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黑龙江省2016-2017学年高二数学下学期期末试卷


2016-2017 学年黑龙江省齐齐哈 尔市实验中学高二 (下) 期 末数学试卷(理科)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符 合题目要求的) 1.已知复数 z= A. ,则 z 的虚部是( B. ﹣ ) C. ﹣ i D. ﹣

2.用反证法证明命题“:若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一 个能被 3 整除”时,假设应为( A. a,b 都能被 3 整除 C. a,b 不都能被 3 整除 ) B. a 不能被 3 整除 D. a,b 都不能被 3 整除

3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0< ξ<2)=( A. 0.6 ) B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2

4.已知数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10,则在(x﹣a1) (x﹣a2)?(x﹣a12) 的展开式中,x11 项的系数是( A. 60 B. ﹣60 ) C. 30 D. ﹣30

5.设 x>0,y>0,A= A. A>B

,B=

,则 A 与 B 的大小关系为( C. A<B D. A≤B



B. A≥B

1

6.若函数 f(x)=2x2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单 调函数,则实数 k 的取值范围是( A. [1,3) D. B. ) C.

7.若 2a>3b>0,则 2a+ A. 3 B. 6

的最小值为( C. 9

) D. 27

8.由直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x2 围成的封闭图形的面积为( A. B. C.

) D.

9.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放 在 4 个车库中且每个车库放 2 辆,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不 同放法共有( A. 144 种 ) B. 108 种 C. 72 种 D. 36 种

10.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取 出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙 罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( ①P(B)= ; ② )

;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3

是两两互斥的事件. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④

11.如图是二次函数 f(x)=x2﹣bx+a 的部分图象,则函数 g(x)=ex+f′(x) 的零点所在的区间是( )

2

A. (﹣1,0) B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

12.已知 f(x)=ex,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a) +f(b) ) ,则 A,B 的大小关系是( A. A>B B. A≥B ) C. A<B D. A≤B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线 上.) 13.计算 = .

14.若 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a2+b2=c2,称这个定理 为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体 O﹣ABC 中, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90°, S 为顶点 O 所对面的面积, S1, S2, S3 分别为侧面△OAB, △OAC,△OBC 的面积,则 S,S1,S2,S3 满足的关系式为 .

15. 若存在实数 x 使

+

>a 成立, 求常数 a 的取值范围



16.函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1, 则不等式 ex?f(x)>ex+1 的解集为 .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)

3

17.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合.

18.已知数列{an}满足 a1=2,且 anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N*) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

19.甲乙二人比赛投篮,每人连续投 3 次,投中次数多者获胜.若甲前 2 次每 次投中的概率都是 ,第 3 次投中的概率 ;乙每次投中的概率都是 ,甲乙每次 投中与否相互独立. (Ⅰ)求乙直到第 3 次才投中的概率; (Ⅱ)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由.

20.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布 列.

21.设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,设函数 g(x)=x2﹣2bx﹣ ,若对于? x1∈[1,2],? x2∈[0,

1],使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围.

2)已知 a,b 为实数,并且 e<a<b,其中 e 是自然对数的底,证明 ab>ba.
4

(2)如果正实数 a,b 满足 ab=ba,且 a<1,证明 a=b.

5

2016-2017 学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符 合题目要求的) 1.已知复数 z= A. ,则 z 的虚部是( B. ﹣ ) C. ﹣ i D. ﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的除法运算化简复数 z,从而求得复数 z 的虚部. 解答: 解:由 则复数 z 的虚部是 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数 z 的虚部的求法,是 基础题. . = ,

2.用反证法证明命题“:若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一 个能被 3 整除”时,假设应为( A. a,b 都能被 3 整除 C. a,b 不都能被 3 整除 ) B. a 不能被 3 整除 D. a,b 都不能被 3 整除

考点: 反证法与放缩法. 专题: 规律型.

6

分析: “a,b 中至少有一个能被 3 整除”的对立面是:“a,b 都不能被 3 整 除”,得到假设. 解答: 解:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b 中至少有一个 能被 3 整除”的反面是: “a,b 都不能被 3 整除”,故应假设 a,b 都不能被 3 整除, 故选 D. 点评: 本题考查用反证法证明命题,应假设命题的反面成立.

