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天津市六校2014届高三第三次模拟联考数学理试题


2014 届高考模拟练习 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷,共 4 页满分 150 分.考试时间 120 分钟.,将 I 卷答案填涂在,答 题卡上,将第 II 卷答案填写在答题纸上,答在试卷上无效。 一、选择题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ) 1.若复数

a?i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数

a 的值为 1 ? 2i 1 1 2 A. B. 2 C. ? D. ? 5 5 2






?2 x ? y ? 4 ? 2.设 x、y 满足 ? x ? y ? 1 , 则 z ? x ? y ( ?x ? 2 y ? 2 ?
A.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最大值

B.有最小值 2,最大值 3 D.既无最小值,也无最大值 开始

3.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的最大值为 4, 最小值为 0, 最小正周期

S ? 0, n ? 1

为 为

? ,直线 x ?
( )

?
3

是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式

S ? S ?n n ? 2n


A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ?

?

?

6 3

) )?2

B. y ? 2 sin(2 x ? D. y ? 2 sin(2 x ?

?
6

)?2 )?2

?
6

? 是 输出 S
结束

4. 执行如图所示的程序框图.若输出 s ? 31 , 则框图中 ? 处可以填入 ( ) A. n ? 4
3

B. n ? 8
8

C. n ? 16

D. n ? 16

n 5. 在 (1 ? x) (1 ? x) 的 展 开 式 中 , 含 x 2 项 的 系 数 是 n , 若 (8 ? nx ) ? a0 ? a 1x ? a 2x 2? ? ? ? ? an x n , 则

a1 ? a2 ? ??? ? an ? (
A. 1 B. -1

) C. 1- 87 D. -1+ 87

6.已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围为 A.
第页

? ? x ? 1, x ? 0, ? ?2
?x

? 1, x ? 0.
)[

若关于 x 的方程 f ? x ? ? 2 x ? k ? 0 有且只有一个的实根,则实数 k 的



? ?1, 2?

B. (?? ? 1] ? (2 ? ?)
1

C.

? 0, 1?

D. ?1, ?? ?

x2 y 2 7.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且在 l1 a b
上,若 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,则双曲线的离心率( A. 5 B. 2
*

) C. 3 D. 2

8.设 X n ? {1, 2,3? n}(n ? N ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素,当 A 取遍 X n 的 所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 S n ,则 S 5 ? ( A. 104 B.120 C. 124 )[来 D.129

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ) 9.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图中圆的直径为 4, 该几何体的体积为 V1 ,直径为 2 的球的体 积为 V2 ,则 V1 : V2 ? ___ 。 C

B

O E D

A

P

, 2 ? 处 的 切 线 与 函 数 g ( x) ? x 2 ? x 围 成 的 图 形 的 面 积 等 于 10. 函 数 f ? x ? ? x ? x ? x ? 1在点 ?1
3 2

_____________。 11.如图, PC 切⊙ O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ? AB 于点 E , PC ? 2, PB ? 4 ,则

CD ? _______。
12.已知直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ?

? x ? t ? 3, . 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极 (t为参数) ? y ? 3t ,
2

点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6 ? cos? ? 5 ? 0 ,则圆心 C 到直线距离为



13.在△ABC 中,边 AC= 13 ,AB=5,cosA=

13 ,过 A 作 AP ? BC于P , ,则 AP ? ? AB ? ? AC 65

?? ? ________。
x 14. 已 知 f ( x ) ? 2 ( x ? R) 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 g( x) 与 一 个 偶 函 数 h( x) 之 和 , 若 不 等 式

a ? g( x) ? h(2 x) ? 0 对于 x ? [2,3] 恒成立,则实数 a 的取值范围是________。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第页 2

15 . 已 知 函 数 f ( x ) ?

1 3 sin wx cos wx ? cos 2wx , 2

w ? 0, x ? R 且函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .
(1)求 w 的值和函数 f ( x) 的单调增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , 又

f(

A ? 4 ? ) ? , b ? 1 , ?ABC 的面积等于 3 ,求边长 2 3 5

a



值.

16.由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从湖口中学随机抽取 16 名学生,经校医用 对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) 如下:

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“good sight” ,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 2 人 是“good sight”的概率; (3) 以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据, 若从该校(人数很多)任选 4 人, 记 ? 表示抽到 “good sight”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

17. 如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点. (1)求证:

BD1 ∥平面 A1 DE ;

(2)求:DE 与面 A1D1B 成角余弦值; (3)在线段 AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 存在,请说明理由. 18.已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?a n ? ( )

? ?若存在,求出 AM 的长;若不 4

1 2

n ?1

n ? 2(n ? N ? ) ,数列{bn}满足 bn ? 2 a n .

(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列 ?
* 5n ?n ?1 ? a n ? 的前 n 项和为 Tn,证明: n ? N 且 n ? 3 时, Tn ? 2n ? 1 ? n ?

(3)设数列{cn}满足 a n (c n ? 3 ) ? (?1)
n

n ?1

?n ( ? 为非零常数, n ? N ) ,问是否存在整数 ? ,使得对任
*

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3

意 n ? N ,都有 c n ?1 ? c n
*

x2 y2 19.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b
(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 ,求椭圆的标准方程; 2

(2)在(1)的条件下,设过定点 M (0,3) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角( O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 P, S , R, Q 四点,设 a2 b2

原点 O 到四边形 PQSR 的一边距离为 d ,试求 d ? 1 时 a, b 满足的条件. 20. 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, g ( x) ? xe
1? x

.(a ? R, e为自然对数的底数)

1 2 ( 3 ) 若 对 任 意 给 定 的 x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) , 使 得
(1)当 a ? 1时, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值;

f ( ix ? )

g x ) 求 的取值范围。 , a 0 (成立

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