

?

2. (2008 广东理) (不等式选讲选做题) 已知 a ? R , 若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 有实根,则 a 的取值范围是 答案 .

1 ? a ?0 4

1 0?a? 4

3. (2008 广东理) (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A ,PA ? 2 .AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 答案 二、解答题 4.(2008 宁夏理)(10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A, 过 A 作直线 AP 垂直于直线 OM,垂足为 P. (1)证明:OM·OP = OA ; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直于直线 ON, 且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线 交直线 ON 于 K.证明:∠OKM = 90°. (1)证明 因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知, OA ? OM ? OP.
2
2

3

(2)证明 因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK . 同(1),有 OB ? ON ? OK ,又 OB ? OA ,
2

所以 OP ? OM ? ON ? OK ,即 又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90? . 5.(2008 宁夏理)(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 ? 2 t? 2 ?x ? x ? cos ? ? ? 2 已知曲线 C1: ? ,曲线 C : 2 (? 为参数) (t为参数) . ? y ? sin ? ? ?y ? 2 t ? ? 2 (1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' .写出

C1 ' , C2 ' 的参数方程. C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说
明你的理由. 解(1) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 . C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? C1? : ? ( ? 为参数); C 2? : ? 1 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数). 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 6.(2008 宁夏理)(10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | . (1)作出函数 y ? f ( x) 的图象; (2)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 .

?4, ? 解(1) f ( x ) ? ? ?2 x ? 12, ? ?4 ?
图象如下:

x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.
y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(2)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 , 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 . 由函数 f ( x ) 图象可知,原不等式的解集为 (?∞, 5) . 7.(2008 江苏)A.选修 4-1:几何证明选讲? 如图所示,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线 2 交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证:ED =EC·EB.? B.选修 4-2:矩阵与变换? 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 4x +y =1 在矩阵 A= ? 求 F 的方程.? C:选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,设 P(x,y)是椭圆 求 S=x+y 的最大值. D:选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c 为正实数,求证:
2 2

?2 ?0

0? 对应的变换下得到曲线 F, 1? ?

x2 ? y 2 ? 1 上的一个动点, 3

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. 3 a b c

A.证明: 如图所示,因为 AE 是圆的切线,? 又因为 AD 是∠BAC 的平分线,? 所以∠BAD=∠CAD.? 从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.?

因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD,? 所以∠ADE=∠DAE,故 EA=ED.? 2 2 因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知,EA =EC·EB,?而 EA=ED,所以 ED =EC·EB. B.解: 设 P(x0,y0)是椭圆上任意一点, 点 P(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点 P′(x′0,y′0),则有

x′ ? 0 , ? x′ ?2 0? ? x0 ? ? x′ ? x0 ? 0? 0 ? 2 x0 , 2 ? y′ ? ? ?0 1 ? ? y ?,即? y′? y , 所以? ?? 0 ? ? 0 0 ? 0? ? ? 0. ? y0 ? y′
2 2 2 2 又因为点 P 在椭圆上,故 4x0 ? y0 ? 1, 从而( x′ 0 ) ? ( y′ 0 ) ? 1.

所以曲线 F 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. C.解:由椭圆

? x ? 3 cos? , x2 ? y 2 ? 1的参数方程为 (?为参数), ? 3 ? y ? sin ?

故可设动点 P 的坐标为( 3 sin ? , sin ? ),其中 0 ? ? ? 2? . 因此, S ? x ? y ? 3 cos? ? sin ? ? 2 ? ? 所以当 ? ?

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? ?. ? 2 ? 2 3 ? ? ? ?

?
6

时, S取得最大值 2.

D.证明:因为 a,b,c 是正实数,由平均不等式可得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 3 ? 3 ? 3 ,即 3 ? 3 ? 3 ? . 3 abc a b c a b c a b c 所以
所以

1 1 1 3 3 3 ? 3 ? 3 ? abc ? ? abc.而 ? abc ? 2 ? abc ? 2 3, 3 abc abc abc a b c

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. 3 a b c

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题

一.基础题组
1. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末考试】(本题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : x ? y ? 2 ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单 位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足 | OQ | ? | OP |?| OR |2 , 当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程.