3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0< ξ<2)=( A. 0.6 ) B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2) ,看出这组数据对应的正态曲 线的对称轴 x=2,根据正态曲线的特点,得到 P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4) , 得到结果. 解答: 解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2) , μ=2,得对称轴是 x=2. P(ξ<4)=0.8 ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6 ∴P(0<ξ<2)=0.3. 故选 C.

7

点评: 本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对 称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲 线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线 在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的.

4.已知数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10,则在(x﹣a1) (x﹣a2)?(x﹣a12) 的展开式中,x11 项的系数是( A. 60 B. ﹣60 ) C. 30 D. ﹣30

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质得:a1+a12=a2+a11=a3+a10=?=a6+a7=10,再由条件 求出 x11 项的系数是﹣(a1+a2+?+a12) ,代入即可求出答案. 解答: 解:由题意知,数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10, 由等差数列的性质得,a1+a12=a2+a11=a3+a10=?=a6+a7=10, ∴在(x﹣a1) (x﹣a2)?(x﹣a12)的展开式中, x11 项的系数是﹣(a1+a2+?+a12)=﹣6(a6+a7)=﹣60, 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质的灵活应用,属于中档题.

5.设 x>0,y>0,A=

,B=

,则 A 与 B 的大小关系为(



8

A. A>B

B. A≥B

C. A<B

D. A≤B

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 通过 A、B 分离常数 1,直接利用放缩法推出所求结果. 解答: 解:A= B= ∵ ∴﹣ ∴A<B, 故选:C. 点评: 本题考查了不等式大小比较的方法,属于基础题. = < <﹣ < , =1﹣ , =1﹣ , ,

6.若函数 f(x)=2x2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单 调函数,则实数 k 的取值范围是( A. [1,3) D. B. ) C.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先确定函数的定义域然后求导数 fˊ (x) , 在函数的定义域内解方程 fˊ (x)=0,使方程的解在定义域内的一个子区间 (k﹣1,k+1)内,建立不等关系,解之即可 解答: 解:因为 f(x)定义域为(0,+∞) ,又 f′(x)=4x﹣ , 由 f'(x)=0,得 x= .

9

当 x∈(0, )时,f'(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0 据题意, 解得 1≤k< , 故选:B. 点评: 本题主要考查了对数函数的导数,以及利用导数研究函数的单调性等基 础知识,考查计算能力,属于基础题. ,

7.若 2a>3b>0,则 2a+ A. 3 B. 6

的最小值为( C. 9

) D. 27

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵2a>3b>0, ∴2a+ ≥ = =a+a+ =3,

当且仅当 a=1,b= 时取等号. 故选:A. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

8.由直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x2 围成的封闭图形的面积为( A. B. C.

) D.

考点: 定积分. 专题: 计算题.
10

分析: 根据图形可以得到直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x2 围成的封闭图形的面积为第 三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积,加上抛 物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积. 解答: 解:如图,由 得: 或 ,

所以直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x2 围成的封闭图形的面积为 S= =8+ 故选 D. ﹣ =8+(3x﹣ ) =8+ . ﹣

点评: 本题考查了定积分,考查了数形结合的数学思想,解答此题的关键是明 确微积分基本定理.

9.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放 在 4 个车库中且每个车库放 2 辆,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不 同放法共有( A. 144 种 ) B. 108 种 C. 72 种 D. 36 种

考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;排列组合.

11

分析: 根据题意,分 3 步进行分析:①、在 4 种不同品牌的小车任取 2 个品牌 的小车,②、将取出的 2 个品牌的小车任意的放进 2 个车库中,③、剩余的 4 辆车放进剩下的 2 个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,分别分析每一步 的情况数目,由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 3 步进行分析: ①、在 4 种不同品牌的小车任取 2 个品牌的小车,有 C42 种取法, ②、将取出的 2 个品牌的小车任意的放进 2 个车库中,有 A42 种情况, ③、剩余的 4 辆车放进剩下的 2 个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,有 1 种情况, 则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 C42A42×1=72 种, 故选:C. 点评: 本题考查排列、组合的应用,需要分析如何满足“恰有 2 个车库放的是 同一品牌的小车”的要求.

