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吉林省实验中学2015届高三下学期第六次模拟数学(理)试卷


吉林省实验中学 2015 届高考数学六模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=( A.{ } B.{2} C.{1}
2

) D.?

2.在复平面内,复数

z= A. B.﹣

的共轭复数的虚部为( C. i

) D.﹣ i

3.执行如图所示的程序框图,输出的 T=(

)

A.29

B.44

C.52

D.62

4.已知点 A(﹣1,1) ,B(1,2) ,C(﹣2,﹣1) ,D(3,4) ,则向量 投影为( A. ) B. C. D.



方向上的

5.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lgan,b3=18,b6=12, 则数列{bn}前 n 项和的最大值等于( ) A.126 B.130 C.132 D.134

6.设曲线 y= A.﹣1

在点( B.1

,1)处的切线与直线 x﹣ay+1=0 平行,则实数 a 等于( C.﹣2 ) D.2

)

7.一个几何体得三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.5

8.设 x、y 满足

,则 z=x+y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最小值 2,无最大值

B.有最大值 3,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

9.将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则 不同的分配方案共有( )种. A.80 种 B.120 种 C.140 种 D.50 种 10.已知 α,β∈( A. ,2π) ,满足 tan(α+β)﹣2tanβ=0,则 tanα 的最小值是( B.﹣ C.﹣ D. )

11.直线 l 交椭圆

=1 于 M、N 两点,椭圆的上顶点为 B 点,若△ BMN 的重心恰好 ) C.3x+2y﹣7=0

落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是( A.2x﹣3y﹣9=0 B.3x﹣2y﹣11=0

D.x﹣y﹣5=0

12.已知函数 f(x)=

,当 2<a≤3 时,则方程 f(2x +x)=a 的根最多个数

2

是( A.4

) B.5 C .6 D.7

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设 n= 10sinxdx,则( ﹣ ) 展开式中的常数项为__________(用数字作答)
n

14.如图,设抛物线 y=﹣x +1 的顶点为 A,与 x 轴正半轴的交点为 B,设抛物线与两坐标 轴正半轴围成的区域为 M, 随机往 M 内投一点, 则点 P 落在△ AOB 内的概率是__________.

2

15. 若正三棱柱的底面边长为 2

, 高为 2

, 则此正三棱柱的外接球的体积为__________.

16.点 P 为双曲线

=1 的右支上任意一点,由 P 向两条渐近线作平行线交渐近线于

M、N 两点,若平行四边形 OMPN 面积为 3,则双曲线的离心率为__________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 acos (1)求证:a、b、c 成等差数列; (2)若 B= ,S=4 求 b.
2

+ccos

2

= b

18.为检测某种零件的生产质量,检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分.若检 测后评分结果大于 60 分的零件为合格零件, 评分结果不超过 40 分的零件将直接被淘汰, 评 分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰. (I)已知 200 个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示.请根据此频率分布直方 图,估计这 200 个零件评分结果的平均数和中位数; (Ⅱ)根据已有的经验,可能被修复的零件个体被修复的概率如表: 零件评分结果所在区间 (40,50] (50,60] 每个零件个数被修复的概率 假设每个零件被修复与否相互独立.现有 5 个零件的评分结果 为(单位:分) :38,43,45,52,58,记这 5 个零件被修复的个数为随机变量 X,求 X 的 分布列和数学期望.

19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°, AB=PB=PC=BC=2CD,平面 PBC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 PBC; (Ⅱ)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M,N, 记△ F1MN 的内切圆的面积为 S,求当 S 取最大值时直线 l 的方程,并求出最大值. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)=
2

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x) .

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值; (Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 相交于点 E,FG 是圆 O 的切线,G 为切点,EF=FG. 求证: (Ⅰ)∠DEF=∠EAD; (Ⅱ)EF∥CB.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,设圆 C1:ρ=4cosθ 与直线 l:θ= (ρ∈R)交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 任取一点 M,在圆 C2 上任取一点 N,求|MN|的最大值.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围.

吉林省实验中学 2015 届高考数学六模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=( A.{ } B.{2} C.{1} D.?
2

)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:将 A 中的元素代入集合 B 中的等式中求出 y 的值,确定出 B,求出 A 与 B 的交集即 可. 解答: 解:当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=4;当 x= 时,y= , ∴B={1,4, }, ∴A∩B={1}. 故选:C.

