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直线的方向向量与平面的法向量


已知A(3,1,3),B(1,5,0),求:

(1)线段AB的中点坐标和长度.
(2)到A,B距离相等的点P(x,y,z)的坐标 x,y,z满足的条件.

1

直线的方向向量与平面的法向量

2

前面,我们把

平面向量

>推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
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为了用向量的方法研究空间的线面位置关系,我 们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的 “方向”呢?
1、直线的方向向量

l
?

a

e

直线 l上的非零向量 e 以及与 e 共线的非零向量叫做直 线 l 的方向向量
4

?

?

2平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n
A
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 内,则有 n ? m ? 0

5

例1 在空间直角坐标系内,设直线 l 经过点 P( x0 , y0 , z0 ), ? 直线 l 的方向向量为 e ? ( A, B, C ), ( A ? B ? C ? 0) , M ( x, y, z ) 是 直线 l 上任意一点,求x, y, z 满足的关系式。
练习 设a , b 分别是l1 , l2 的方向向量,判断 l1 , l2 的位置关系
? ?

(1) a ? (2,3,?1), b ? (?6,?9,3) (2) a ? (5,0,2), b ? (0,4,0) (3) a ? (?2,1,4), b ? (6,3,3)
6

?

?

?

?

?

?

例2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证:设正方体棱长为 1, 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz

DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , AD1 ? (?1,0,1)
DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC ,
同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1

AC ? A

所 以 DB1 ? 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
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例 3 已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平 面的一个法向量 ? 比 如 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法 n ? (4, 3, 6) 向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) 3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? ?z ? 3 x ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6)
∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

待定系数法求平面的法向量

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问题:如何求平面的法向量?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ?n ? a ? 0 组? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
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EX:已知AB = (2, 2,1), AC = (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z), 不惟一的,为方便起 见,取z=1较合理。 则n ? AB??, ??n ? AC 其实平面的法向量不 是惟一的。 ??? (x,y,z) (2, 2,1) ? 0,

单位法向量。

(x,y,z) (4,5,3) ? 0,

1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? ? y ? ?1

1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3

1 ? n ? ( , ?1,1), 2

3 | n |? 2

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? 例4 在空间直角坐标系内,设平面 经过点 P( x0 , y0 , z0 ), ? M ( x, y, z )是平面 ? 内任 平面 ? 的法向量为 e ? ( A, B, C ), , 意一点,求 x, y, z 满足的关系式。

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P90 练习1,2

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