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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


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第4讲
[考纲]

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解 参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些 简单实际问题

.

知 识 梳 理
1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个交 点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(2)作图: 在坐标系中描出这五个关键点, 用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫做振幅, 2π 1 T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相.

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辨 析 感 悟
1.对图象变换的认识 (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向 右平移的长度一样. ( )

π? π ? (2)将 y=sin 2x 的图象向右平移3个单位,得到 y=sin?2x-3?的图象 ( ) ? ? (3)(2013· 湖北卷改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个 π 单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是6. ( ) 2.对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)性质的认识 (4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A. ( ) (5)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期. ( ) ?π ? (6)(2014· 广州二模改编)若函数 y=cos ωx(ω∈N*)的一个对称中心是?6,0?,则 ω ? ? 的最小值为 3. ( )

[感悟· 提升] 1.图象变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的 伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先 |φ| 周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位,如(1)、(2). 2.两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱

导公式化为同名函数; 二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,但最大值、最小值与 A 的符号有关,如(4);而 y=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半 个周期,如(5). 考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象画法与变换

π? ? 【例 1】 (1)(2013· 广东六校教研协作体二联)已知 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的图象 ? ?
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宜宾市优学堂培训学校 与 y=-1 的图象的相邻两交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y =cos 2x 的图象 ( π A.向左平移12个单位 5π C.向左平移12个单位 π B.向右平移12个单位 5π D.向右平移12个单位 ).

π? ? (2)已知函数 y=2sin?2x+3?. ? ? ①求它的振幅、周期、初相; ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? ③说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ?

规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法是五点作图法和 图象变换法. (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z π 3 =ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点 坐标,描点后得出图象. (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 ω 倍,要特别注意相位变换、周期变换的顺序,顺序不同, 其变换量也不同. 【训练 1】 (1)(2013· 合肥第一次质检)将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图 π 象向左平移2个单位,所得函数的图象与函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,则 ω 的值不可能是 (
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).

宜宾市优学堂培训学校 A.2 B.4 C.6 D.10

π ? ? (2)(2014· 合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 ? ? 3 ?π? π,且 f?4?= 2 . ? ? ①求 ω 和 φ 的值; ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

考点二

由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比 较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: 2π (1)由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下 降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入点的坐标, 利用一些已知点(最高点、 最低点或“零点”)坐标代入解析式,
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宜宾市优学堂培训学校 再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公 式变换使其符合要求. π π 【训练 2】 (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图象如图 所示,则 ω,φ 的值分别是 π A.2,-3 π B.2,-6 π C.4,-6 π D.4,3 ( ).

考点三

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π 【例 3】 (2014· 济南模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ<2)的最 π 大值为 2,最小正周期为 π,直线 x= 是其图象的一条对称轴. 6 (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π (1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+2(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= ω . π (3)单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由-2+2kπ≤ωx

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宜宾市优学堂培训学校 π π 3π +φ≤2+2kπ(k∈Z)得单调增区间;由2 +2kπ≤ωx+φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)得单调减 区间. (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z), 求得 x、ω. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z)求解, 令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)得其对称 轴. 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数, π 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2. ?π? ? π? (1) 求 f?8?的值;(2)求函数 y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 x 的值. ? ? ? ?

1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平 移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变 化多少. 2.由图象确定函数解析式:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ 的题型, 常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点” 和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标为(x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,
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宜宾市优学堂培训学校 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距 离).

营养餐
三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 π 【典例】 (2013· 山东卷改编)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位 后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为 ( 3π A. 4 π B.4 3π C. 8 π D.-4 ).

[防范措施]

对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是 “左加、

右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数不是 1,就要 把这个系数提取后再确定变换的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时, φ? ? 首先要将函数名称统一, 其次要把 ωx+φ 变换成 ω?x+ω?, 最后确定平移的单位 ? ? φ 并根据ω的符号确定平移的方向. 【自主体验】 π (2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移4个单位长度,所得图 象对应的函数解析式可以是 A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x ( ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x

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自助餐
基础巩固题组 一、选择题 ? π? 1. (2014· 北京石景山二模)把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ? ? 1 π 2(纵坐标不变),再将图象向右平移3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ).

π π π π A.x=-2 B.x=-4 C.x=8 D.x=4 2.(2014· 深圳二模)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时,f(x)取得最大值,那么( π A.T=2,θ=2 B.T=1,θ=π π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2 π 3.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直 2 π 线 x=3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( π? ? A.y=4sin?4x+6? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+3?+2 ? ? ). ).

π? π? ? ? C.y=2sin?4x+3?+2 D.y=2sin?4x+6?+2 ? ? ? ? π? π ? 4.(2014· 长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数, ? ? π? ? 则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为( ? ? 3 A.- 2 1 B.-2 1 C.2 3 D. 2 ).

π? ? ? π 5π? 5.(2014· 宁德质检)如图是函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,0<φ<2?在区间?-6, 6 ? ? ? ? ? π 上的图象,将该图象向右平移 m(m>0)个单位后,所得图象关于直线 x=4对称, 则 m 的最小值为( ).
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宜宾市优学堂培训学校 π A.12 π π π B.6 C.4 D.3

二、填空题 6.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图 象如图所示, 则 ω=________. 7. (2014· 山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右 平移 φ(0<φ<π)个单位得到, 这两个函数的部分图象如图所示, 则 φ=________.