点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.在复平面内,复数 z= A. B.﹣ 的共轭复数的虚部为( C. i ) D.﹣ i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的除法运算化简复数 z,求出其共轭复数,则答案可求. 解答: 解:∵z= ∴ ∴复数 z= , 的共轭复数的虚部为 . = ,

故选:A. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( )

A.29

B.44

C.52

D.62

考点:循环结构. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=12,n=4,T=29 时, 满足条件 T>2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 解答: 解:执行程序框图,有 S=3,n=1,T=2, 不满足条件 T>2S,S=6,n=2,T=8 不满足条件 T>2S,S=9,n=3,T=17

不满足条件 T>2S,S=12,n=4,T=29 满足条件 T>2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 故选:A. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

4.已知点 A(﹣1,1) ,B(1,2) ,C(﹣2,﹣1) ,D(3,4) ,则向量 投影为( A. ) B. C. D.



方向上的

考点:平面向量数量积的含义与物理意义. 专题:平面向量及应用. 分析:先求出向量 解答: 解: 则向量 、 ,根据投影定义即可求得答案. , 方向上的投影为: , ?cos< >

=

?

=

=

=



故选 A. 点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理 解相关概念是解决问题的关键. 5.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lgan,b3=18,b6=12, 则数列{bn}前 n 项和的最大值等于( ) A.126 B.130 C.132 D.134 考点:等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:由题意可知,lga3=b3,lga6=b6 再由 b3,b6,用 a1 和 q 表示出 a3 和 b6,进而求得 q 和 a1,根据{an}为正项等比数列推知{bn}为等差数列,进而得出数列 bn 的通项公式和前 n 项和,可知 Sn 的表达式为一元二次函数,根据其单调性进而求得 Sn 的最大值. 解答: 解:由题意可知,lga3=b3,lga6=b6. 2 18 5 12 又∵b3=18,b6=12,则 a1q =10 ,a1q =10 , ﹣6 3 ∴q =10 . ﹣2 22 即 q=10 ,∴a1=10 . 又∵{an}为正项等比数列, ∴{bn}为等差数列, 且 d=﹣2,b1=22. 故 bn=22+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+24.

∴Sn=22n+ =﹣n +23n=
2

×(﹣2) + .又∵n∈N ,故 n=11 或 12 时, (Sn)max=132.
*

点评:本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

6.设曲线 y= A.﹣1

在点( B.1

,1)处的切线与直线 x﹣ay+1=0 平行,则实数 a 等于( C.﹣2 D.2

)

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析: 利用直线平行斜率相等求出切线的斜率, 再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率 求出切线斜率,列出方程即得. 解答: 解:∵切线与直线 x﹣ay+1=0 平行,斜率为 ,

又 y'=

=



所以切线斜率 k=f′(

)=﹣1,所以 x﹣ay+1=0 的斜率为﹣1,

即 =﹣1,解得 a=﹣1. 故选 A. 点评:此题主要考查导数的计算,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题. 7.一个几何体得三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.5

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,再根据公式求解即可. 解答: 解:由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥, 三棱柱的体积 V1 为 =2

剪去的三棱锥体积 V2 为: 所以几何体的体积为:2 ﹣ = ,

=

故选:A. 点评:本题考查学生的空间想象能力,考查学生的计算能力,是基础题.

8.设 x、y 满足

,则 z=x+y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最小值 2,无最大值

B.有最大值 3,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=x+y 的最 小值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 C 时, 直线 y=﹣x+z 的截距最小,此时 z 最小. 由 ,

解得

,即 C(2,0) ,

代入目标函数 z=x+y 得 z=2. 即目标函数 z=x+y 的最小值为 2. 无最大. 故选:C.