10.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取 出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙 罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( ①P(B)= ; ② )

;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3

是两两互斥的事件. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 由题意 A1,A2,A3 是两两互斥的事件,由条件概率公式求出 P(B|A1) ,P (B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) ,对照四个命题进行判断找出正确命题,选出 正确选项.

12

解答: 解:由题意 A1,A2,A3 是两两互斥的事件,P(A1)= P(A3)=;

= ,P(A2)=

= ,

P(B|A1)=

=

,由此知,②正确;

P(B|A2)=

,P(B|A3)=



而 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P (A3)P(B|A3)= = .由此知①③不正确;

A1,A2,A3 是两两互斥的事件,由此知④正确; 对照四个命题知②④正确; 故选:A. 点评: 本题考查相互独立事件,解题的关键是理解题设中的各个事件,且熟练 掌握了相互独立事件的概率简洁公式,条件概率的求法,本题较复杂,正确理 解事件的内蕴是解题的突破点.

11.如图是二次函数 f(x)=x2﹣bx+a 的部分图象,则函数 g(x)=ex+f′(x) 的零点所在的区间是( )

A. (﹣1,0) B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

考点: 导数的运算;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=0,从而可得 b 的范围,然后根 据零点判定定理可得结论. 解答: 解:由图象可知,0<f(0)=a<1①,f(1)=0,即 1﹣b+a=0②, 由①②可得 1<b<2,
13

g(x)=ex+2x﹣b,且 g(0)=1﹣b<0,g(1)=e+2﹣b>0, 又 g(x)的图象连续不断,所以 g(x)在(0,1)上必存在零点, 故选 B. 点评: 本题考查导数的运算、函数零点的判定定理,考查数形结合思想,属中 档题.

12.已知 f(x)=ex,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a) +f(b) ) ,则 A,B 的大小关系是( A. A>B B. A≥B ) C. A<B D. A≤B

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用特殊值验证,推出 A,B 的大小,然后利用反证法推出 A=B 不成立, 得到结果. 解答: 解:考查选项,不妨令 b=1,a=0,则 A=e﹣1,B= (e+1) . ∵e<3,? 2e﹣2<e+1? e﹣1< (e+1) . 即 A<B.排除 A、B 选项. 若 A=B,则 eb﹣ea= (b﹣a) (eb+ea) , 整理得: (2﹣b+a)eb=(b﹣a+2)ea 观察可得 a=b,与 a<b 矛盾,排除 D. 故选:C. 点评: 本题考查函数的单调性的应用,选择题的解法,如果常用直接法,解答 本题难度比较大.考查学生灵活解题能力.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线 上.)

14

13.计算

=



考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 欲求定积分 数 y= ,可利用定积分的几何意义求解,即可被积函

与 x 轴在 0→1 所围成的图形的面积即可.

解答: 解:根据积分的几何意义,原积分的值即为单位圆在第一象限的面积. ∴ 故答案为: . = ,

点评: 本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考 查考查数形结合思想,属于基础题.

14.若 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a2+b2=c2,称这个定理 为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体 O﹣ABC 中, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90°, S 为顶点 O 所对面的面积, S1, S2, S3 分别为侧面△OAB, △OAC,△OBC 的面积,则 S,S1,S2,S3 满足的关系式为 .

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 本题考查的知识点是类比推理,在由平面几何的性质类比推理空间立体 几何性质时,我们常用的思路是:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何 中线的性质;由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质;由平面 几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质;或是将一个二维平面关系, 类比推理为一个三维的立体关系,故类比平面内的勾股定理,我们可以推断四 面体的相关性质. 解答: 解:由 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a2+b2=c2,

15

类比到空间中: 在四面体 O﹣ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°, S 为顶点 O 所对面的面积, S1,S2,S3 分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC 的面积, 则 S,S1,S2,S3 满足的关系式为: 故答案为: 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . .

15. 若存在实数 x 使

+

>a 成立, 求常数 a 的取值范围 (﹣∞, 8) .

考点: 二维形式的柯西不等式;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用柯西不等式,求出左边对应函数的最大值,即可确定常数 a 的取值 范围. 解答: 解: 由题意, 由柯西不等式得 (
2

+

2 ) = (

+



≤(3+1) (x+2+14﹣x)=64, + ≤8,当且仅当 x=10 时取“=”, + >a 成立



∵存在实数 x 使 ∴a<8

∴常数 a 的取值范围是(﹣∞,8) . 故答案为: (﹣∞,8) . 点评: 本题主要考查运用柯西不等式求最值,解题的关键是变形,利用柯西不 等式解题.

