当前位置:首页 >> 数学 >>

高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题精品


函数专题之值域与最值问题
一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即: (1)被开方数的非负性

, (2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法, 简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数, 故函数 y 的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体 现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1 或 y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例 3:求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2) 2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制 约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数 y=2x-5+√15-4x 的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值 域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原 函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

当 y≠2 时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当 y=2 时,方程(*)无解。∴函数的值域为 2<y≤10/3。 点评: 把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0, 由于方程有实数解, 故其判别式为非负数, 可求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b±√(cx2+dx+e) 的函数。 练习:求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为 y≤-8 或 y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量 x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数 的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解,解之得-1≤x≤3/2, 又 x+y=1,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中,得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通 过求出最值而获得函数的值域。 练习:若√x 为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域为 ( ) A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) (答案:D)。 六.图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例 6 求函数 y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 解:原函数化为 -2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值 y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数 的值域。 七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例 1 求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨:由已知的函数是复合函数,即 g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为 x≤1/3, 在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。 解:设 f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定义域为 x≤1/3 上也为增函数,而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为 {y|y≤4/3}。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间, 结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数 y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3}) 八.换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而 求出值域。 例 2 求函数 y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原 函数的值域。 解:设 t=√2x+1 (t≥0),则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而 确定出原函数的值域。 这种解题的方法体现换元、 化归的思想方法。 它的应用十分广泛。 练习:求函数 y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 九.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 3 求函数 y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形。设 HK=x,则 ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评:对于形如函数 y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c 均为正数),均可通过构造几何图形, 由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习:求函数 y=√x2+9 +√(5-x)2+4 的值域。(答案:{y|y≥5√2}) 十.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而 求出原函数的值域。 例 4 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。 点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1。

函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数, 可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意 识。 练习:已知 x,y∈R,且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。(答案: {f(x,y)|f(x,y)≥1}) 十一.利用多项式的除法 例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故 y≠3。 ∴函数 y 的值域为 y≠3 的一切实数。 点评:对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习:求函数 y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2) 十二.不等式法 例 6 求函数 Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。 解:易求得原函数的反函数为 y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0 1-x≠0 解得,0<x<1。 ∴函数的值域(0,1)。 点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定 义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方 法之一。 以下供练习选用:求下列函数的值域 1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3}) 2. Y=2x/(2x-1)。 (y>1 或 y<0)

训练例题
例 1.求下列函数的值域 (1) y ?

2 3x ? 1 ( x ? 1) (3) y ? 2x ? 4 1 ? x (4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 (2) y ? 2 2? x x?2

例 2.已 知 x, y ? 0 , 2x? y ? 6 ,求 Z ? 4 x2 ? 3xy ? y 2 ? 6x ? 3 y 的最值。 例 3.求下列函数的值域 (1) y ? 1 ?

2 sin x x2 ? x (2) y ? 2 (3) y ? x x?2 4 ?2 ?5 2 ? cos x x ? x ?1

例 4.如何求函数 y ?

x ?1 x2 ? 3 ( x ? ?1) 呢? ( x ? ?1) 的最值? y ? 2 x ?3 x ?1

例 5.求下列函数的值域

1 ? sin x x2 ? 1 ( x ? 2) (1)f ( x) ? (2)y ? 2x ? 4 1 ? x(3)y ?| x ? 1| ? | x ? 4 (4)y ? | 2 ? cos x x

课后练习题 一、 选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1. 已知函数 f ( x) = ? A.9

?log 2 x ( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

,则 f [ f (

1 ) ]的值是 4
D. -

B.

1 9

C. -9

1 9

x ? ? ? ? ?1? 2. 若集合 S ? ? y | y ? ? ? ? 1, x ? R ? , T ? ? y | y ? log2 ( x ?1), x ? ?1? , S ? T 等于 则 ? ? ?2? ? ?

A.{0}

B. { y | y ? 0}

C.S

D.T

3. 下列函数中值域是(0,+∞)的函数是 A. y ? 5
1 2? x
1? x B. y ? ( )

1 2

C. y ? 1 ? 2x

D. y ?

1 ?1 2x

4. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为[ a ,b],则 f ( x ? 1) 的值域为 A.[ a ,b] 5. 函数 y = B.[ a +1,b+1] C.[ a -1,b-1] D.无法确定

2 的定义域是(- ? ,1) ? [2,5],则其值域是 x ?1 1 1 A.(- ? ,0) ? [ ,2] B.(- ? ,2) C.(- ? , ) ? [2,+ ? ] 2 2

D.(0,+ ? )

6. 函数 y ? lg[ x 2 ? (k ? 3) x ? 4] 的值域为 R,则实数 k 的取值范围是

A. ? 7 ? k ? 1

B. k ? ?7 或 k ? 1

C. ? 1 ? k ? 7

D. k ? ?7 或 k ? 1

7. 已知函数 f ( x) 满足2 f ( x) ? f ( ) ?