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 9.将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则 不同的分配方案共有( )种. A.80 种 B.120 种 C.140 种 D.50 种 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:排列组合. 2 分析:本题是一个分步计数问题,首先选 2 个放到甲组,共有 C5 种结果,再把剩下的 3 个 2 2 人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有 C3 A2 ,相乘得到结果,再表示出甲组含有 3 个人时,选出三个人,剩下的两个人在两个位置排列. 解答: 解:由题意知本题是一个分步分类计数问题, 2 首先选 2 个放到甲组,共有 C5 =10 种结果, 2 2 再把剩下的 3 个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有 C3 A2 =6 种结果, ∴根据分步计数原理知共有 10×6=60, 当甲中有三个人时,有 C5 A2 =20 种结果 ∴共有 60+20=80 种结果 故选:A 点评:本题考查排列组合及简单计数问题,本题是一个基础题,解题时注意对于三个小组的 人数限制,先排有限制条件的位置或元素. 10.已知 α,β∈( A.
3 2

,2π) ,满足 tan(α+β)﹣2tanβ=0,则 tanα 的最小值是( B.﹣ C.﹣ D.

)

考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:利用两角和的正切将 tan(α+β)=4tanβ 转化,整理为关于 tanβ 的一元二次方程,利 用题意,结合韦达定理即可求得答案 解答: 解:∵tan(α+β)﹣2tanβ=0, ∴tan(α+β)=2tanβ, ∴
2

=2tanβ,

∴2tanαtan β﹣tanβ+tanα=0,① ∴α,β∈( ,2π) ,

∴方程①有两负根,tanα<0, 2 ∴△=1﹣8tan α≥0, ∴tan α≤ , ∴tanα≤﹣
2

∴tanα 的最大值是﹣



故选:B. 点评:本题考查两角和与差的正切函数,考查一元二次方程中韦达定理的应用,考查转化思 想与方程思想,属于中档题

11.直线 l 交椭圆

=1 于 M、N 两点,椭圆的上顶点为 B 点,若△ BMN 的重心恰好

落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是( ) A.2x﹣3y﹣9=0 B.3x﹣2y﹣11=0 C.3x+2y﹣7=0

D.x﹣y﹣5=0

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,MN 的中点为 G,MN 的方程为 y=kx+b,结合题意可 得 G 的坐标,再由 A、B 在椭圆上,利用“点差法”求得直线 l 的斜率,再由直线方程的点斜 式得答案. 解答: 解:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,MN 的中点为 G,MN 的方程为 y=kx+b, 而 B(0,2) ,又△ BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点(2,0)上, 由重心坐标公式可得 ,

故 x1+x2=6,y1+y2=﹣2,则 MN 的中点 G 为(3,﹣1) , 又 M、N 在椭圆上, ,

①﹣②,可得(x1﹣x2) (x1+x2)+2(y1﹣y2) (y1+y2)=0, 又由 x1+x2=6,y1+y2=﹣2, 可得 k= ,

又由直线 MN 过点 G(3,﹣1) ,则直线 l 的方程是 y+1=

,整理得:3x﹣2y﹣

11=0. 故选:B. 点评:本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、属于中档题.

12.已知函数 f(x)=

,当 2<a≤3 时,则方程 f(2x +x)=a 的根最多个数

2

是( ) A.4

B.5

C .6

D.7

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出函数 f(x)的图象,利用换元法令 t=2x +x,利用数形结合进行讨论即可得到结 论. 解答: 画出函数 f(x)的图象如右图, 2 令 t=2x +x, 当 2<a≤3 时,y=a 与 y=f(t)的图象有三个交点, 三个交点的横坐标记为 t1,t2,t3 且 t1≤0<t2<t3, 2 2 当 2x +x=t2 时,该方程有两解,2x +x=t3 时, 2 该方程也有两解,2x +x=t1 时,该方程有 0 个解或 1 个解或 2 个解, ∴当 2<a≤3 时, 方程 f(2x +x)=a 的根的个数可能为 4 个,5 个,6 个; 当 a>3 时,y=a 与 y=f(t)的图象有两个交点, 两个交点的横坐标记为 t4,t5 且 0<t4<t5, 2 2 当 2x +x=t4 时,该方程有两解,2x +x=t5 时,该方程也有两解, 2 ∴当 a>3 时,方程 f(2x +x)=a 的根的个数为 4 个; 2 综上方程 f(2x +x)=a(a>2)的根的个数可能为 4 个,5 个,6 个. 即根数最多为 6 个, 故选:C.
2 2

点评:本题主要考查根的个数的判断,利用换元法将方程转化为两个函数的相交问题,以及 利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设 n= 10sinxdx,则( ﹣ ) 展开式中的常数项为 210(用数字作答)
n

考点:二项式定理的应用;定积分. 专题:导数的综合应用;二项式定理. 分析:根据题意,先求出 n 的值,再求出展开式中的常数项是什么值即可. 解答: 解:∵n= 10sinxdx=﹣10cosx =﹣10(cos ﹣cos0)=10,



展开式中

通项 Tr+1= 令 5﹣ =0,

?