试题解析:(Ⅰ)将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其 极坐标方程为

C : ? ? 2 , l : ? (cos? ? sin ? ) ? 2 .
(Ⅱ)设 P, Q, R 的极坐标分别为 ( ?1 ,? ) , ( ? ,? ) , ( ?2 ,? ) ,则 由 | OQ | ? | OP |?| OR | 得 ??1 ? ?2 .
2

…4 分

2

…6 分

又 ?2 ? 2 , ?1 ? 所以

2? ?4, cos ? ? sin ?

2 , cos ? ? sin ?

故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ( ? ? 0) .

…10 分

考点:1.直角坐标方程与极坐标方程的互化;2.点的轨迹问题. 3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】(本 小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如 图 所 示 , PA 为 圆 O 的 切 线 ,

A 为 切 点 , PO交圆O于B, C两点, PA ? 10 ,

PB ? 5, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .
(1) 求证

AB PA ? AC PC

(2) 求 AD ? AE 的值.

又由(1)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 6 5 AB ? 3 5 ,连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB, AC PC 2 AB AD ?ACE ∽ ?ADB , ? AD ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90 …………….10 AE AC



考点:1.三角形相似;2.勾股定理;3.切割线的性质. 4. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】(本 小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 4 | (1)求 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? m2 ? 3m 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

5. 【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R. (Ⅰ)当 a ? 5 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若 ? x ? R ,使得不等式 f (x ? 1) ? f (2x ) ? 1 ? 2m 成立,求实数 m 的 取值范围. 【答案】(1) x 2 ? x ? 8 ;(2) m ? ? 【解析】 试题分析: 本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题, 考查转化思想和分类讨论思 想.第一问,先将 a ? 5 代入,解绝对值不等式;第二问,先将 a ? 1 代入,得出 f ( x ) 解析

?

?

1 . 4

式, 将已知条件转化为求最小值问题, 将 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f (2 x) 去绝对值转化为分段函数, 通过函数图像,求出最小值,所以 1 ? 2m ?

3 ,再解不等式即可. 2

6. 【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 , 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

?x ? 1 ? t ( t 为参数). ? ? y ? 2 ? 3t
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

?x ' ? x ? (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 得到曲线 C ? ,设 M ( x, y) 为曲线 C ? 上任一点, ' y ? y ? 2 ?
求x
2

? 3xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应点 M 的坐标.
(2)当 M 为( 1, 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 4 ;

【答案】(1)

3 3 )或 (?1,? ) 时, 2 2

x 2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1.
【解析】 试题分析:本题考查直角坐标系与极坐标系、普通方程与参数方程之间的转化,考查学生的 转化能力和计算能力.第一问,利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程,将参数方

程转化为普通方程; 第二问, 先通过已知得到 C 的方程, 利用 C 的方程的特殊性设出 M 点 的坐标,代入到所求的表达式中,利用三角函数求最值的方法求表达式的最小值.





7. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】(本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲如图,A, B, C , D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E , 点F 在 BA 的延长线上. (1)若

EC 1 ED DC ? , ? 1 ,求 的值; CB 3 DA AB

2 (2)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF / / CD .

【答案】(1) 【解析】

DC 2 ? ;(2)证明过程详见解析. AB 4

试题分析:本题主要以圆为几何背景考查线线平行、相等的证明以及相似三角形的证明,考 查学生的转化与化归能力.第一问,利用四点共圆得 ?EDC 和 ? EBF 相等,再证明 ?ECD 与 ?EAB 相似, 得出边的比例关系, 从而求出

DC 2 的值; 第二问, 利用已知 EF ? FA ? FB AB

得到边的关系,又因为 ?EFA 为公共角,所以得出 ?FAE 与 ?FEB 相似,从而得出 ?FEA 与 ? EBF 相等,根据四点共圆得与相等 ?EDC 与 ? EBF 相等,通过转化角,得出 ?FEA 与 ? EBF 相等,从而证明两直线平行.

8. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?2 ? cos t ? x ? 4cos ? ( t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 1 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为

? 的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 | AB | . 4

参数方程,与曲线 C1 联立,根据韦达定理得到两根之和两根之积,再利用两根之和两根之 积进行转化求出 | AB | .

9. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 4) (1)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集.

试题解析:⑴因为 x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ? x ? 4 时等号成立,故

a ? 4 ? 3,?a ? 1 为所求.……………………4 分

二.能力题组
1. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末考试】(本题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 已知 x, y, z ? R? , x ? y ? z ? 3 .

(1)求

1 1 1 ? ? 的最小值; x y z

(2)证明: 3 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 9 .

须作差比较大小,只需证出差值小于 0 即可.

2. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】(本 小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 , P 点的极

坐标为 ? 2 3,

? ?

??

2 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3? sin ? ? 1 6?

(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l : ? 值. 【答案】 (1) 点 P 的直角坐标 3, 3 , 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y ? 3

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小 ? y ? ?2 ? t

?

?

?

?

2

(2) ?4;

点 M 到直线 l 的最小距离为 【解析】

11 5 ? 1. 10

试题分析:本题考查极坐标和直角坐标的互化,参数方程和普通方程的互化,考查学生的转 化能力和计算能力.第一问,利用极坐标与直角坐标的互化公式得出 P 点的直角坐标和曲线

C 的方程;第二问,先把曲线 C 的直角坐标方程化为参数方程,得到 Q, M 点坐标,根据点
到直线的距离公式列出表达式,根据三角函数的值域求距离的最小值.

3.【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD=

1 2 AC,AE= AB,BD,CE 相交于点 F. 3 3

(Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求 A,E,F,D 所在圆的半径.

【答案】(1)证明过程详见解析;(2) 【解析】

2 . 3

三.拔高题组
1. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】(选修 4-1、选修 4-4、选修 4-5 三 选一)

选修 4-1、几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延 长线于点 E.,OE 交 AD 于点 F. (I)求证:DE 是⊙O 的切线; AE 4 AF (II)若 = ,求 的值. AB 5 DF

2. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】选修 4-4、坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? ?

x=acos? ( a ? b ? 0 , ? 为参数), y=bsin?

在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 是圆心在极轴上,且经过极点的 圆.已知曲线 C1 上的点 M(1, 3 ? ? )对应的参数? = ,曲线 C2 过点 D(1, ). 2 3 3

(I)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程; (II)若点 A( ? 1,? ),B( ? 2,? + 引用源。.

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?1

2

?

1

?22

的值错误!未找到

3. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】选修 4-5 、 不等式选讲 关于 x 的不等式 lg(| x ? 3| ? | x ? 7 |) ? m . (Ⅰ)当 m ? 1 时,解此不等式; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ,当 m 为何值时, f ( x) ? m 恒成立? 【答案】(1)解集为 {x | 2 ? x ? 7} ;(2) m ? 1 .

2012-2013 年联考题
1.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD, AD= 2 ,∠ADB=135 ,若 AC= 2 AB,则 BD=
0

.

【答案】 2 ? 5 【解析】作 AH⊥BC 于 H,则 AH ? 1, DH ? 1 则 BH ? BD ? 1, CH ? 2BD ? 1 .
2 2 2 又 AB ? BH ? AH ,所以 AB ? ( BD ? 1) ? 1,即, AB ? ( BD ? 1) ? 1 ,

2

2

2

2

AC 2 ? AH 2 ? 2 AB2 ? AH 2 ? 2 AB2 ?1 ? (2BD ?1)2 ,所以 2 AB2 ? (2BD ?1)2 ? 1 ,
2 2 即 2( BD ? 1) ? 2 ? (2BD ?1) ? 1,整理得 2BD ? 8BD ? 2 ? 0 ,即 BD ? 4BD ? 1 ? 0 ,

2

2

解得 BD ? 2 ? 5 或 BD ? 2 ? 5 (舍去). 2.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】点 P(x,y)在曲线 ? 参数,θ ∈R)上,则 【答案】 [?

? x ? ?2 ? cos ? (θ 为 ? y ? sin ?

y 的取值范围是 x

.

3 3 , ] 3 3

【解析】消去参数 ? 得曲线的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,圆心为 (?2, 0) ,半径为 1.设

y ? k , 则 直 线 y ? k x , 即 kx ? y? 0 , 当 直 线 与 圆 相 切 时 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 x

d?