1 x

1 , 则 f ( x) 的最小值是 | x|
C.

A.2

B. 2 2

2 3

D.

2 2 3

8. 函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| A.最小值为 0,最大值为 4 C.最小值为-4,最大值为 4 B.最小值为-4,最大值为 0 D.没有最大值,也没有最小值

9. 已知 f (2 x ? 1) 的最大值为 2, f (4 x ? 1) 的最大值为 a ,则 a 的取值范围是 A. a ? 2 B. a ? 2 C. a ? 2 D.以上三种均有可能

10.已知 a ? 0, b ? 0, a 、b 的等差中项是 是 A.3 B.4

1 1 1 , 且? ? a ? , ? ? b ? , 则? ? ? 的最小值 2 a b
C.5 D.6

1 1 ? x2 ( x ? 0) ,则 f ( ) = ? 11. 已 知 g ( x) ? 1 2x, f [ g ( x)] ? 2 2 x
A. 15 12. 设函数 f ( x) ? ? A. a 13.函数 B. 1 C. 3 D. 30

??1 ( x ? 0) ( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) (a ? b) 的值为 ,则 2 ?1 ( x ? 0)
C. a 、b 中较小的数 D. a 、b 中较大的数

B. b
19

f ( x) ? ? x ? n 的最小值为
n ?1

A.190 二、填空题:

B.171

C.90

D.45

14. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足关系式: f ( ? x) ? f ( ? x) ? 2 ,则 f ( ) ? f ( )

1 2

1 2

1 8

2 8

7 ?? ? f ( ) 的值等于________ 8
15. 已知函数 f ( x) 对一切实数 a, b ,均满足 f ( a ? b) ? f ( a) ? f ( b) ,且 f (1) ? 2 .则

f (2) f (3) f (4) f (2007) ? ? ?? ? ? f (1) f (2) f (3) f (2006)
16. 设 f ( x ) ?

ax ? b ( a >0)的值域为[-1,4],则 a ,b 的值为_________ x2 ?1

17.

x?0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 1 的最大值是 函数 y ? ? x ? 3 ?? x ? 5 x ?1 ?

18.已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则 5a ? b ? 三、解答题: 19. 求下列函数的值域 (1) y ?

4 ; x ? 4x ? 5
2

(2) y ? ? x ? 1? 2x ;

(3) y ?

2x ? 1 x

20. 已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为[1,3] ,求实数 b、c 的值。 x2 ? 1

21.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ?

1 , 4

(1)若定义域为[0,3],求 f (x) 的值域; (2)若定义域为 [a, a ? 1] 时, f (x) 的值域为 [?

1 1 , ] ,求 a 的值. 2 16

22. 已知函数: f ( x) ?

x ?1? a (a ? R且x ? a) a?x

(1)证明: f ( x) ? 2 ? f (2a ? x) ? 0 对定义域内的所有 x 都成立. (2)当 f ( x) 的定义域为 [ a ?

1 , a ? 1] 2

时,求证: f ( x) 的值域为 [?3, ?2] ;

*(3)设函数 g ( x) ? x2 ? | ( x ? a) f ( x) | , 求 g ( x) 的最小值 .

函数的值域与最值参考答案
(三)例题讲评 例 1. (0,1];[?4,3);(??, 4];[1, 4 ? 3 2] 例 2.? y ? 6 ? 2 x ? 0, 及x ? 0,?0 ? x ? 3

3 27 27 Z ? 2 x 2 ? 6 x ? 18 ? 2( x ? ) 2 ? (0 ? x ? 3) ,最大值 18;最小值 2 2 2
例 3. [?1,1) ; [ ? ,1) ; [?

1 3

3 3 , ]; 3 3

例 4. y ?

x 2 ? 3 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 4 4 ? ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ,当且仅当 x ?1 x ?1 x ?1

x ?1 ?

4 ( x ? ?1) 时取等号;即 x ? 1 时,y 的最小值是 2。没有最大值。 x ?1

另外 y ?

x ?1 1 1 ? 2 方法同上,即 x ? 1 时,y 的最大值是 。没有最小值。 2 x ?3 x ?3 2 x ?1
1 1 1 ? y ? ,当 y ? ? 时, 6 2 6

说明:本题不能用判别式法。因为 x ? R 。若用判别式法得 ? 求得 x ? ?3 ,不合。

例 5. [ , ?? );( ??, 2] ; [5, ??);[0, ] (以上各小题考虑了各种方法的顺序,有的方法给出 2 个小题,有的题目可以多种方法 导数法暂不考虑。 ) (四)练习题 一、 选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 C 11 A 12 C 13 C

5 2

4 3

9.提示: g ( x) ? f (2 x ? 1) ? g (2 x) ? f (4 x ? 1) , 令 实际是将原函数图象的点的横坐标 缩短变为原来的二分之一,纵坐标不变。故最值不变。 10. 提示:由 a ? b ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2 ab ? ab ?