?

=(﹣1) ?

r

?



解得 r=6, ∴展开式中的常数项为 T6+1=(﹣1) ?
6

=

=210.

故答案为:210. 点评:本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了简单定积分的计算问题,是基础题目. 14.如图,设抛物线 y=﹣x +1 的顶点为 A,与 x 轴正半轴的交点为 B,设抛物线与两坐标 轴正半轴围成的区域为 M,随机往 M 内投一点,则点 P 落在△ AOB 内的概率是 .
2

考点:几何概型;二次函数的性质. 专题:概率与统计. 分析:首先分别求出区域 M 和△ AOB 的面积,利用几何概型公式解答. 解答: 解:由已知区域 M 的面积为 的面积为 = , = ,△ AOB

由几何概型可得点 P 落在△ AOB 内的概率是



故答案为: . 点评:本题考查了定积分以及几何概型公式的运用;关键是分别求出两个区域的面积,利用 定积分解答. 15.若正三棱柱的底面边长为 2 ,高为 2 ,则此正三棱柱的外接球的体积为 36π.

考点:球内接多面体. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据三棱柱的底面边长及高,先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距,进而求出三棱 柱外接球的球半径,代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积.

解答: 解:由正三棱柱的底面边长为 2 , 得底面所在平面截其外接球所成的圆 O 的半径 r=2, 又由正三棱柱的高为 2 ,则球心到圆 O 的球心距 d= , 根据球心距,截面圆半径,球半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易得球半径 R 满 足: 2 2 2 R =r +d =9,R=3, 2 ∴外接球的表面积 S=4πR =36π. 故答案为:36π. 点评:本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积,考查数形结合思想、化归与转化 思想,其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键.

16.点 P 为双曲线

=1 的右支上任意一点,由 P 向两条渐近线作平行线交渐近线于

M、N 两点,若平行四边形 OMPN 面积为 3,则双曲线的离心率为



考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出|OA|,P 点到 OA 的距离,利用平行四边形 OBPA 的面积为 3,求出 a,可得 c, 即可求出双曲线的离. 解答: 解:双曲线的渐近线方程是:3x±ay=0,设 P(m,n)是双曲线上任一点, 过 P 平行于 OB:3x+ay=0 的方程是:3x+ay﹣3m﹣an=0, 联立 ,得两直线交点 A( ) ,

|OA|=

=



P 点到 OA 的距离是:d= ∵|OA|?d=1, ∴ ∵9m ﹣a n =9a , ∴a=2,则 c= ∴e= . .
2 2 2 2



,即





故答案为:

点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,是中档题.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 acos (1)求证:a、b、c 成等差数列; (2)若 B= ,S=4 求 b.
2

+ccos

2

= b

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦 函数公式变形,整理后再利用正弦定理化简,利用等差数列的性质判断即可得证; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把 sinB 与已知面积代入求出 ac 的值,利用余弦定 理列出关系式,整理得出 b 的值即可. 解答: 解: (1)由正弦定理得:sinAcos 即 sinA? +sinC? = sinB,
2

+sinCcos

2

= sinB,

∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB,即 sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB, ∵sin(A+C)=sinB, ∴sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理化简得:a+c=2b, ∴a,b,c 成等差数列; (2)∵S= acsinB= ∴ac=16, 又 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac, 由(1)得:a+c=2b, ∴b =4b ﹣48,即 b =16, 解得:b=4. 点评:此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式, 诱导公式,等差数列的性质,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.为检测某种零件的生产质量,检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分.若检 测后评分结果大于 60 分的零件为合格零件, 评分结果不超过 40 分的零件将直接被淘汰, 评 分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰. (I)已知 200 个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示.请根据此频率分布直方 图,估计这 200 个零件评分结果的平均数和中位数; (Ⅱ)根据已有的经验,可能被修复的零件个体被修复的概率如表: 零件评分结果所在区间 (40,50] (50,60] 每个零件个数被修复的概率 假设每个零件被修复与否相互独立.现有 5 个零件的评分结果 为(单位:分) :38,43,45,52,58,记这 5 个零件被修复的个数为随机变量 X,求 X 的 分布列和数学期望.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