?2k

1 3 , ? 1 ,即 2k ? k 2 ? 1 ,平方得 4k 2 ? k 2 ? 1, k 2 ? ,所以解得 k ? ? 3 3 k 2 ?1
y 3 3 3 3 ?k? , ]。 ,即 的取值范围是 [? x 3 3 3 3

由图象知 k 的取值范围是 ?

3.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】如图过⊙0 外一点 P 分别作圆的切线和 割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5, ∠ BAC= ∠APB,则 AB= .

【答案】 35 【解析】因为 PA 是圆的切线,所以 ?BAP ? ?APB ,又 ?CAC ? APB ,所以 ?BAP 与

?BCA 相似,所以

AB PB 2 ? CB ? 7 ? 5 ? 35 ,所以 AB ? 35 。 ,所以 AB ? PB? CB AB

4.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 的解 集是 .

【答案】 ( ??, ? ] ? [ , ??) 或 {x | x ? ? 或x ?

3 2

3 2

3 2

3? ? 2?

??2 x, x ? ?1 ? |x ? 1| ? | x ? 1|? ?2, ?1 ? x ? 1 ? 2 x, x ? 1 【解析】 ,当 x ? ?1 时,由 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 得 ?2 x ? 3 , ?

3 3 ;当 x ? 1 时,由 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 得 2 x ? 3 ,解得 x ? ,所以不等式的解集 2 2 3 3 为 ( ??, ? ] ? [ , ??) . 2 2
得x?? 5.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】不等式 3≤l5 - 2xl<9 的解集是

A.(一∞,-2)U(7,+co) C.[-2,1】U【4,7】 【答案】D

B. [1, 4] D. (?2,1] ? [4,7)

3 【 解 析 】 由 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 得 3 ? 2 x ? 5 ? 9 , 或 ?9 ? 2x ? 5 ? ? ,即 4? x?7 或 ?2 ? x ? 1 ,所以不等式的解集为 (?2,1] ? [4,7) ,选 D.
6.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? 2 的解 集为 【答案】 ( ?

2 , 0) 3

1 2 时,原不等式等价为 ?(2 x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ,即 ?3 x ? 2, x ? ? ,此时 2 3 2 1 1 ? ? x ? ? 。当 ? ? x ? 1 时,原不等式等价为 (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ,即 x ? 0 ,此时 3 2 2 1 2 ? ? x ? 0 。当 x ? 1 时,原不等式等价为 (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 ,即 3 x ? 2, x ? ,此时不 2 3 2 2 等式无解,综上不等式的解为 ? ? x ? 0 ,即不等式的解集为 ( ? , 0) 。 3 3
【解析】当 x ? ? 7.【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .若不 等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,则实数 a 的值为 【答案】 a ? 1 .

,3 是方程 f ( x) ? 6 的两个根, 【解析】 因为不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?, 即 ?2

即 6 ? a ? a ? 6, a ? 4 ? a ? 6 ,所以 6 ? a ? 6 ? a, a ? 4 ? 6 ? a ,即 6 ? a ? a ? 4 ,解 得 a ? 1。 8.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】如右图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? , 则⊙ O 的直径 AB ? C .

A

O

B

P

【答案】4 【解析】因为根据已知条件可知,连接 AC, PC ? 2 3 , ?CAP ? 30? ,根据切线定理可 知, PC 2 ? PB?PA ? PB? ( PB ? BA) ,可以解得为 4.

9.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系 与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) , 已知直线 l 的参数方程是 ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 【答案】解:(I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

…………(2 分) …………(3 分)

2 2 2 2 2 2 ( ,? ) .…………(5 分) ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0,

…………(10 分) …………(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2
…………(10 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6

10.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 选讲 已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m (I)当 m ? 5 时,求 f(x) >0 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f(x) ≥2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. 【答案】解:(I)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 , 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? , ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?2) ? (3,?? ) ; (II)不等式 f(x) ≥2 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 , ∵ x ? R 时,恒有 | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 , 不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 解集是 R , ∴ m ? 2 ? 3 , m 的取值范围是 (??,1] . …………(10 分) …………(5 分)

11.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】(本小题满分 10 分)《选修 4-4:坐标系 与参数方程》 在直角坐标系中,以原点为极点,错误!未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲 线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,已知过点错误!未找到引用源。的直线 错误!未找到引用源。的参数方程为:错误!未找到引用源。, 直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点.

(Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程;(Ⅱ)若错误!未找到引用源。成等比数列,求错 误!未找到引用源。的值. 【答案】解:(Ⅰ)错误!未找到引用源。. ……………..5 分

(Ⅱ)直线错误!未找到引用源。的参数方程为错误!未找到引用源。(错误!未找 到引用源。为参数), 代入错误! 未找到引用源。 , 得到错误! 未找到引用源。 , 7分 则有错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。. 解得 错误!未找到引用源。. ………………

12.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】(本小题满分 10 分)《选修 4-5:不等式 选讲》 已知函数错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求不等式错误!未找到引用源。的解集; (Ⅱ)若关于错误!未找到引用源。的不等式错误!未找到引用源。的解集非空,求实数 错误!未找到引用源。的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)原不等式等价于 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 解之得错误!未找到引用源。. 即不等式的解集为错误! 未找到引用源。 . 5分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 解 此 不 等 式 得 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. ………………10 分 ………………

13.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 10 分)《选修 4-4:坐 标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? ? y ? sin? .
(I) 已知在极坐标 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以x轴 正

半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4)。 【答案】解:(I)把极坐标系下的点
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 2 ,
cos(? ?
由此得,当

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

14.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 10 分)《选修 4-5:不 等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集.
2

【答案】解:(1)

x ? 2, ??3, ? f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ………5 分

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. (II)由(I)可知,

当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为空集;
2

{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为
2



x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} . 综 上 , 不 等 式

f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

…………10 分

15.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分10分)【选修 4—1:几何证明选讲】 如图6,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=

1 AC, AE= 3

2 AB,BD,CE相交于点F。 3
(I)求证:A,E,F,D四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径. 【答案】(Ⅰ)证明:? AE ?
2 1 AB ,? BE ? AB . 3 3

1 ? 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3

又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,
? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,

即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. …………………………(5 分) (Ⅱ)解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?
1 AE . 2

? AE ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3

1 2 AD ? AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3 ?
? △AGD 为正三角形,

?

GD ? AG ? AD ?

2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 2 . 3

图6

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 分)

2 .…(10 3

16.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分10分)【选修 4—4:坐标系与参数方程】

在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知

点M的极坐标为 ? 4 2,

? ?

??
4?

? ,曲线C的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数).

(I)求直线OM的直角坐标方程; (II)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.

π? ? 【答案】解:(Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? 4 2 , ? ,得点 M 的直角坐标为 (4 ,4) , 4? ?

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y = x.………………………………………………(4 分)
? ? x ? 1 ? 2 cos ? , (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? (α 为参数), ? ? y ? 2 sin ?

化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , 圆心为 A(1,0),半径为 r ? 2 , 由于点 M 在曲线 C 外, 故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为 |MA| 分) 17.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分10分)【选修 4—5:不等式选讲】 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (I)求不等式f(x)≤6的解集; (Ⅱ)若奖于关的不等式f(x)< |a-1 |的解集非空,求实数 a 的取值范围 【答案】解:(Ⅰ)原不等式等价于
?r ? 5 ? 2 .……………………(10

3 3 1 ? ? ? 1 ?x ? , ?? ≤x≤ , ?x ? ? , 或? 或? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ,
解之得
3 1 3 1 ? x≤2或 ? ≤x≤ 或 ? 1≤x ? ? , 2 2 2 2

即不等式的解集为 {x | ?1≤x≤2} .……………………………………………………(5 分) (Ⅱ)? f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≥ (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4 ,

? a ?1 ? 4 , 解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .………………………………………… (10 分)

2011-2012 年联考题

1.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (1)求 PF 的长度. E (2)若圆 F 且与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度
A C F O B D P

解:(1)连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得 ?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP ,
E PF PD ? , ………… 4 ? PC PO A PC ? PD 12 ? ? 3 . ……… 6 ? C 由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? PO 4 (2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT

从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO ,∴

O

F

B D P

则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2
2

………… 10?

2. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;

?
4

)?

2 , 2

(2)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.
2 解:(1)圆 O: ? ? cos ? ? sin ? ,即 ? ? ? cos? ? ? sin ?

圆 O 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2 2 2

………… 3?

直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,即 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 2
………… 6 ?

则直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0

? x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ? x ? 0 ?8? (2)由 ? 得? ? y ?1 ? x ? y ?1 ? 0
故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1,

?
2

)

………… 10?

3. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 对于任意实数 a (a ? 0) 和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? a ( x ?1 ? x ? 2 ) 恒成立,试求实数

x 的取值范围.
解:由题知, | x ? 1| ? | x ? 2 |?

| a ?b| ? | a ?b| 恒成立, |a|
………… 2 ?

故 x ?1 ? x ? 2 不大于

| a ?b| ? | a ?b| 的最小值 |a|

∵ | a ? b | ? | a ? b |?| a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 时取等号 ∴

| a ?b| ? | a ?b| 的最小值等于 2. |a|
1 5 ?x? 2 2

………… 5 ? ………… 7 ? ………… 10?

∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解 解不等式得

4.(三明市三校联考)本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分。 (Ⅰ)(本小题满分 7 分)选修 4-4:矩阵与变换 求矩阵 A ? ?

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1?

(Ⅱ)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正
? 2 t ?1 ?x ? 2 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ,求直线 l 与曲线 C 相交 ? ? y? 2t ? ? 2

所成的弦的弦长. (Ⅲ)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ,则? ? ?? ??? ?, ? z w? ?2 1 ? ? z w? ?0 1? ?3x ? 2 z 3 y ? 2w? ?1 0? ?3x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2w ? 0, 即? ? ? ?0 1? , 故 ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1, 2 x ? z 2 y ? w ? ? ? ? ? ? 解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 , ? ?1 2 ? ?1 从而 A 的逆矩阵为 A ? ? ?. 2 ? 3 ? ?
解: (I) 设矩阵 A 的逆矩阵为 ?
2 2

(Ⅱ)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为 x +y -4x=0,即(x-2)

2

+y =4 直线 l 的参数方程 ? ?
? ? ? ? ? x? 2 t ?1 ,化为普通方程为 x-y-1=0, 曲线 C 的圆心(2,0)到直 2 2 y? t 2

2

线 l 的距离为 1 ? 2 2 2 所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长 2 4 ? 1 = 14 . 2 (Ⅲ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? ? x ? 1, 解得x ? 0 又? x ? 0,? x 不存在; 当0? x ?

1 1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? x ? 1, 解得x ? 0 ;又? 0 ? x ? ,?0 ? x ? ; 2 2 2

1 1 当 x ? ,? ? x ? 2 2 2 综上,原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? 2}.

题组一(3 月份更新)

1.(2009 番禺一模)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标 ? y ? 2 ? 2sin ? ?
系,则圆 C 的极坐标方程为______ 答案 __.

? ? 4sin ?
? a b ? ? x ? ? ax ? by? ? ? ??? ? ? ??? ? ?, 该运算的几何意义为 ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ?
的 作 用 下 变 换 成 点

2. (2009 上海十四校联考) 矩阵的一种运算 ? ?

平 面 上 的 点

?a b? ( x, y ) 在 矩 阵 ? ?c d ? ? ? ?

?1 a ? (ax ? by, cx ? dy),若曲线x 2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 . ? ? b 1? ? 的作用下变换成曲线 ? ?
x 2 ? 2 y 2 ? 1, 则a ? b 的值为
答案 2 3.(2009 番禺一模)如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是 切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46 ,∠DCF=32 ,
0 0



∠A 的大小为 答案



99?

x ?1
4.(2009 上海卢湾区 4 月模考)不等式

2

0


0 3

x ? 1 x ≥ 0 的解为 2 1

答案 2 ? 3 ≤ x ≤ 2 ? 3 5.(2009 番禺一模)若不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 x

a 的取值范围是_________________.
答案

(1, 3)

6.(2009 上海八校联考)满足方程 答案 x=2

lg 2 x lg x ? 1 2 1

? 1 的实数解 x 为________________。

7.(2009 上海奉贤区模拟考)不等式 答案 x ? ?4

1 ?2 ? 2 的解集为 3 x



8.(2009 上海普陀区)关于 x、y 的二元线性方程组 ?