16

16.函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1, 则不等式 ex?f(x)>ex+1 的解集为 {x|x>0} .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 h(x)=exf(x)﹣ex﹣1,则不等式 exf(x)>ex+1 的解集就是 h(x) >0 的解集.由此利用导数性质能求出不等式 ex?f(x)>ex+1 的解集. 解答: 解:设 h(x)=exf(x)﹣ex﹣1, 则不等式 exf(x)>ex+1 的解集就是 h(x)>0 的解集. h(0)=1×2﹣1﹣1=0, h′(x)=ex[f(x)+f′(x)]﹣ex, ∵[f(x)+f′(x)]>1, ∴对于任意 x∈R, ex[f(x)+f′(x)]>ex, ∴h'(x)=ex[f(x)+f'(x)]﹣ex>0 即 h(x)在实数域内单调递增. ∵h(0)=0, ∴当 x<0 时,h(x)<0;当 x>0 时,h(x)>0. ∴不等式 ex?f(x)>ex+1 的解集为:{x|x>0}. 故答案为:{x|x>0}. 点评: 本题考查不等式的解集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导 数性质的灵活运用.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合.
17

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3,再结合 a>1,可得 a 的 值. (2)把 f(x)≤5 等价转化为的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再 取并集,即得所求. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对 应点的距离之和,它的最小值为|a﹣4|=3, 再结合 a>1,可得 a=7.

(2)f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|=

,故由 f(x)≤5 可得,

①,或

②,或

③.

解①求得 3≤x<4,解②求得 4≤x≤7,解③求得 7<x≤8, 所以不等式的解集为[3,8]. 点评: 本题主要考查绝对值的意义, 绝对值不等式的解法, 关键是去掉绝对值, 化为与之等价的不等式组来解,属于基础题.

18.已知数列{an}满足 a1=2,且 anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N*) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由题设条件得 an+1= (2)猜想 an= ,由此能够求出 a2,a3,a4 的值.

,然后用数学归纳法进行证明.
18

解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 an+1= ∴a2= = ,a3= ,又 a1=2, = .?(4 分)

= ,a4=

(2)猜想 an=

..?.?(6 分) =2=a1,故命题成立. , = = ,

证明:①当 n=1 时,

②假设 n=k 时命题成立,即 ak= ak+1= =

故命题成立. 综上,由①②知,对一切 n∈N*有 an= 成立. .?(12 分)

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意数学 归纳法的证明过程,属于中档题.

19.甲乙二人比赛投篮,每人连续投 3 次,投中次数多者获胜.若甲前 2 次每 次投中的概率都是 ,第 3 次投中的概率 ;乙每次投中的概率都是 ,甲乙每次 投中与否相互独立. (Ⅰ)求乙直到第 3 次才投中的概率; (Ⅱ)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设事件 Ai 表示“乙第 i 次投中”,由已条件知 P(Ai)= , (i=1, 2,3) ,由 P(乙直到第 3 次才投中)=P( 中的概率. ) ,能求出乙直到第 3 次才投

19

(2)设乙投中的次数为 η,由 η~B(3, ) ,求出 Eη=3× = .设甲投中的 次数为 ξ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,求出 Eξ,由 Eη>Eξ,推导出在比 赛前,从胜负的角度考虑应该支持乙 解答: 解: (1)设事件 Ai 表示“乙第 i 次投中”, (i=1,2,3) 则 P(Ai)= , (i=1,2,3) , 事件 A1,A2,A3 相互独立, P(乙直到第 3 次才投中)=P( =(1﹣ )?(1﹣ )? = . )

(2)设乙投中的次数为 η,则 η~B(3, ) , ∴乙投中次数的数学期望 Eη=3× = . 设甲投中的次数为 ξ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3, ∵甲前 2 次每次投中的概率都是 ,第 3 次投中的概率 , ∴甲前 2 次投中次数股从二项分布 B(2, ) ,且每次投中与否相互独立, P(ξ=0)=(1﹣ )?(1﹣ )?(1﹣ )= , P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)= = , = , + + = = , ,

∴甲投中次数的数学期望 Eξ=

∴Eη>Eξ,∴在比赛前,从胜负的角度考虑应该支持乙. 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法 及应用,是中档题,在历年高考中都是必考题型.