ac=4



考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (I)利用频率分布直方图的性质可得:10×(0.01+0.02+0.03+a)=1,解得 a=0.04.平 均数 =10×(65×0.01+75×a+85×0.02+95×0.03)=82.由图可知:前两个矩形的面积之和=10× (0.01+0.04)=0.5,即可得出中位数 0. (II)由题意可知:评分结果在(40,50], (50,60]内零件各有 2 个,则随机变量 X 的可 能取值为 0,1,2,3,4.利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式即可 得出分布列,再利用数学期望计算公式即可得出. 解答: 解: (I)∵10×(0.01+0.02+0.03+a)=1, ∴a=0.04. ∴平均数 =10×(65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03)=82. 由图可知:前两个矩形的面积之和=10×(0.01+0.04)=0.5, ∴中位数为 80. (II)由题意可知:评分结果在(40,50], (50,60]内零件各有 2 个,则随机变量 X 的可 能取值为 0,1,2,3,4. P(X=0)= P(X=2)= P(X=3)= X P ∴E(X)= +1× +2× +3× +4× = . 0 = ,P(X=1)= + + 1 2 = , = 4 . + × = ,

= ,P(X=4)= 3

点评:本题考查了频率分布直方图的性质、相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计 算公式、分布列、数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°, AB=PB=PC=BC=2CD,平面 PBC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 PBC; (Ⅱ)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 AB⊥平面 PBC,利用面面垂直的性质,根据 AB⊥BC,平面 PBC⊥平面 ABCD,即可得证; (Ⅱ)取 BC 的中点 O,连接 PO,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内 过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O﹣xyz,求出平面 ADP 与平面 BCP 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐 二面角的大小. 解答: (Ⅰ)证明:因为∠ABC=90°,所以 AB⊥BC, 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 PBC. (Ⅱ)解:如图,取 BC 的中点 O,连接 PO, 因为 PB=PC,所以 PO⊥BC. 因为 PB=PC,所以 PO⊥BC, 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD. 以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O﹣xyz. 不妨设 BC=2.由 AB=PB=PC=BC=2CD 得, , 所以 设平面 PAD 的法向量为 =(x,y,z) . 所以 . ,

令 x=﹣1,则

,所以 =(﹣1,2, ,

) .

取平面 BCP 的一个法向量 所以 cos< , >= ,

所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为



点评:本题考查线面垂直,考查平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角,解题的关键是掌握 线面垂直的判定方法,正确运用向量法,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M,N, 记△ F1MN 的内切圆的面积为 S,求当 S 取最大值时直线 l 的方程,并求出最大值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)运用离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得 a,b,即可得到椭圆方程; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,△ F1MN 的内切圆半径为 r,运用等积法和韦达定理, 弦长公式,结合基本不等式即可求得最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 解得 a=2,b=3,c=1, 椭圆 C 的标准方程为 + =1; + =1, = ,a =b +c ,
2 2 2

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,△ F1MN 的内切圆半径为 r, 则 = (|MN|+|MF1|+|NF1|)r= ×8r=4r, 最大,

所以要使 S 取最大值,只需 则

= |F1F2|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|,

设直线 l 的方程为 x=ty+1, 将 x=ty+1 代入
2 2

+

=1;

可得(3t +4)y +6ty﹣9=0(*) ∵△>0 恒成立,方程(*)恒有解,

y1+y2=

,y1y2=



=(y1+y2) ﹣4y1y2= 记 m= = (m≥1) , =

2



在[1,+∞)上递减,

当 m=1 即 t=0 时, ( 此时 l:x=1,Smax= π.

)max=3,

点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程, 运用韦达定理和三角形的面积公式,考查运算能力,属于中档题.
2

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)=

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x) .

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值; (Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2 .

