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江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学 Word版含答案


江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期期中考试

高二数学试卷
2014 年 11 月 (注:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,请将答案写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 ▲ .

2.经过点(-2,3) ,且与直线

2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为____▲ _______. 3.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲ _____. 4. 已知无论 k 取任何实数,直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (2 ? 14k ) ? 0 必经过一定点,则该定点坐标为 ▲ .

2 2 5. 设 直 线 ax ? y ? 3 ? 0 与 圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相 交 于 A 、 B 两 点 , 且 弦 AB 的 长 为 2 3 , 则

______. a ? _____▲ 6. 圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球,则球的半径是 ▲ cm. 关于相等关系具有传递性,那么空间三直线 7. 如果规定: x ? y , y ? z ,则 x ? z 叫做 x , y , z

a , b , c 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______.
8.双曲线

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则 m ? m m?2



.

9.已知椭圆

5 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离为 ,则它到右准线的距离为 ▲ . 2 4 3

10. 设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的等价条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题 的序号 ... 11.椭圆 ▲ (写出所有真命题的序号) .

x y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 为椭圆的两个焦点且 F1 , F2 到直线 ? ? 1 的距离之和为 3b , 2 a b a b

2

则离心率 e =

.
2
? ?

12.若点 A, B 在曲线 x ? y ? 2( x ? 0) 上,则 OA ? OB 的最小值为 ▲
2 2

.

13.已知过点 P(m,2) 作直线 l 与圆 O : x ? y ? 1 交于 A, B 两点,且 A 为线段 PB 的中点,则 m 的取值范 围为 ▲ .

14.已知椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 2 2 a b

的一点,直线 PA,PB 倾斜角分别为 ? , ? ,则

cos(? ? ? ) = cos (? +?)



.

16. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P‐ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的 中点.求证: (1)PB∥平面 AEC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD.

P E A D

C B ( 第 16 题图 ) 17. (本小题满分 15 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知平面 AAC 1 1C ? 平面ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3,AD ? CD ? 1. (1)求证: BD ? AA1 ; (2)在棱 BC 上取一点 E, 使得 AE ∥平面 DCC1 D1 , 求

D1

C1

BE EC

A1

B1

的值.

D A 18. (本小题满分 15 分) 学校科技小组在计算机上模拟航 变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方 B

C

天 器 向) 的

x2 y2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称 轨迹方程为 100 25
轴、 M (0,

64 ) 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0) .观测点 A(4,0) , B(6,0) 同时跟踪航天器. 7

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;

(2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变 轨指令?

19. (本小题满分 16 分) (1)求右焦点坐标是 ( 2,0) ,且经过点 (?2,? 2 ) 的椭圆的标准方程.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, AB 的中点为 M , a2 b2 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上.
(2)已知椭圆 C : (3)利用(2)中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并 在图中标出椭圆的中心.

20. (本小题满分 16 分)在直角坐标平面中,?ABC 的两个顶点为 A(0,?1), B(0,1) ,平面内两点 G , M 同 时满足:(1) G 为 ?ABC 的重心;(2)M 到 ?ABC 三点 A, B, C 的距离相等;(3) 直线 GM 的倾斜角为 (1)求证:顶点 C 在定椭圆 E 上,并求椭圆 E 的方程; (2) 设 P, Q, R, N 都在曲线 E 上, 点 F ( 2 ,0) , 直线 PQ与RN 都过点 F 并且相互垂直, 求四边形 PRQN 的面积 S 的最大值和最小值.

? . 2

高二数学期中试卷答题纸
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题……………… 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 成绩 4. 8. 12.

2014.11

姓名_____________

三、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:

学号________

16.解: P

E

高二__________

A

D C

B
(第 16 题图)

17.解: D 1 A 1 B 1 C 1

D A B

C

18.解:

19.解:

请将 20 题做在反面

高二数学期中试卷参考答案

2014.11

1. ( 2,0) ;2. x ? 2 y ? 8 ? 0 ;3. x 2 -2x+y2 =0 ;4. (2, 2) ; 5. 0 ;6. 4;7. 平行; 8.

2 ; 9. 3 ; 10. (1) (2) ; 11. 3

1 6 ;12. 2;13. [? 5, 5 ] ;14. 7 3 5 ; 2

15.解:由 (m ? 2)(2m ? 1) ? 6m ? 18 ,得 m ? 4 或 m ? ?

当 m=4 时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即 l1 与 l2 重合,故舍去。 当m ? ?

