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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第10篇 第2讲 排列与组合


第2讲 [最新考纲] 1.理解排列、组合的概念.

排列与组合

2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.

知 识 梳 理 1.排列与组合的概念 名称 排列 组合 2.排列数与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数, 叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数. (2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数, 叫从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质 n! ?n-m?! 从 n 个不同元素中取 出 m(m≤n)个不同元 素 定义 按照一定的顺序排成一列 合成一组

(1)Am n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= 公式

n?n-1??n-2???n-m+1? n! Am n (2)Cm = = (n,m∈N*,且 m≤n).特别地 C0 m= n n=1. Am m! m!?n-m?! (1)0!=1;An n=n!.
n-m m m m-1 (2)Cm n =Cn ;Cn+1=Cn +Cn .

性质

辨 析 感 悟 1.排列与组合的基本概念、性质 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)
m (3)若组合式 Cx n=Cn ,则 x=m 成立.(×)

2.排列与组合的应用
2 4 (4)5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有 A5 5-A2A4=72 种.(√)

(5)(教材习题改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中, 有重复数字的四位数共 有 3×43-A3 4=168(个).(×) (6)(2013· 北京卷改编)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人, 每人至
4 少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 4A4 =96

种.(√) [感悟· 提升] 1.一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后

交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与顺序无关即是组合,如 (1)忽视了元 素的顺序. 2.求解排列、组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合; 分类相加,分步相乘.” 学生用书 第 174 页

考点一

排列应用题

【例 1】 4 个男同学,3 个女同学站成一排. (1)3 个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法? (2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? (3)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法? 解 (1)3 个女同学是特殊元素,共有 A3 3种排法;由于 3 个女同学必须排在一起,
5 视排好的女同学为一整体,再与 4 个男同学排队,应有 A5 种排法. 3 5 由分步乘法计数原理,有 A3 A5=720 种不同排法.

(2)先将男生排好,共有 A4 4种排法,再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空档中
3 插入 3 个女生有 A5 种方法. 4 3 故符合条件的排法共有 A4 A5=1 440 种不同排法.

(3)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有 A4 4种排法;由于甲、乙要相邻,故

2 先把甲、乙排好,有 A2 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 2 先排好的 4 人的空档及两边有 A5 种排法. 4 2 2 总共有 A4 A2A5=960 种不同排法.

规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析 法, 在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素 或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解 决有限制条件的排列问题的常用方法. 【训练 1】 (1)(2014· 济南质检)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在 一起,则不同的坐法种数为( A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! ).

(2)(2013· 四川卷)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b, 共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( A.9 B.10 C.18 D.20 ).

解析 (1)把一家三口看作一个排列,然后再排列这 3 家,所以有(3!)4 种. a (2)由于 lg a-lg b=lgb(a>0,b>0), a a ∴lgb有多少个不同的值,只需看b不同值的个数. a 1 3 3 9 2 从 1,3,5,7,9 中任取两个作为b有 A5 种,又3与9相同,1与3相同,∴lg a-lg b 的
2 不同值的个数有 A5 -2=18.

答案 (1)C

(2)C 考点二 组合应用题

【例 2】 某课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各 指定一名队长.现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选;

(5)既要有队长,又要有女生当选.
1 4 解 (1)一名女生,四名男生.故共有 C5 · C8=350(种).

(2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 C2 C3 2· 11=165(种).
1 4 2 3 (3)至少有一名队长含有两类: 只有一名队长和两名队长. 故共有: C2 · C11+C2 · C11 5 =825(种)或采用排除法:C13 -C5 11=825(种).

(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法 为:
1 4 C2 C3 C8+C5 5· 8+C5· 8=966(种). 4 (5)分两类:第一类女队长当选:C12 ;第二类女队长不当选: 2 2 4 C1 C3 C7+C3 C1 4· 7+C4· 4· 7+C4.

