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第一章 集合与常用逻辑用语 教师


第一章集合与常用逻辑用语
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {2,3,5},且 M 中至少有一个奇数,则这样的集合 M 共有( A.5 个 【答案】B B.6 个 C.7 个 D.8 个 )

D. ?x ? R, 2 ? 0
x

【答案】C 6.给出下列命题: (

1) “若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题; (2) “面积相等的三角形全等”的否命题; (3) “若 m ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; (4) “若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 2. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的(
2 2

)条件 其中为真命题的是( ) C.(1)(2)(3) D.(3)(4)

A.充分而不必要 【答案】C

B.必要而不充分

C.充要

D. 既不充分也不必要 A.(1)(2) B.(2)(3)

i s 3. “n

1 A ? ”是“ A ? 30? ”的( 2

【答案】C )条件 7.命题 p: ? x∈0,+∞) , (log 3 )x≤1,则(
2

)
2

A.充分不必要 C.充要 【答案】B

B.必要不充分 A.p 是假命题, ?p : ? x0∈0,+∞) , (log 3 ) x0 >1 D.既不充分也不必要 B.p 是假命题, ?p : ? x∈0,+∞) , (log 3 )x≥1
2

C.p 是真命题, ?p : ? x0∈0,+∞) , (log 3 ) x0 >1
2

4.下列命题中,为真命题的是( A.若 sin ? =sin ? ,则 ? = ? B.命题“若 x≠1,则

) D.p 是真命题, ?p : ? x∈0,+∞) , (log 3 )x≥1
2

【答案】C x2+x-2≠0”的逆否命题 8.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={1,2},B={0,2},则(CUA)∩B=( A.φ 【答案】B
2 9.设 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | mx ? 1 ? 0} ,且 A ? B ? A ,则 m 的取值范围是(

)

C.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 D.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 【答案】D 5.下列命题中的假命题 是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 B. ?x ? R, tan x ? 1 C. ?x ? R, x ? 0
3

B.{0}

C.{2}

D.{0,1,2}

)

A. { , ? } ) 【答案】C

1 3

1 2

B. {0,? ,? }

1 3

1 2

C. {0, ,? }

1 3

1 2

D. { , }

1 1 3 2

2 10.4.定义一种集合运算 A ? B ? {x| x ? ( A ? B)? 且 x ? ( A ? B) },设 M={x||x|<2},N={x| x ? 4 x ? 3 ? 0 },

则 M ? N 所表示的集合是( A. (??? ?2] ? [1? 2) ? (3? ??)

) B. (?2?1] ? [2? 3)

C. (?2?1) ? (2? 3) 【答案】 B 【解析】 M={x||x|<2}={x|-2<x<2},

D. (??? ?2] ? (3? ??)

1 16.设集合 A={x|- <x<2},B={x|x2≤1},则 A∪B= 2 A.{x|-1≤x<2} C.{x|x<2} 1 B.{x|- <x≤1} 2 D.{x|1≤x<2}

(

)

N={x| x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 }={x|1<x<3}, M ? N ? {x|-2<x<3}, 则{x| ?2 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3 }.

M ? N ? {x|1<x<2},

答案:A 解析:B={x|-1≤x≤1},A∪B={x|-1≤x<2}. 17.如果命题“非 p 或非 q”是假命题,则在下列各结论中,正确的是 ①命题“p 且 q”是真命题 ②命题“p 且 q”是假命题 ③命题“p 或 q”是真命题 ④命题“p 或 q”是假命题 ( )

11.已知 i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则 A.i∈S 【答案】B B.i2∈S C.i3∈S

(

) 2 D. ∈S i

A.②③ 答案:C

B.②④

C.①③

D.①④

解析:∵“非 p 或非 q”是假命题, ∴非 p 和非 q 都是假命题, ∴p 和 q 都是真命题,

12.己知集合 M={ a, 0} ,N={x|2x2-5x<0,x∈Z} ,如果 M A.

N ? ? ,则 a 等于(

)

故“p 且 q”和“p 或 q”都是真命题. 18.设全集为 U,若命题 p:2008∈A∪B,则命题┐p 是 A.2008∈A∪B B.2008?A 或 2008?B C.2008∈(?UA)∩(?UB) D.2008∈(?UA)∪(?UB) 答案:C 解析:命题 p 即“2008∈A 或 2008∈B, ” ┐p 为“2008?A 且 2008?B” .故选 C. 总结评述:集合与简易逻辑属简单题,概念清楚则得分不难. 19.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的充要条 件,那么命题丁是命题甲的 ( ) ( )

5 2

B.1

C.2

D.1 或 2

【答案】D 13.已知集合 P={x|x2=1},Q={x|mx=1},若 Q?P,则实数 m 的数值为 A.1 答案:D 解析:当 m=0 时,Q=??P; 当 m≠0 时,由 Q?P 知,x= =1 或 x= =-1,得 m=1 或 m=-1. 1 1 B.-1 C.1 或-1 D.0,1 或-1 ( )

m

m

14.已知 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 A.M∩N={4,6} C. (?UN)∪M=U 答案:B B.M∪N=U D.(?UM)∩N=N