20.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者.

20

(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布 列.

考点: 古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)甲、乙两人同时参加 A 岗位服务,则另外三个人在 B、C、D 三个 位置进行全排列,所有的事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组,同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进行排列. (Ⅱ)总事件数同第一问一样,甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是 甲、乙两人同时参加同一岗位服务,即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元 素进行全排列. (Ⅲ)五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数 ξ 可能的取值是 1、2,ξ=2”是指 有两人同时参加 A 岗位服务,同第一问类似做出结果.写出分布列. 解答: 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA, 总事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组,同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进 行排列 C5 A4 . 满足条件的事件数是 A33, 那么 , .
2 4

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E, 满足条件的事件数是 A44, 那么 , .

∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是

21

(Ⅲ)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗 位服务, 则 ∴ ξ P 1 . ,ξ 的分布列是 2

点评: 本题考查概率,随机变量的分布列,近几年新增的内容,整体难度不大, 可以作为高考基本得分点.总的可能性是典型的“捆绑排列”,易把 C52 混淆为 A52,

21.设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,设函数 g(x)=x2﹣2bx﹣ ,若对于? x1∈[1,2],? x2∈[0,

1],使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)通过令 a=1 时,化简函数 f(x)的表达式,通过求出 f(1) 、f′ (1)的值即可; (Ⅱ)通过求出 f′(x)的表达式,并对 a 的值是否为 0 进行讨论即可; (Ⅲ)通过(II)可知当 时函数 f(x)在区间(1,2)上为增函数,则已

知条件等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在[1,2]上的最小值 ,通过对 g(x)的表达式进行配方,结合 x∈[0,1]讨论 g(x)的 图象中对称轴与区间[0,1]的位置关系即可.

22

解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1, ∴ ∴f′(1)=0, ∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2; (Ⅱ) , 且 f(x)的定义域为(0,+∞) , 下面对 a 的值进行讨论: (1)当 a=0 时, , ,

f(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) ; (2)当 a≠0 时,又分以下几种情况: ①当 f(x)的增区间为 ②当 ③当 (a)当 时, ; (b)当 , ,减区间为(0,1) , ,f(x)在 (0,+∞)上单调递减; ,又有两种情况: ;

; (Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)知函数 f(x)在区间(1,2)上为增函数, ,

所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为

则对于? x1∈[1,2],? x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立等价于

23

g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在[1,2]上的最小值 (*) 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, 与(*)矛盾; ②当 0≤b≤1 时, 由 可得: ; 及 0≤b≤1, , ,

③当 b>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, ,此时 b>1; 综上所述,b 的取值范围是 .

点评: 本题考查导数的应用,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力,注意 解题方法的积累,属于中档题.

2)已知 a,b 为实数,并且 e<a<b,其中 e 是自然对数的底,证明 ab>ba. (2)如果正实数 a,b 满足 a =b ,且 a<1,证明 a=b.
b a

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先构造函数 y= 出结论; (2)通过讨论 a,b 的大小关系,结合函数的单调性,从而证出结论. 解答: 证明: (1)当 e<a<b 时,要证 ab>ba, 只要证 blna>alnb,即只要证 考虑函数 y=f(x)= > , ,求出函数的导数,得到函数的单调性,从而证

(0<x<+∞) ,

24

∵x>e 时,y′= ∴函数 y=

<0,

在(e,+∞)内是减函数, > ,

∵e<a<b,∴ 得:ab>ba.

(2)由(1)因为在(0,1)内 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)内是增 函数. (反证法)假设 a≠b, 由 0<a<1,b>0,所以 ab<1,从而 ba=ab<1, 由 ba<1 及 a>0,可推出 b<1,所以 a,b∈(0,1) , 由 0<a<1,0<b<1,假如 a≠b, 则根据 f(x)在(0,1)内是增函数, 若 a>b,则 若 a<b,则 > < ,从而 ab>ba; ,从而 ab<ba.

即 a≠b 时,ab≠ba,与已知矛盾.因此 a=b. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,不等式的证明,是一 道中档题.

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