故选法共有:
1 3 3 1 4 C4 C7+C2 C2 C7+C4 =790(种). 12+C4· 4· 7+C4·

规律方法 组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出, 再由另外元素补足; “不含”, 则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,逆向思维, 间接求解. 【训练 2】 若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数, 则不同的取法共有( A.60 种 B.63 种 ). C.65 种 D.66 种

解析 满足题设的取法可分为三类:一是取四个奇数,在 5 个奇数 1,3,5,7,9 中, 任意取 4 个,有 C4 5=5(种);二是两个奇数和两个偶数,在 5 个奇数中任取 2 个, 再在 4 个偶数 2,4,6,8 中任取 2 个,有 C2 C2 5· 4=60(种);三是取 4 个偶数的取法有 1 种. 所以满足条件的取法共有 5+60+1=66(种). 答案 D 学生用书 第 175 页 考点三 排列、组合的综合应用

【例 3】 (1)(2013· 浙江卷)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).

(2)某校高二年级共有 6 个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两 个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为(
2 2 A.A6 C4

).

1 2 B.2A2 6C4

2 2 C.A2 6A4 D.2A6

审题路线 (1)选出 3 个位置排特殊元素 A、B、C,并把元素 A、B 作为元素集团 进行排列;(2)可将 4 名同学分成两组(每组 2 人),再分配到两个班级.
3 2 解析 (1)先将 A, B 视为元素集团, 与 C 先排在 6 个位置的三个位置上, 有 C6 A2

C1 2种排法;
3 第二步,排其余的 3 个元素有 A3 种方法. 2 1 3 ∴由分步乘法计数原理,共有 C3 A3=480 种排法. 6A2C2·

(2)法一

1 2 将 4 人平均分成两组有2C4 种方法,将此两组分配到 6 个班级中的 2 个

2 班有 A6 种.

1 2 所以不同的安排方法有2C2 4A6种.
2 2 法二 先从 6 个班级中选 2 个班级有 C2 6种不同方法,然后安排学生有 C4C2种, 2 1 2 2 故有 C2 6C4= A6C4种. 2

答案 (1)480

(2)B

规律方法 (1)解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素 (或位置)的性质进行 分类; 二是按事情发生的过程进行分步. 具体地说, 解排列组合问题常以元素(或 位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置). (2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型: ①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组 方法的求法. 【训练 3】 从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三 位数,其中奇数的个数为( A.24 B.18 C.12 D.6 ).

解析 根据所选偶数为 0 和 2 分类讨论求解. ①当选数字 0 时,再从 1,3,5 中取出 2 个数字排在个位与百位.∴排成的三位数
2 的奇数有 C2 3A2=6 个.

②当取出数字 2 时,再从 1,3,5 中取 2 个数字有 C2 3种方法.然后将选中的两个奇 数数字选一个排在个位,其余 2 个数字全排列.
1 2 ∴排成的三位数的奇数有 C2 3A2A2=12 个.

∴由分类加法计数原理,共有 18 个三位数的奇数. 答案 B

1.熟练掌握:(1)排列数公式 Am n= 这是正确计算的关键.

n! n! ;(2)组合数公式 Cm , n= ?n-m?! m!?n-m?!

2. 解受条件限制的排列、 组合题, 通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法). 分 类时标准应统一, 避免出现重复或遗漏. 解组合应用题时, 应注意“至少”、 “至 多”、“恰好”等词的含义. 3.排列组合的综合应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原则.对 于分配问题, 解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更 要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.

、易错辨析 9——实际意义理解不清导致计数错误 【典例】 (2012· 山东卷改编)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿 色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片 至多 1 张,不同取法的种数为 ( A.232 B.256 C.472 D.484 [错解]
1 第一类,含有一张红色卡片,取出红色卡片有 C4 种方法,再从黄、蓝、

).

1 1 绿三色中选出两色并各取一张卡片有 C2 3C4C4种方法. 1 1 因此满足条件的取法有 C1 C2 4· 3C4C4=192 种. 1 1 第二类,不含有红色卡片,从其余三色卡片中各取一张有 C1 4C4C4=64 种取法.

∴由分类加法计数原理,不同的取法共有 192+64=256 种.

[答案] [错因]

B 错解的原因是没有理解“3 张卡片不能是同一种颜色”的含义,误认为

“取出的三种颜色不同”. [正解]
1 2 第一类,含有 1 张红色卡片,不同的取法 C4 C12=264(种).