1 1 ? ?4, 4 ab

? ? ? ? ( a ? b) ? ? ? 1 ?
二、填空题 14.7; 15.4012; 15.提示:

1 a

1 b

1 ? 1? 4 ? 5 ab
17. 4; 18.2。

16. a =4, b=3;

f ( a ? b) ? f (a) 用赋值法或令 f ( x) ? 2x f (b)

三、解答题 19. [解析]先确定函数的定义域,正确选择方法,并作出相应的数式变换. (1)函数的定义域为 x ? ?1, 且x ? 5 , 令 u ? x 2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2) 2 ? 9,?u ? ?9且u ? 0 , 即u ? 0或 ? 9 ? u ? 0 ?

4 4 4 ? 0或 ? ? , u u 9

∴函数的值域为 (??,? ] ? (0,??) ;

4 9

(注)这里运用了不等式性质: ?

?a ? b 1 1 ? ? ; a b ?ab ? 0

[解法二]原函数等价于 y( x 2 ? 4x ? 5) ? 4,即yx 2 ? 4 yx ? (5 y ? 4) ? 0 , 当 y ? 0 时,得-4=0,矛盾,? y ? 0 ,

? x ? R( x ? ?1, 且x ? 5) ,

? ? ? 16y 2 ? 4 y(5 y ? 4) ? 0 ? y(9 y ? 4) ? 0 ,

解得函数的值域为 (??,? ] ? (0,??) .

4 9

(2)函数的定义域为 (?? , ] .作换元,令 1 ? 2 x ? t ? x ?

1 2

1? t 2 (t ? 0) , 2

?y ?

t 2 ?1 1 ? t ? (t ? 1) 2 ? 1,? f (t )在[0,??) 上为增函数, 2 2

1 1 ? y ? f (0) ? ? ,∴函数的值域为 [? ,?? ) ; 2 2
[解法二]令 f1 ( x) ? ? x, f 2 ( x) ? 1 ? 2x ,∴原函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) , ∵ f1 ( x)与f 2 ( x) 在定义域内都是减函数, ∴原函数 y ? f (x) 在定义域 (?? , ] 是减函数,? y ? f ( ) ? ? 而当 x ? ?? 时, y ? ?? ,∴函数的值域为 [? ,?? ) . (3)函数的定义域为 x ?

1 2

1 2

1 , 2

1 2

1 , 2

?y ?

2x ? 1 1 2 1 1 ? ? 2 ? ? ? ( ? 1) 2 ? 1(0 ? ? 2) , 2 x x x x x

由二次函数性质知函数的值域为[0,1]; [解法二]令 t ? 2 x ? 1 , ? x ?

t 2 ?1 (t ? 0) , 2

? y ? f (t ) ?

2t 2t ? ? 1,? 0 ? y ? 1 , t ? 1 2t
2

即函数的值域为[0,1] 20.由 y=

2 x 2 ? bx ? c 得 (2-y)x2+bx+c-y=0,(*) 2 x ?1

当 y-2≠0,由 x∈R,有Δ =b2-4(2-y)·(c-y)≥0 即 4y2-4(2+c)y+8c-b2≤0,由已知得 2+c=1+3 且

8c ? b 2 =1×3 4

∴b=±2,c=2 又 b<0,∴b=-2,c=2, 而 y-2=0,b=-2,c=2 代入(*)式得 x=0 ∴b=-2,c=2 为所求
2 21.解:? f ( x) ? ( x ? ) ?

1 1 1 ,∴对称轴为 x ? ? , 2 2 2 1 1 47 (1)? 3 ? x ? 0 ? ? ,∴ f (x) 的值域为 [ f (0), f (3)] ,即 [? , ] ; 2 4 4

(2)? [ f ( x)] min ? ? ,? 对称轴 x ? ?

1 2

1 ? [a, a ? 1] , 2

1 ? ?a ? ? 2 3 1 ? ?? ?? ?a?? , 2 2 ?a ? 1 ? ? 1 ? 2 ?
∵区间 [a, a ? 1] 的中点为 x 0 ? a ? ①当 a ?