?2x ? my ? 5, 的增广矩阵经过变换, ?nx ? 3 y ? 2
.

最后得到的矩阵为 ? ? 答案 4

?1 0 3 ? ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 1?

9.(2009 上海普陀区)将函数 f ( x) =

3 sin x 的图像向左平移 a ( a > 0 )个单位,所得 1 cos x
.

图像对应的函数为偶函数,则 a 的最小值为 答案

5 p 6
1 z ? 3 ? 2i( i 是 虚 数 单 位 ) , 则 ?2 zi

10. ( 2009 上 海 十 校 联 考 ) 若 复 数 z 满 足

z ? __________.

答案

4 7 ? i 5 5

? 的线性方程组的解用向量的坐标形式可 11.(2009 上海闸北区)增广矩阵为 ?    ? 3   1 8? ? ?
表示为 答案 (3,?1) 二、解答题 12. (2009 厦门集美中学) (不等式选讲) 设 a, b, c 均为正数, 证明: .

?1

?2

5?

a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b c a

证明

a2 b2 c2 a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c ? ( ? b) ? ( ? c) ? ( ? a) ? 2a ? 2b ? 2c b c a b c a a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b c a
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 .

即得

另证 利用柯西不等式 a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3 ? 取 a1 ?

a b

, a2 ?

b c

, a3 ?

c a

, b1 ? b , b2 ? c , b3 ? a 代入即证.

13. (2009 上海十四校联考) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c, 已知 a ? 2 3, c ? 2,

sin C 0 cos A

sin B b 0

0 ? 2c ? 0, 求?ABC的面积S . 1
…………3 分

解:由行列式得: b sin C ? 2c sin B ? cos A ? 0 由正、余弦定理得: bc ? 2cb ?

b2 ? c2 ? a2 ? 0 …………6 分 2bc
………………9 分 ………………12 分

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,? A ?

?
3

又? a ? 2 3, c ? 2,?b ? 4

? S? ?

1 bc sin A ? 2 3 2

……………………14 分

14.(2009 盐城中学第七次月考)不等式选讲已知 x,y,z 均为正数.求证:
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

证明 因为 x,y,z 无为正数.所以 同理可得

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ , ……………………4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y

………………………………………7 分

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .………10 分 yz zx xy x y z

15.(2009 南京一模)如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O, EF || CD , FG 切⊙O 于点 G . 求证: EF ? FG . 证明:因为 FG 切⊙O 于点 G ,所以 FG ? FB ? FA
2

因为 EF || CD ,所以 ?BEF ? ?ECD 又 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?ECD ? ?EAF, 所以 ?BEF ? ?EAF 又 ?EFA ? ?BFE ,所以 ?EFA ∽ ?BFE 所以 所以

EF FB ? AF FE

即 EF

2

? FB ? FA

FG 2 ? EF 2

即: EF ? FG

16.(2009 厦门同安一中)(极坐标与参数方程)若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ?=l π 与 ? ?=2cos(θ + ),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 3 解
2 2 由 ? ? 1 得 x ? y ? 1,

又? ? ? 2 cos(? ? ? ) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?
3

? x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 ,
2 2 ?x ? y ? 1 由? ? 2 2

? ?x ? y ? x ? 3y ? 0
2

得 A(1, 0), B(? 1 , ? 3 ) ,
2 2

2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0? ? ? 3 2 2 ? ? ? ? ? ?

.……7 分

17.(2009 厦门北师大海沧附属实验中学)(极坐标与参数方程)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为(4, ? ? ).若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. 2 3 (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 解(Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? , ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? (Ⅱ)因为 M ? 4,

? ?? ? 对应的直角坐标为 ? 0, 4 ? ? 2?

直线 l 化为普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心到直线 l 的距离 d ?

0?4?5? 3 3 ?1

?

9? 3 ? 5 ,所以直线 l 与圆 C 相离. 2


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