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2017版高考数学一轮复习练习第十章 计数原理.doc


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阶段滚动检测(十)
(建议用时:90 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.(2015· 东北三省四市联考)以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线 8 5 的离心率为( 2 26 A. 13 ) 2 6 B. 3 8 C. 3 13 D. 8

c 2 2 2 6 解析 由题

意知双曲线的 a= 3,c=2 2,所以 e= = = . a 3 3 答案 B 2.(2016· 北京海淀区模拟)若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( A.3·2
-2

)

B.2

-4

C.3·2

-10

D.2

-8

解析 ∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 1 1 1? - 1 ∴p= ,n=12,则 P(X=1)=C12 · ·? =3· 2 10. 2 2 ?2? 答案 C 3.甲、乙两人计划从 A,B,C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选 法共有( A.3 种 ) B.6 种 C.9 种 D.12 种
11

2 解析 甲、乙各选两个景点有 C2 3C3=9 种方法,其中,入选景点完全相同的有 3 种.∴满

足条件要求的选法共有 9-3=6(种). 答案 B 4.(2016· 杭州模拟)设随机变量 X~N(μ,σ 2),且 X 落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间 (1,3)内的概率相等,若 P(X>2)=p,则 P(0<X<2)等于( 1 A. +p 2 B.1-p C.1-2p ) 1 D. -p 2

解析 由 X 落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得 μ=0. 又∵P(X>2)=p,∴P(-2<x<2)=1-2p, 1-2p 1 ∴P(0<X<2)= = -p. 2 2 答案 D 5.已知直线 y=x+b 的在 x 轴上的截距在[-2,3]范围内,则直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率是( 1 A. 5 ) 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5

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解析 所有的基本事件构成的区间长度为 3-(-2)=5, ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1, ∴直线在 x 轴上的截距小于-1, ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件的构成的区间长度为-1(-2)=1,故 1 直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P= . 5 答案 A 6.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则 a8=( A.-180 B.180 C.45 ) D.-45

解析 因为(1+x)10=[2-(1-x)]10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,
2 8 所以 a8=C8 10·2 ·(-1) =180.

答案 B 7.袋中装有大小完全相同,标号分别为 1,2,3,?,9 的九个球.现从袋中随机取出 3 个球. 设 ξ 为这 3 个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为 3,4,5,则有两组相邻的标 号 3,4 和 4,5,此时 ξ 的值是 2),则随机变量 ξ 的均值 E(ξ)为( 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 ) 2 D. 3

解析 依题意得,ξ 的所有可能取值是 0,1,2.
1 1 1 C1 1 2C6+C6C5 且 P(ξ=1)= = , 3 C9 2

C1 1 1 1 5 7 P(ξ=2)= 3= ,P(ξ=0)=1- - = , C9 12 2 12 12 5 1 1 2 因此 E(ξ)=0× +1× +2× = . 12 2 12 3 答案 D 8.甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动,若每个社区至少有一名义工, 则甲、乙两人被分配到不同社区的概率为( 5 A. 6 1 B. 6 ) 17 C. 27 10 D. 27

解析 因为甲、乙两人被分到同一个社区的情况有 A3 2× 1=6 种,而将四名义工分配 3=3×
3 到三个不同的社区,每个社区至少分到一名义工的情况有 C2 4·A3=36 种,故甲、乙两人

30 5 被分配到不同社区的情况共有 36-6=30 种,故所求概率为 = . 36 6 答案 A 9.(2015· 湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴 影部分(曲线 C 为正态分布 N(0, 1)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ( )

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附:若 X~N(μ,σ 2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772

解析 由 X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.682 6, 1 ∴P(0≤X≤1)= ×0.682 6=0.341 3,故 S≈0.341 3. 2 x S ∴落在阴影部分中点的个数 x 估计值为 = (古典概型), 10 000 1 ∴x=10 000× 0.341 3=3 413,故选 C. 答案 C 10.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停 止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( 7? A.? ?0,12? 7 ? B.? ?12,1? ) 1 ? D.? ?2,1?

1? C.? ?0,2?