3 第二类,不含有红色卡片,不同的取法 C3 12-3C4=220-12=208(种).

由分类加法计数原理知,不同的取法共有 264+208=472(种). [答案] C [防范措施] (1)准确理解题意,抓住关键字词的含义,“3 张卡片不能是同一种

颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求. (2)选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现 “至少、至多”型问题,注意间接 法的运用. 【自主体验】 1.(2013· 大纲全国卷改编)有 5 人排成一行参观英模事迹展览,其中甲、乙两人 不相邻的不同排法共有________种(用数字作答).
3 解析 先把除甲、乙外的 3 人全排列,有 A3 种,再把甲、乙两人插入这 3 人形 2 成的四个空位中的两个,共 A4 种不同的方法. 2 3 ∴所有不同的排法共有 A4 · A3=72(种).

答案 72 2.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个. 解析 第一类:恰有三个相同的数字为 1,
1 选 2,3,4 中的一个数字排在十、 百、 千位的一个位置上, 有 C1 A3 种方法, 四位“好 3·

数”有 9 个. 第 二 类 : 相 同 的 三 个 数 字 为 2,3,4 中 的 一 个 , 这 样 的 四 位 “ 好 数 ” 为 2221,3331,4441 共 3 个. 由分类加法计数原理,共有“好数”9+3=12 个. 答案 12

对应学生用书 P359

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.一个平面内的 8 个点,若只有 4 个点共圆,其余任何 4 点不共圆,那么这 8 个点最多确定的圆的个数为( A.C3 C4 4· 4
3 B.C3 8-C4

).

1 2 3 3 C.2C4 · C4+C4 D.C3 8-C4+1 3 解析 从 8 个点中任选 3 个点有选法 C3 8种,因为有 4 点共圆所以减去 C4种再加 3 1 种,即有圆 C3 8-C4+1 个.

答案 D 2 .若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,称这个数为“伞 数”.现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中 “伞数”有( A.120 个 ). B.80 个 C.40 个 D.20 个

2 解析 分类讨论:若十位数为 6 时,有 A5 =20 个;若十位数为 5 时,有 A2 4=12 2 个;若十位数为 4 时,有 A3 =6 个;若十位数为 3 时,有 A2 2=2 个,因此一共

有 40 个. 答案 C 3.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( A.18 B.24 C.30 D.36 ).

3 解析 四名学生中有两名学生恰好分在一个班,共有 C2 4A3种分法,而甲、乙被 3 2 3 3 分在同一个班的有 A3 种,所以不同的分法种数是 C4 A3-A3 =30.

答案 C 4.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 ).

3 解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个,每个城市一项,共 A4 种方

法;若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个,一个城市一项、一个城市两项
2 3 2 2 共 C2 3A4种方法.由分类加法计数原理知共 A4+C3A4=60(种)方法.

答案 D 5.一名老师和两名男生两名女生站成一排照相,要求两名女生必须站在一起且 老师不站在两端,则不同站法的种数为( A.8 B.12 C.16 D.24 ).

2 3 解析 两名女生站一起有 A2 种站法,她们与两个男生站一起共有 A2 2A3种站法, 2 3 1 老师站在他们的中间则共有 A2 A3C2=24(种)站法,故应选 D.

答案 D 二、填空题 6.(2013· 大纲全国卷)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有________种(用数字作答). 5×4 2 3 解析 依题意,所有的决赛结果有 C1 6C5C3=6× 2 ×1=60(种). 答案 60 7.(2014· 杭州调研)四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不 同的保送方案有________种. 解析 分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C2 4种;而后,对三组学生
3 3 全排三所学校,即进行全排列,有 A3 种.依分步乘法计数原理,共有 N=C2 4A3=

36(种). 答案 36 8.在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶 数的三位数共有________个. 解析 在 1,2,3,4,5 这五个数字中有 3 个奇数,2 个偶数,要求三位数各位数字之
3 和为偶数,则两个奇数一个偶数,∴符合条件的三位数共有 C2 C1 A3 =36(个). 3· 2·

答案 36 三、解答题 9.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”,其中“9”可当“6”用,则由这四张卡片 可组成不同的四位数有多少个?
2 解 先在后三位中选两个位置填写数字“0”有 C3 种方法, 再排另两张卡片有 A2 2种

方法. 又数字“9”可作“6”用,
2 ∴四张卡片组成不同的四位数有 2C2 3A2=12 个.