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间; (2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,应先求导数,研究函数的单调性,然后求 函数的最值; (3)联系函数的 F(x)的单调性,然后证明即可.注意对函数的构造. 解答: 解: (1) 由 f′(x)>0 得 1﹣x >0 又 x>0,所以 0<x<1.所以 f(x)的单增区间为(0,1) . (2)令 x+1.
2



所以

=



当 m≤0 时,因为 x>0,所以 G′(x)>0 所以 G(x)在(0,+∞)上是递增函数, 又因为 G(1)=﹣ .

所以关于 x 的不等式 G(x)≤mx﹣1 不能恒成立. 当 m>0 时, 令 G′(x)=0 得 x= ,所以当 (x)<0. 因此函数 G(x)在 故函数 G(x)的最大值为 令 h(m)= ,因为 h(1)= 是增函数,在 . ,h(2)= . 是减函数. . 时,G′(x)>0;当 时,G′

又因为 h(m)在 m∈(0,+∞)上是减函数,所以当 m≥2 时,h(m)<0. 所以整数 m 的最小值为 2. 2 (3)当 m=﹣2 时,F(x)=lnx+x +x,x>0. 由 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,即 化简得 令 t=x1x2,则由 φ(t)=t﹣lnt 得 φ′(t)= . . .

可知 φ′(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以 φ(t)≥φ(1) =1. 所以 ,即 成立.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路, 不等式恒成立问题转化为函数最 值问题来解的方法.属于中档题,难度不大. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 相交于点 E,FG 是圆 O 的切线,G 为切点,EF=FG. 求证: (Ⅰ)∠DEF=∠EAD; (Ⅱ)EF∥CB.

考点:与圆有关的比例线段;弦切角. 专题:综合题;推理和证明.

分析: (Ⅰ)利用切割线定理,结合 EF=FG,证明△ FED∽△EAF,可得∠DEF=∠EAD; (Ⅱ)证明∠FED=∠BCD,即可证明 EF∥CB 解答: 证明: (Ⅰ)由切割线定理得 FG =FA?FD. 又 EF=FG,所以 EF =FA?FD,即
2 2



因为∠EFA=∠DFE,所以△ FED∽△EAF, 所以∠DEF=∠EAD. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠DEF=∠EAD, 因为∠FAE=∠DAB=∠DCB, 所以∠FED=∠BCD,所以 EF∥CB. 点评: 本题考查切割线定理, 考查三角形相似的判定与性质, 考查学生分析解决问题的能力, 比较基础. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,设圆 C1:ρ=4cosθ 与直线 l:θ= (ρ∈R)交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 任取一点 M,在圆 C2 上任取一点 N,求|MN|的最大值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ) 圆 C1:ρ=4cosθ 化为 ρ =4ρcosθ,利用 (ρ∈R)可得直线 l 的倾斜角为
2

即可得出圆 C1 的直角坐

标方程.由直线 l:θ=

,又经过原点,即可得出直角

坐标方程.联立解得 A,B 坐标,即可得出圆的方程.再将其化为极坐标方程即可. (II)利用|MN|max=|C1C2|+r1+r2 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意 得 圆 C1:ρ=4cosθ 化为 ρ =4ρcosθ,∴圆 C1 的直角坐标方程 x +y ﹣4x=0. 直线 l 的直角坐标方程 y=x. 由 ,解得 或 .
2 2 2

∴A(0,0) ,B(2,2) . 2 2 2 2 从而圆 C2 的直角坐标方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,即 x +y =2x+2y. 2 将其化为极坐标方程为:ρ =2ρcosθ+2ρsinθ. (Ⅱ)∵ ,

∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2= +2+ =2 +2. 点评:本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、两圆的位 置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对 x 的取值范围分类讨论,去掉上式中 的绝对值符号,解相应的不等式,最后取其并集即可; (Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7,当 x∈[0,3]时,易求 2x+7 的最小 值,从而可得 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1. 当 x≤﹣3 时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当﹣3<x<﹣1 时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣ ≤x<﹣1; 当 x≥﹣1 时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立. 综上,不等式的解集为[﹣ ,+∞) .… (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f(x)≤4 即|x﹣a|≤x+7, 由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[﹣7,7].… 点评:本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用, 考查运算求解能力,属于中档题.


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