解析 X 的所有可能取值为 1,2,3, ∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, ∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3, 1 5 1 由 E(X)>1.75,即 p2-3p+3>1.75,得 p< 或 p> (舍),∴0<p< . 2 2 2 答案 C 二、填空题 11.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人) 篮球组 高一 高二 45 15 书画组 30 10 乐器组 A 20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查, 按小组分层抽样的方法, 从参加这三个兴 趣小组的学生中抽取 30 人,结果篮球组被抽出 12 人,则 a 的值为________. 30 解析 由题意知 ×60=12.解得 a=30. 120+a 答案 30 12.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=________,b= ________. X P -1 a 0 b 1 c 2 1 12

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解析 由题意得,a+b+c+

1 =1,① 12

1 ∵E(X)=0,∴-1× a+0× b+1× c+2× =0, 12 1 即-a+c+ =0.② 6 1 2 ∵D(X)=(-1-0)2×a+(0-0)2×b+(1-0)2×c+(2-0)2× =1,即 a+c= .③ 12 3 5 1 联立①②③解得 a= ,b= . 12 4 答案 5 1 12 4

13.正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区域的 概率是________.

解析 S 阴影=4(1-?1x2dx)=4?1-

?0

? ?

x3?1 ? 8 ?= , 3 ? 0? 3

又 S 正方形 ABCD=2× 2=4. S阴影 2 由几何概型,所求事件的概率 P= = . S正方形ABCD 3 答案 2 3

14. (2016· 济宁模拟)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历. 2 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公 3 1 司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则 12 随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 1 1 解析 由题意知 P(X=0)= =(1-p)2× , 12 3 1 ∴p= ,随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3, 2 1 因此 P(X=0)= , 12
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2 2

2 1? 1 1? 1 P(X=1)= ×? +2× ×? = , 3 ?2? 3 ?2? 3 2 1? 1 1? 5 P(X=2)= ×? ×2+ ×? = , 3 ?2? 3 ?2? 12 2 1? 1 P(X=3)= ×? = , 3 ?2? 6 1 5 1 5 因此 E(X)=1× +2× +3× = . 3 12 6 3 答案 5 3
2 2 2

三、解答题 15.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠 时间(单位:h),试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 2.2 2.3 3.2 3.5 3.0 3.1 2.3 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 1.2 2.6 1.3 1.4 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

解 (1)设 A 药观测数据的平均数为 x A,B 药观测数据的平均数为 xB, 则 x A= 1 (0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+ 20

2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3.

x B= 20(3.2+1.7+ 1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+
1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6.则 x A> x B,因此 A 药的疗效更好. (2)由观测结果绘制如下茎叶图:

1

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7 从茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎“2.”, “3.”上;B 药疗效的试 10 7 验结果有 的叶集中在茎“0.”, “1.”上. 10 由上述可看出 A 药的疗效更好. 16.如图所示, 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位: 吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量 在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差. 解 (1)依题意及频率分布直方图知,

(0.02+0.1+x+0.37+0.39)× 1=1,解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1).
3 因此 P(X=0)=C0 3×0.9 =0.729, 2 P(X=1)=C1 3×0.1×0.9 =0.243, 2 P(X=2)=C2 3×0.1 ×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 3×0.1 =0.001.

故随机变量 X 的分布列为

X P

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

X 的数学期望为 E(X)=3× 0.1=0.3. X 的方差为 D(X)=3× 0.1× (1-0.1)=0.27. x2 y2 17.如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2 + 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2 a b =4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D.
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(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 解
? ?b=1, (1)由题意得? ?a=2. ?

x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 所以|AB|=2 4-d2=2 1 , k2+1

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. ?

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8 k2+1 8k 故 x0=- . 所以 |PD| = . 4+k2 4+k2 1 设△ ABD 的面积为 S,则 S= |AB|·|PD| 2 = 8 4k2+3 , 4+k2 32 4k2+3+ 32 2 13 4k2+3· 2 4k +3 13 4k2+3 16 13 = , 13

所以 S=



当且仅当 k=±

10 时取等号. 2

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所以所求直线 l1 的方程为 y=±

10 x-1. 2

18.某投资公司在 2017 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上, 现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30%,也可能亏损 7 2 15%,且这两种情况发生的概率分别为 和 ; 9 9 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能损失 30%, 3 1 1 也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , 和 . 5 3 15 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解 若按“项目一”投资,设获利为 X1 万元.则 X1 的分布列为 X1 P 7 2 ∴E(X1)=300× +(-150)× =200(万元). 9 9 若按“项目二”投资,设获利 X2 万元, 则 X2 的分布列为: X2 P 500 3 5 -300 1 3 0 1 15 300 7 9 -150 2 9

3 1 1 ∴E(X2)=500× +(-300)× +0× =200(万元). 5 3 15 7 2 D(X1)=(300-200)2× +(-150-200)2× =35 000, 9 9 3 1 1 D(X2)=(500-200)2× +(-300-200)2× +(0-200)2× =140 000. 5 3 15 所以 E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.

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