(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B 解析: “甲是乙的充分不必要条件”?“甲?乙且乙 丁?甲?乙”即“丙?乙”这与已知矛盾,所以“丁 甲” ; “丙是乙的必要不充分条件”?“乙?丙且丙 乙” ; “丁是丙的充要条件”?“丙?丁且丁?丙” ,由已知可得“甲?乙?丙?丁” ,即“甲?丁” ,若丁?甲,则由已知得“丙? 甲” ,因此丁是甲的必要不充分条件,故选 B. 甲”必须明确,否则结论不准确. ( ) 总结评述:①用“?”表示命题间关系显得清晰直观.②“丁 20.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是

解析:由题意得 M∩N={4,5},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,(?UN)∪M={3,4,5,7}≠U,(?UM)∩N={2,6} ≠N,综上所述,选 B. 15.已知空集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数 为 A.mn 答案:D 解析:依题意,结合韦恩图分析可知,集合 A∩B 的元素个数是 m-n,选 D. B.m+n ( C.n-m ) D.m-n

A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 答案:C 解析:该命题的否定为其否定形式,而不是否命题,故选 C. 21.命题: “若 a2+b2=0(a,b∈R),则 a=b=0”的逆否命题是 A.若 a≠b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 B.若 a=b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 C.若 a≠0 且 b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 答案:D 解析: “且”的否定为“或” ,因此逆否命题为若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0. 22.在△ABC 中, “sin2A=sin2B”是“A=B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析: 由 sin2A=sin2B, 得: A=B 或 A+B= , ∴sin2A=sin2B 2 = A.{(1,1)} C.{(1,0)} 答案:A 解析:由已知可求得 P={(1,m)},Q={(1-n,1+n)},再由交集的含义,有 B.{(-1,1)} D.{(0,1)} ( ) ( ) ( )

因此 A×B=(2,+∞),故选 A.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)
2 25.命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是

.

2 【答案】对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0 .

26.已知集合 A ? a ? 2,2a ? a ,若 3 ? A ,则 a 的值为
2

?

?



【答案】-

3 2
2

27.命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ”的否定是 【答案】 ?x ? R, x2 ? 1 ? 0



28.已知 U= ? 1,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?CU B ? ? ? 1,8?, ?CU A? ? B ? ?2,6?,

?CU A? ? ?CU B? ? ?4,7?, 则集合 A=
π A=B, 而 A=B?sin2A=sin2B.
【答案】 29.设集合 A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中有________个元素. 答案:6 解析:由(x-1)2<3x+7 可得-1<x<6,即得 A=(-1,6). ∴A∩Z={0,1,2,3,4,5},即得集合 A∩Z 中共有 6 个元素. 30.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为______________. 答案:若 a≤b,则 2a≤2b-1 解析:写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论. 31.若命题 p:不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为

23.已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q

?1=1-n ?n=0 ? ? ? ?? ,所以选 A. ?m=1+n ? ? ?m=1
24.设集合 A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|y= 2x2},则 A.(2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) 答案:A 解析:A={x|y= 2x-x2}={x|0≤x≤2} 2x-x2},B={y|y=

b

a

{x|a<x<b},则“p 且 q“ ”p 或 q”及“非 p”形式的复合命题中的真命题是__________. 答案:非 p 解析:命题 p 为假命题,命题 q 为假命题,故只有“非 p”是真命题. 32.设命题 p:|4x-3|≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是__________. 1 答案:[0, ] 2 1 解析: 解|4x-3|≤1 得 ≤x≤1.解 q 得 a≤x≤a+1.由题设条件得 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p?q, q 2 ( )

A×B 等于

B.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)

B={y|y=2x2}={y|y≥0}
∴A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2]

p.

1 ∴[ ,1] [ a,a+1]. 2 1 1 ∴a≤ 且 a+1≥1,得 0≤a≤ . 2 2

∴若命题 q 为真,则方程 g(x) ? x 2 ? (a ? 2)x ? 1 ? 0 无解或只有非正根.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 33.已知两个集合 A ? {x |
mx ? 1 ? 0} , B ? {x | log1 x ? 1} ;命题 P:实数 m 为小于 6 的正整数,命题 q: x 2

? ? ??0 ? ∴ ? ? (a ? 2) 2 ? 4 ? 0 或 ? g (0) ? 0 , ∴ a ? ?4 ? a?2 ?? ?0 ? 2
∵p, q 中有且只有一个为真命题 ∴ (1) p 真,q 假:则有 ?