10.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中. (1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法? (2)恰有一个空盒的放法共有多少种? 解 (1)每个盒子放一球,共有 A4 4=24 种不同的放法; (2)法一 先选后排,分三步完成.

第一步:四个盒子中选一只为空盒,有 4 种选法; 第二步:选两球为一个元素,有 C2 4种选法;
3 第三步:三个元素放入三个盒中,有 A3 种放法. 3 故共有 4×C2 4A3=144 种放法.

法二 先分组后排列,看作分配问题. 第一步:在四个盒子中选三个,有 C3 4种选法; 第二步:将四个球分成 2,1,1 三组,有
1 1 C2 4C2C1 2 C4(即 A2 )种分法; 2

3 第三步:将三组分到选定的三个盒子中,有 A3 种分法. 2 3 故共有 C3 4C4A3=144 种分法.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出 现在第一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法 共有( A.34 种 C.96 种 ). B.48 种 D.144 种

1 解析 程序 A 有 A2 =2 种结果,将程序 B 和 C 看作元素集团与除 A 外的元素排 2 4 列有 A2 A4=48 种,∴由分步加法计数原理,实验编排共有 2×48=96 种方法.

答案 C

2.(2014· 济南调研)已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中 各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为 ( ). D.36

A.33 B.34 C.35

解析 (1)若从集合 B 中取元素 2 时,再从 C 中任取一个元素,则确定的不同点
3 的个数为 C1 3A3. 1 (2)当从集合 B 中取元素 1,且从 C 中取元素 1,则确定的不同点有 C1 3×1=C3. 3 (3)当从 B 中取元素 1, 且从 C 中取出元素 3 或 4, 则确定的不同点有 C1 ∴ 2A3个. 3 1 1 3 由分类加法计数原理,共确定不同的点有 C1 3A3+C3+C2A3=33(个).

答案 A 二、填空题 3.(2013· 重庆卷)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个 抗震救灾医疗小组, 则骨科、 脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 ________(用数字作答). 解析 按选派的骨科医生的人数分类:
1 3 2 2 3 1 ①选 1 名骨科医生,则有 C1 3(C4C5+C4C5+C4C5)=360(种), 1 2 2 1 ②选 2 名骨科医生,则有 C2 3(C4C5+C4C5)=210(种), 1 1 ③选 3 名骨科医生,则有 C3 3C4C5=20(种),

∴骨科、 脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 360+210+20=590. 答案 590 三、解答题 4.直线 x=1,y=x,将圆 x2+y2=4 分成 A,B,C,D 四个区域,如图 用五种不同的颜色给他们涂色, 要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种 颜色, 共有多少种不同的涂色方法? 解 法一
1 第 1 步,涂 A 区域有 C1 5种方法;第 2 步,涂 B 区域有 C4种方法;第

3 步,涂 C 区域和 D 区域:若 C 区域涂 A 区域已填过颜色,则 D 区域有 4 种涂 法;若 C 区域涂
1 A、B 剩余 3 种颜色之一,即有 C1 3种涂法,则 D 区域有 C3种涂法.

故共有 C1 C1 (4+C1 C1 5· 4· 3· 3)=260 种不同的涂色方法.

法二 共可分为三类:
2 第 1 类,用五色中两种色,共有 C2 5A2种涂法; 1 1 2 第 2 类,用五色中三种色,共有 C3 5C3C2A2种涂法; 4 第 3 类,用五色中四种色,共有 C4 5A4种涂法. 2 3 1 1 2 4 4 由分类加法计数原理,共有 C2 5A2+C5C3C2A2+C5A4=260(种)不同的涂色方法.

学生用书 第 176 页


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