5 1 1 5 时, l1 : ? x ? y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 6 y ? 5, 即 l1∥l2.∴当 m ? ? 时,l1∥l2. 2 2 2 2 9 (2)由 6(m ? 2) ? (m ? 3)(2m ?1) ? 0 得 m ? ?1 或 m ? ? ; 2 9 ∴当 m=-1 或 m=- 时,l1⊥ l2. 2

16.解: 16.(1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO . 因为 O 为 BD 中点, E 为 PD 中点, 所以 EO

PB ,………………………………………………………………………4 分

因为 EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC , 所以 PB 平面 AEC .………………………………………………………………7 分

(2)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .………9 分 因为在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA

AD ? A ,

所以 CD ? 平面 PAD . ……………………………………………………………12 分 又因为 CD ? 平面 PCD ,所以平面 PCD ? 平面 PAD .………………………14 分 17.证明: (1)在四边形 ABCD 中,因为 BA=BC,DA=DC,所以 BD ? AC . 平面 AAC 1 1C ? 平面ABCD ,且 平面ACC1 A 1 所以 BD ? AA1 . (2)点 E 为 BC 中点,即

平面ABCD ? AC, BD ? 平面ABCD,

BE ?1, EC

下面给予证明:在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,却 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC , 又在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA= 3 ,DA=DC=1,所以 ?ACB ? 60?,?ACD ? 30? , 所以 DC ? BC ,即平面 ABCD 中有, AE || DC . 因为 DC ? 平面DCC1D1 , AE ? 平面DCC1D1 ,所以 AE || 平面DCC1 D1 . 18.解: (1)曲线方程为 y ? ?

1 2 64 x ? . 7 7

? x2 y2 ? ? 1, ? ?100 25 2 (2)设变轨点为 C ( x, y) ,根据题意可知: ? 得 4 y ? 7 y ? 36 ? 0 , 1 64 ?y ? ? x2 ? , ? 7 7 ?
得 y ? 4或y ? ?

9 ? x ? 6或x ? ?6(舍去) ? C (6,4) , | BC |? 4 . ?y ? 4, (舍去), , | AC |? 2 5 , 4

答:当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5,4 时,应向航天器发出变轨指令.

19.解: (1)

x2 y2 ? ? 1. 8 4

( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? m 与 椭 圆 C 的 交 点 为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 联 立 方 程 :

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,得 (b ? a k ) x ? 2a kmx? a m ? a b ? 0 ,? ? ? 0, ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 , 即 ? b 2 ? a 2 k 2 ? m ? b 2 ? a 2 k 2 .则 x1 ? x2 ? ?

2a 2 km , b2 ? a2k 2

y1 ? y 2 ?

2b 2 m a 2 km b2m ? AB M ( ? , )。 , 中点 的坐标为 b2 ? a2k 2 b2 ? a2k 2 b2 ? a2k 2

? 线段AB 的中点 M 在过原点的直线 b 2 x ? a 2 ky ? 0 上.
(3)作两条平行直线分别交椭圆于 A, B 和 C , D ,并分别取 AB, CD 的中点 M , N ,连接直线 MN ;又作 两条平行直线 (与前两条直线不平行) 分别交椭圆于 A1 , B1 和 C1 , D1 , 并分别取 A1 B1 , C1 D1 的中点 M 1 , N1 , 连接直线 M 1 N1 ,那么直线 MN 和 M 1 N1 的交点 O 即为椭圆中心。

1 1 x y S ?ABC , S ?GAC ? S ?ABC ,? G 为 ?ABC 的重心,? G ( , ) ,又 3 3 3 3 x ? M 为 ?ABC 的外心且 M 在 x 轴上,? M ( ,0) ,由 MA ? MC 得 3
20.解: (1)设 C ( x, y) ,? S ?GBC ?

x2 x 2 x 2 2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 。 ( ) ? 1 ? ( x ? ) ? y ,整理得: 3 3 3
( 2 ) F ( 2 ,0) 恰为

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,设 PQ 的斜率为 k (k ? 0) ,则 PQ : y ? k ( x ? 2 ) ,由 3

? ? y ? k(x ? 2) ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 .设 ? 2 2 ? ?x ? 3 y ? 3

? 6 2k 2 x ? x ? ? 1 2 2 3 (k 2 ? 1) ? 3k 2 ? 1 ,? 2 , ? P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 ? | PQ | ? 1 ? k | x ? x | 1 2 2 2 3 k ? 1 6 k ? 3 ?x x ? 1 2 ? 3k 2 ? 1 ?
? RN ? PQ ,把 k 换成 ?
1 2 3 (k 2 ? 1) ,得 | RN |? , k 3? k2

?S ?

8 1 6(k 2 ? 1) 2 | PQ | ? | RN | = =2 ? , 2 2 1 2 (3k ? 1)(k ? 3) 2 3( k ? 2 ) ? 10 k

? 3(k 2 ?

1 8 8 3 ) ? 10 ? ? 16, ? ? S ? 2 ,当且仅当 k ? ?1 时,取等号,又当 k 不存在 ,? 2 2?S 2?S 2 k 3 3 或者 k ? 0 时, S ? 2 ,综上: ? S ? 2 ,? S max ? 2, S min ? . 2 2


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