A 是 B 成立的必要不充分条件,若命题 p? q 是真命题,求实数 m 的值. 【答案】命题 p? q 是真命题,命题 p 和 q 都是真命题 命题 p 是真命题,即 0 ? m ? 6, m ? N ? ?

?? 5 ? a ? 7 ,即有 ? 5 ? a ? ?4 ; ? a ? ?4

(2) p 假,q 真:则有 ?

?a ? 7或a ? ?5 ,即有a ? 7 ; a ? ? 4 ?

mx ? 1 1 ? 0} ? {x | 0 ? x ? } x m 1 B={ x | log1 x ? 1 }={ x ? 0 ? } 2 2
A= {x | 命题 q 是真命题,
1 1 则 ? m 2
? ?

∴ ? 5 ? a ? ?4 或 a ? 7 .

任 意 x ? ?1,2?, x ? a ? 0 , 36.已知命题 p:“ 对 ”
2

A,

在 x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 命题 q:“ 存
2

【答案】 a a ? ?2或a ? 1 ?

?

?
?1 ? a ? 0
2 ?4a ? 4?2 ? a ? ? 0

由??得 m=1.

提示: 由命题“p 且 q”是真命题可知命题 p 与命题 q 都成立.则有 ?

,可解得

,12? , X ? A ,定义 S ( x) 为集合 X 中元素之和,求所有 S ( x) 的和 34.已知集合 A ? ?? 5,?4,0,6,7,9,11

?a a ? ?2或a ? 1?
1-2m 37.已知命题 p:f (x)= 在区间(0,+∞)上是减函数;命题 q:不等式(x-1)2>m 的解集为 R.若命题“p x ∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围是。 1-2m 1 【答案】由 f(x)= 在区间(0,+∞)上是减函数,得 1-2m>0,即 m< ,由不等式(x-1)2>m 的解集 x 2 为 R,得 m<0.要保证命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,则需要两个命题中只有一个正确,而另一个不正 确, 1 故 0≤m< . 2 38.(本小题满分 10 分)设集合 A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且 A≠B,A∪B={-3,4},A ∩B={-3},求 a、b、c 的值. 分析:由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的,因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义 进行思考. 解答:∵A∩B={-3},∴-3∈A 且-3∈B,

S。
【答案】 S ? (?5 ? 4 ? 0 ? 6 ? 7 ? 9 ? 11? 12) ? 27 ? 4608. 35.已知 p : f ( x ) ?

1? x , 且 | f (a) |? 2 ; 3

q :集合 A ? {x | x 2 ? (a ? 2)x ? 1 ? 0, x ? R}, B ? {x | x ? 0} 且 A ? B ? ? .若 p ∨ q 为真命题, p ∧
q 为假命题,求实数的取值范围.
【答案】对 p:所以 | f ( a) | ? | 若命题 p 为真,则有

1? a |? 2 . 3

?5 ? a ? 7;

对 q:∵ B ? {x | x ? 0} 且 A ? B ? ?

将-3 代入方程:x2+ax-12=0 中,得 a=-1, 从而 A={-3,4}. 将-3 代入方程 x2+bx+c=0,得 3b-c=9. ∵A∪B={-3,4},∴A∪B=A,∴B?A. ∵A≠B,∴B A,∴B={-3}. ∴方程 x2+bx+c=0 的判别式△=b2-4c=0,

? ?3b-c=9 ∴? ? ?b2-4c=0

① ②

由①得 c=3b-9,代入②整理得:(b-6)2=0, ∴b=6,c=9. 故 a=-1,b=6,c=9. 39. (本小题满分 12 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实根;q:不等式 4x2+4(m- 2)x+1>0 的解集为 R,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 m 的取值范围. △=m -4>0 ? ? 解析:p 为真命题??-m<0 ? ?1>0
2

?m>2.

q 为真命题?△=[4(m-2)]2-4×4×1<0?1<m<3.
∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 与 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则 m>2,且 m≤1 或 m≥3,所以 m≥3. 若 p 假 q 真,则 m≤2,且 1<m<3,所以 1<m≤2. 综上所述,m 的取值范围为{m|1<m≤2,或 m≥3}. 40.(本小题满分 12 分)设全集 I=R,A={x|x2-2x>0,x∈R},B={x|x2-ax+b<0,x∈R},C={x|x3 +x2+x=0,x∈R}.又?R(A∪B)=C,A∩B={x|2<x<4,x∈R},试求 a、b 的值. 解析:∵A={x|x<0 或 x>2},B={x|x2-ax+b<0,x∈R}={x|x1<x<x2,x1、x2∈R},C={x|x=0}, ?R(A∪B)=C={0}, ∴A∪B={x|x≠0 且 x∈R}. 又 A∩B={x|2<x<4,x∈R},可得 x1=0,x2=4. 又 x1、x2 是方程 x2-ax+b=0 的两根, ∴x1+x2=a,x1x2=b. 从而求得 a=4,b=0.


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