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人教A版【选修1-1】课时教案:3.4生活中的优化问题举例(2课时)


教学目标: 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学过程: 一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问 题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值

的有力工具.这一节,我们 利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.新课讲授

三.典例分析 例 1.海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 2 的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。 如何设计海报 的尺寸,才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为

128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 。 x x
求导数,得

512 。 x2 512 ' 令 S ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? 16( x ? ?16 舍去)。 x S ' ( x) ? 2 ?

于是宽为

128 128 ? ?8。 x 16

当 x ? (0,16) 时, S ' ( x) <0;当 x ? (16, ??) 时, S ' ( x) >0. 因此, x ? 16 是函数 S ( x) 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获
利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

4 y ? f ?r ? ? 0 . 2 ? ? r 3 ? 0? .8 r 2? 3
令 f ? ? r ? ? 0.8? (r ? 2r ) ? 0
2

? 0? .8 ?r 2 ?
?

? r3 ?3

?

?r ,? 0

6

解得

r ? 2 ( r ? 0 舍去)

当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2 ? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够 瓶子的成本,此时利润是负 值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当 r ? 3 时, f ? 3? ? 0 ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等;当 r ? 3 时,利润才为正值.

当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 , f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小.

为了保障磁盘的分 辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小 于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道

R?r 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大 m 2? r 存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 。所以,磁盘总存储 n
不存储任何信息,故磁道数最多可达 量

f (r ) ?

R?r 2? r 2? ? r(R ? r) × m n mn

(1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存 储量越大. (2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .

f ?(r ) ?

2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ?

R 2

当r ?

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4

因此 r ?

例 4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用 的材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R

V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R 2V 令 s?( R) ? ? 2 +4π R=0 R
由 V=π R h,得 h ?
2
[来源:www.shulihua.net]

解得,R= 3

V V ,从而 h= = ? R2 2?

4V V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才 能使所用材料最省? 提示:S=2 ?Rh + 2?R 2 ? h=

S ? 2?R 2 2?R

?V(R)=

S ? 2?R 2 1 1 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .

四.课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边 比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.(高为 1.2 m, 最大容积 1.8 m ) 5.课本 练习课本 P 104
3

五.回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题
建立数学模型

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通 过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一 个有利的工具。 例 4.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一 定的关系, 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数. 根据你的生活经验, 思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2)“汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比 值.如果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 G ?

w ,其中, w 表示汽油消耗量(单 s

位:L), s 表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最 少”,就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,

g g 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的 v v 斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为 90 km / h .
这样,问题就转化为求 因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使 用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,

此时的车速约为 90 km / h . 从数值上看, 每千米的耗油量就是图中切线的斜率, 即 f ? ? 90 ? , 约为 L. 例 5.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折 起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积 是多少?

x _
x x

60 _

x _

解法一:设箱底边 长 为 xcm , 则 箱 高

60 _

h?

60 ? x cm ,得箱子 2

容积

V ( x) ? x 2 h ?

60x 2 ? x 3 2 3x 2 2

(0 ? x ? 60) .

V ?( x) ? 60 x ?

(0 ? x ? 60)

令 V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 =0,解得 2

x=0(舍去),x=40,

并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值
王新敞
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答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm

3

60x 2 ? x 3 事实上,可导函数 V ( x) ? x h ? 、 V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x 在各自的定义域中都 2
2

只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值 点,不必考虑端点的函数值
王新敞
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例 6.在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出售 x 单位 产品的收益称为收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。 (1)、如果 C(x)= 10?6 x 3 ? 0.003x 2 ? 5x ? 1000,那么生产多少单位产品时,边际

C ?( x) 最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2)、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利 润最大? 变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.
的函数关系式为 p ? 25 ? 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 2 ,

? ?

1 ? 8 ? ? ?

1 8

利润 L ? R ? C ? ? 25q ? q 2 ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 (0 ? q ? 100)

? ?

1 8

1 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4

王新敞
奎屯

新疆

答:产量为 84 时,利润 L 最大 例 7.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此 时的高 h 和下底边长 b.
王新敞
奎屯 新疆

[来源:www.shulihua.net]

解:由梯形面积公式,得 S=

1 3 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 2 3


∴AD=

2 3 1 2 3 3 h+b, ∴S= ( h ? 2b)h ? ( h ? b)h 3 2 3 3

∵CD=

2 h 2 h ×2+b ? h ,AB=CD.∴l= cos30? 3 3



由①得 b=

S 3 4 3 S 3 S h,代入②,∴l= ? h? ? h ? 3h ? h 3 3 h 3 h

[来源:www.shulihua.net]

l′= 3 ?

S S S S =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时,l′<0,h> 4 时,l′>0. 2 h 3 3 3

∴h=

S 24 3 时, l 取最小值,此时 b = S 4 3 3

例 8. 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上, 另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方 的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长. 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y), 在 x 轴上的两个顶点为(-x,0)、(x,0),其中 0< x <2. 设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x2),0< x <2.
[来源:www.shulihua.net]

由 S′(x)=8-6 x2=0,得 x = x =

2 3 ,易知 3

4 是 S 在(0,2)上的极值点, 3 2 8 3和 . 3 3

即是最大值点, 所以这种矩形中面积最大者的边长为

【点评】 应用题求解,要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件.应用题的分析中

如确定有最小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小值. 练习:1:一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要 付手续费 30 元,每千册书存放一年要耗库费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店 分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少? 【解】假设每次进书 x 千册,手续费与库存费之和为 y 元, 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即

x ,故有 2

150 x 4500 ×30+ ×40,y′=- 2 +20, x 2 x 9000 令 y′=0,得 x =15,且 y″= ,f″(15 )>0, x3
y = 所以当 x =15 时,y 取得极小值,且极小值唯一, 故 当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数为

150 =10(次). 15

即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 2:有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的垂足与甲 城相距 50 千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为 每千米 500 元和 700 元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省? 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元, 则 CD = x ? 40 .
2 2

y =500(50-x)+700 x ? 1600
2

=25000-500 x +700 x ? 1600 ,
2
? 1 y′=-500+700 · (x 2+1600) 2 · 2x 2 1

=-500+

700x x 2 ? 1600



令 y′=0,解得 x =

50 6 . 3

答:水厂距甲距离为 50-

50 6 千米时,总费用最省. 3


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