1 , 2

1 1 1 ? ? , 即 ? 1 ? a ? ? 时, 2 2 2 1 1 1 [ f ( x)] max ? f (a ? 1) ? ,? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) ? ? , 16 4 16 3 9 ?16 a 2 ? 48a ? 27 ? 0 ? a ? ? (a ? ? 不合) ; 4 4 1 1 3 1 ②当 a ? ? ? , 即 ? ? a ? ?1 时, [ f ( x)] max ? f (a ) ? , 2 2 2 16 1 1 5 1 ? a 2 ? a ? ? ,?16 a 2 ? 16 a ? 5 ? 0 ? a ? ? (a ? 不合) ; 4 16 4 4 3 5 综上, a ? ? 或a ? ? . 4 4 x ?1? a 2a ? x ? 1 ? a ?2? 22.(1)证明: f ( x) ? 2 ? f (2a ? x) ? a?x a ? 2a ? x x ?1? a a ? x ? 1 x ? 1 ? a ? 2a ? 2 x ? a ? x ? 1 ? ?2? ? ?0 a?x x?a a?x
∴结论成立 (2)证明: f ( x) ?

? (a ? x) ? 1 1 ? ?1 ? a?x a?x 1 1 1 1 ? 1 ? a ? x ? ? ,?2 ? ? ?1 当 a ? ? x ? a ? 1时 ? a ? 1 ? ? x ? ?a ? 2 2 2 a?x 1 ? 3 ? ?1 ? ? ?2 即 f ( x)值域为 ?3,?2] [ a?x

(3)解: g ( x) ? x 2 ? | x ? 1 ? a | ( x ? a)
2 2 ①当 x ? a ? 1且x ? a时, g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ?

1 2

3 ?a 4

如果 a ? 1 ? ?

1 2

即a ?

1 时,则函数在 [a ? 1, a)和(a,??) 上单调递增 2

g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2 ,
1 1 1 3 如果 a ? 1 ? ? 即当 a ? 时, g ( x) min ? g (? ) ? ? a 2 2 2 4

而当 a ? ?

1 1 时, g (x) 在 x ? a ? 处无定义,故 g (x) 最小值不存在 2 2

②当 x ? a ? 1时g ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) 2 ? a ? 如果 a ? 1 ?

1 2

5 4

1 3 1 5 即a ? 时g ( x) min ? g ( ) ? a ? 2 2 2 4
2

如果 a ? 1 ? 1 即a ? 3 时g ( x)在(?? , a ? 1)上为减函数 g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2
2

当 a ? 3 时(a ? 1) 2 ? (a ? 5 ) ? (a ? 3 ) 2 ? 0 2 4 2 综合得:

1 3 1 当a ? 时(a ? 1) 2 ? ( ? a) ? (a ? ) 2 ? 0 2 4 2

1 3 时 g(x)最小值是 ? a 2 4 1 3 当 ? a ? 时 g(x)最小值是 (a ? 1) 2 2 2 3 5 当 a ? 时 g(x)最小值为 a ? 2 4 1 当 a ? ? 时 g(x)最小值不存 2
当a ?


相关文章:
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题精品
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题精品_数学_高中教育_教育专区。函数专题之值域与最值问题一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题_数学_高中教育_教育专区。x ? ? ? ? ?1? 2. 若集合 S ? ? y | y ? ? ? ? 1, x ? R ? , T ? ...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (1)
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (1)_高考_高中教育_教育专区。函数专题之值域与最值问题一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (1)
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (1) 暂无评价|0人阅读|0次下载 函数专题之值域与最值问题 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (2)
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (2) 暂无评价|0人阅读|0次下载 函数专题之值域与最值问题 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (3)
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题 (3) 暂无评价|0人阅读|0次下载 函数专题之值域与最值问题 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析...
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
求值域习题探求... 40人阅读 3页 ¥2.00 2014精品系列 函数定义...及​最​值​得​方​法​及​例​题​_​训​练​题...
高考函数值域及最值的方法及例题,训练题
高考函数值域及最值方法及例题,训练题 函数值域求法大全!函数值域求法大全!隐藏>> 函数专题之值域与最值问 函数专题之值域与最值问题一.观察法 通过对函数定义...
高考求函数值域训练题
高考函数值域及最值的方法... 5页 20财富值 高考求函数值域及最值得方... ...高考求函数值域训练题 隐藏>> 训练例题 x ? ? ? ? ?1? 1. 若集合 S ...
更多相关标签:
求值域的例题及解析 | 函数值域的求法及例题 | 分离常数法求值域例题 | 换元法求值域例题 | 判别式法求值域例题 | 复合函数求值域例题 | 求值域的例题 | 三角函数求值域例题 |