π? ? 8.设函数 f(x)=sin?2x+6?,则下列命题: ? ? π ?π ? ①f(x)的图象关于直线 x= 对称;②f(x)的图象关于点?6,0?对称;③f(x)的最小 3 ? ? π? π ? 正周期为 π,且在?0,12?上为增函数;④把 f(x)的图象向右平移12个单位,得到 ? ? 一个奇函数的图象. 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上). 三、解答题 π? ? 9. (2014· 苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的周 ? ? ?2π ? 期为 π,且图象上有一个最低点为 M? 3 ,-3?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)<2成立的 x 的取值集合.

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10.(2013· 济宁测试)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再把 π 所得到的图象向左平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x) ? π π? 在区间?-6,12?上的值域. ? ?

能力提升题组 一、选择题 ?a1 1.(2014· 长沙一模)定义? ?a3 a2? ?sin 2x cos 2x? ?=a1a4-a2a3,若函数 f(x)=? ?,则 a4? ?1 3 ? ).

π 将 f(x)的图象向右平移3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( π π π A.x=6 B.x=4 C.x=2 D.x=π

2.(2014· 江南十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0) 的部分图象如图所示,下列结论: π ①最小正周期为 π;②将 f(x)的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ?12π? ?14π? ?5π ? ③f(0)=1;④f? 11 ?<f? 13 ?;⑤f(x)=-f? 3 -x?. ? ? ? ? ? ? 其中正确的是( A.①②③ ).

B.②③④
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宜宾市优学堂培训学校 C.①④⑤ 二、填空题 π π? ? 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点 ? ? 1? ? 和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? 三、解答题 1 4.(2013· 淄博二模)已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx+cos 2ωx-2(ω>0),其最小 π 正周期为2. (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间 π? ? ?0,2?上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ? D.②③⑤

步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质
一、选择题 1.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为( 4 A.-3 4 B.3 3 C.4 3 D.-4 ). ).

2.(2014· 广州一测)函数 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是( π? ? A.奇函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? B.奇函数且在?2,π?上单调递增 ? ? π? ? C.偶函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? D.偶函数且在?2,π?上单调递增 ? ?

? π? 3.(2013· 温岭中学模拟)函数 f(x)=sin xsin?x+2?的最小正周期为( ? ?

).

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宜宾市优学堂培训学校 A.4π B.2π C.π π D.2

π? ? 4.(2014· 浙江五校联盟)要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,只要将函数 y=sin 2x ? ? 的图象( ). π B.向右平移4单位 π D.向左平移8单位 ).

π A.向左平移4单位 π C.向右平移8单位

5.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为(

?3 π? A.f(x)=2sin?2x+4? ? ? ?4 2π? C.f(x)=2sin?3x+ 9 ? ? ?

?3 5π? B.f(x)=2sin?2x+ 4 ? ? ? ?4 25 ? D.f(x)=2sin?3x+18π? ? ?

π? ? 6. (2014· 成都模拟)将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 ? ? π 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条 对称轴是( π A.x=12 ). π B.x=6

π 2π C.x=3 D.x= 3 7.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相 邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是( π 5π? ? A.?kπ-12,kπ+12?,k∈Z ? ? π π? ? C.?kπ-3,kπ+6?,k∈Z ? ? ).

5π 11π? ? B.?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z ? ? π 2π? ? D.?kπ+6,kπ+ 3 ?,k∈Z ? ? ).

π? ? 8.设函数 f(x)=|sin?2x+3?|,则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是( ? ? A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为 π
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宜宾市优学堂培训学校 ? π ? C.f(x)的图象关于点?-6,0?对称 ? ? ?π 7π? D.f(x)在区间?3,12?上是增函数 ? ?

? π? 9. (2014· 石狮模拟)函数 y=cos2?x+4?的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0), 所 ? ? 得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为( 3π π π A.π B. 4 C.2 D.4 π 10. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<2)的图象在 y 轴上的截距为 1, 3 ? ? 在相邻两最值点(x0,2),?x0+2,-2?(x0>0)上 f(x)分别取得最大值和最小值.若 ? ? 函数 g(x)=af(x)+b 的最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为( A.5 B.6 C.7 二、填空题 11 . (2013· 宁波十校测试 ) 函数 y = sin(x + 10° ) + cos(x + 40° )(x ∈ R) 的最大值= ________. π? ? 12.如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?图象的一部分,则其 ? ? 函数解析式是________. D.8 ). ).

13.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b< A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是________. 14.(2014· 淄博二模)下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π.
? ? ? ? ? kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是?α?α= 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. π? π ? ④把函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移6个单位得到 y=3sin 2x 的图象. ? ? ? π? ⑤函数 y=sin?x-2?在(0,π)上是减函数. ? ? 其中真命题的序号是________.
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宜宾市优学堂培训学校 三、解答题 π? ? 15.(2013· 辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 3 所以 f(x)的最大值为2.

16.(2014· 衡水模拟)已知函数 f(x)=1+sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x=2,求 f(x)的值.

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宜宾市优学堂培训学校 17.(2013· 合肥第二次质检)已知函数 f(x)=msin x+ 2m-1cos x. (1)若 m=2,f(α)= 3,求 cos α; π? ? (2)若 f(x)的最小值为- 2,求 f(x)在?-π,6?上的值域. ? ?

18.(2014· 江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a, π ?π? b,x∈R.若 f(x)=m· n 满足 f?6?=2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x=12 ? ? 对称. (1)求 a,b 的值; π? ? (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间?0,2?上总有实数解,求实数 k 的取值 ? ? 范围.

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